圓壓軸題八大模型題（一）
引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。
類型1 弧中點(diǎn)的運(yùn)用
在⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E.
（1）在圖1中，你會發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論嗎？
①AP＝CP＝FP；
②CH＝AD；
②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.
（圖1）
（2）在圖2中，你能找出所有與△ABC相似的三角形嗎？
【典例】
（2018·湖南永州）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，連接BE，弦BE與線段CD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延長線上取一點(diǎn)M，使BM＝4，⊙O的半徑為6．求證：直線CM是⊙O的切線．
【變式運(yùn)用】
（圖1-2）
1.（2018·四川宜賓）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，若＝，則＝ ?。?
2.（2018·瀘州）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC。(1)求證：AE⊥DE；(2)設(shè)以AD為直徑的半圓交AB于F，連接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求值。
（圖1-3）
3. （2017·瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連結(jié)BD。
(1)求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；
(2)若⊙O的半徑為5，AQ＝，求弦CE的長。
4．（2016?瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2＝CE?CA．
（1）求證：BC＝CD；
（2）分別延長AB，DC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F，若PB＝OB，CD＝，求DF的長．
5．（2015?瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的長．
6.如圖，AB是⊙O的直徑，C、P是弧AB上的兩點(diǎn)，AB＝13，AC＝5.
(1) 如圖①，若P是弧AB的中點(diǎn)，求PA的長；
(2) 如圖②，若P是弧BC的中點(diǎn)，求PA的長.
7.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：DP∥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求線段PD的長．
圓壓軸題八大模型題（二）
引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。
類型2 切割線互垂
在Rt△ABC中，點(diǎn)E是斜邊AB上一點(diǎn)，以EB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)F.
(5)DB2=BC×BE;
(6)AD2=AE×AB.
圖(3)
圖(2)
圖(1)
(3)AC=32，AE=10，求r.
(4)∠ABD=∠CBD.
(1)AD=20,AE=10,求r;
(2)AB=40,BC=24,求r.
【典例】
（2018·四川成都）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G.
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）設(shè)AB＝x，AF＝y(tǒng)，試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長；
（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的長.
【變式運(yùn)用】
1.（2018×瀘州）如圖，已知AB，CD是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，⊙O的弦DE交AB于點(diǎn)F，且DF＝EF．
（1）求證：CO2＝OF?OP；
（2）連接EB交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，若PC＝4，PB＝4，求GH的長．
2.（2018·云南昆明）如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O于點(diǎn)C，AD交⊙O于點(diǎn)F，∠AC平分∠BAD，連接BF．
（1）求證：AD⊥ED；
（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半徑．
3.（2018·江蘇蘇州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E．延長DA交⊙O于點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G，連接OC．
（1）求證：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形．
圓壓軸題八大模型題（三）
引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。
類型3 雙切線組合
徑在直角邊——直徑在直角三角形的直角邊上.
Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角邊PB上有一點(diǎn)A，以線段AB為直徑的⊙O與斜邊相切于點(diǎn)D.
圖(1)
圖(2)
圖(3)
(4)PD2＝PA×PB;
(5)PB＝8，tana＝，
求PA和AD.
(6)求證:OC∥AD（變式）.
(7)若AB＝2,BC＝,
求AD、PD、PA的長.
(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半徑r.
(2)PD＝4,PB＝8,求BC的長.
(3)PD＝4,PA＝2,求⊙O的半徑r.
【典例】
（2018·四川樂山）如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，PO交AB于點(diǎn)F，延長BO交⊙O于點(diǎn)C，交PA的延長交于點(diǎn)Q，連結(jié)AC．
（1）求證：AC∥PO；
（2）設(shè)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，CQ＝2，求的值．
【變式運(yùn)用】
1.（2016 ×青海西寧）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E，BC=6，．求BE的長．（12分）
2.（2018·湖北武漢）如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA＝PB.
(1) 求證：PB是⊙O的切線.
(2) 若∠APC＝3∠BPC，求的值.
3.（2017×瀘州）如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點(diǎn)C、D，與邊BC相交于點(diǎn)F，OA與CD相交于點(diǎn)E，連接FE并延長交AC邊于點(diǎn)G．
（1）求證：DF∥AO；
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的長．
弧題涉及同弧或等弧所對的
