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1、2.3 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律,一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定理,1.對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩,2.相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩描述,S系（固定系）,S系（平動(dòng)系）,3.在質(zhì)心系中分析以上四項(xiàng),s系的原點(diǎn)固定在質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心上，則：,第一項(xiàng)：,質(zhì)心對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩,第二項(xiàng)：,第四項(xiàng)：,質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩,總結(jié)：,質(zhì)點(diǎn)組對(duì)一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩等于質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之矢量和。,第三項(xiàng)：,4、質(zhì)點(diǎn)組對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩定理,單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：,對(duì)每質(zhì)點(diǎn)求和：,則：,對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：以質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則,形式與固定參考系一樣,選逆時(shí)針為正方向,繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的力為內(nèi)力,【例4】,解法二：隔離二人并分別用牛頓第二定律

2、,選地面為參照系,由方程(1)和(2)得,二人均以勻加速向上爬,注：也可用對(duì)通過(guò)滑輪中心水平軸的動(dòng)量矩定理,注：若兩人質(zhì)量相等，且 ，至少有一個(gè)人努力就可以同時(shí)到達(dá)頂端，爬繩所需時(shí)間則與兩人的努力程度有關(guān)。,質(zhì)量不等的兩人能同時(shí)到達(dá)頂端的前提條件,兩人能否同時(shí)到達(dá)頂端與他們共同努力的程度有關(guān)，但誰(shuí)較努力些則無(wú)關(guān)緊要。,選【例5】質(zhì)量分別為m1,m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一長(zhǎng)為a+b的無(wú)重剛性桿連接，c為質(zhì)心（如圖所示）。最初處于水平位置，突然給m2以v0的速度，試求兩質(zhì)點(diǎn)此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？,解：,可先確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再確定m1,m2對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,1.對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)組（m1,m2),2.參照系：地面

3、；坐標(biāo)系：o-xy,3.受力分析,外力,4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,（不考慮內(nèi)力）,分量式：,解得：,其中：,質(zhì)心為豎直上拋運(yùn)動(dòng),5.求m1，m2對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),分析特點(diǎn)：,即任意時(shí)刻動(dòng)量矩等于初始時(shí)刻動(dòng)量矩。,設(shè)t時(shí)刻桿的角速度為,質(zhì)點(diǎn)m1，m2相對(duì)質(zhì)心作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng),則：,2.4 動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律,一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能,1.質(zhì)點(diǎn)組中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。,質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能,2.動(dòng)能的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述,3. 柯尼希定理,引入質(zhì)心參照系，分析上式,第一項(xiàng)：,第二項(xiàng)：,第三項(xiàng)：,柯尼希定理,敘述：質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和。,【例6】一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤(pán)，直立在水平面上向前滾動(dòng)而不滑

4、動(dòng)，若圓心的速度為 ，求圓盤(pán)的動(dòng)能。,解：由柯尼希定理,圓盤(pán)相對(duì)于其質(zhì)心軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),二、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理(在慣性系S中),由第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,求和后，,敘述:質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的微分等于質(zhì)點(diǎn)組所受的外力與內(nèi)力的元功之和。,質(zhì)點(diǎn)組不受外力或合外力為零，動(dòng)能不一定守恒。,三、質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能定理,引入質(zhì)心參照系，質(zhì)點(diǎn)組中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,求和：,敘述:質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能的微分等于外力與內(nèi)力對(duì)質(zhì)心系的元功之和。,說(shuō)明（1）質(zhì)心系一般為非慣性系，但在質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn) 組的動(dòng)能定理仍保持與慣性系中相同的形式。 （2）慣性力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組做功為零。,解：質(zhì)點(diǎn)組沒(méi)有受外力作用，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力為保守力，質(zhì)點(diǎn)組

5、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。,（2）,聯(lián)立方程（1）、（2）解得,選【例7】 質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點(diǎn)以萬(wàn)有引力吸引，開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止且距離為 。求兩質(zhì)點(diǎn)相距為 時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。,選【例8】質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的質(zhì)量為m2，可在光滑水平面上自由滑動(dòng)，試求：質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始下滑距離 時(shí)的速度？,分析:,重力為保守力，地面支持力不做功，m1,m2之間的相互作用內(nèi)力做功之和為零，質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能守恒。,解:(1)研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)組（m1,m2),(2)參照系：水平面； 建立oxy坐標(biāo)系,(3)受力分析,（4）,設(shè)m1的速度為 ，m2的速度為 ，則,(1),(2),(3),聯(lián)立方程(1)(

6、2)(3)(4)解得,2.5 兩體問(wèn)題,一.什么是兩體問(wèn)題,(1)問(wèn)題的提出（地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星繞地球 運(yùn)動(dòng)，雙星運(yùn)動(dòng)，電子繞核運(yùn)動(dòng)）,(2)兩體問(wèn)題的定義,選擇慣性系o-xyz,二.先確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，再確定行星、太陽(yáng)對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),1. 確定系統(tǒng)(S, P)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),在慣性系o-xyz中，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,且系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，即,2. 確定行星和太陽(yáng)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),在質(zhì)心系(慣性系) 中，行星的動(dòng)力學(xué)方程為,上式用到,在慣性系o-xyz中，行星的動(dòng)力學(xué)方程為：,太陽(yáng)的動(dòng)力學(xué)方程為：,（3）的形式和太陽(yáng)固定不動(dòng)時(shí)行星的動(dòng)力學(xué)方程完全一樣。,說(shuō)明：(1)若Mm，由上式引起的誤差極小，仍可以 將太陽(yáng)

7、視為靜止，可視為單體問(wèn)題處理;,(2)如果Mm不成立，兩質(zhì)量差別不大，則 必須視為兩體問(wèn)題處理;,(3)若考慮其他行星的吸引，則為多體問(wèn)題。,表明：考慮太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)后，行星對(duì)太陽(yáng)做圓錐曲線 運(yùn)動(dòng)，但質(zhì)量不為m，而是折合質(zhì)量 。,(4),(5) 應(yīng)用:如當(dāng)求一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m2的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為m2不動(dòng)，但動(dòng)力學(xué)方程中必須把m1換成折合質(zhì)量。即：,如：p96頁(yè)例題，求m1相對(duì)m2的速度。( 利用機(jī)械能守恒）,四.對(duì)開(kāi)普勒第三定律的修正,說(shuō)明:當(dāng)mM時(shí)，對(duì)開(kāi)普勒定律的修正很小，但對(duì)質(zhì)量相近的雙星系統(tǒng)，必須考慮修正，雙星系統(tǒng)中可能有一顆星是暗星，可以根據(jù)兩體理論，由亮星的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致暗星的發(fā)現(xiàn)。,

8、2.6 （選） 實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系,一、實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系,即以大地為參照系(靜系) 研究力學(xué)問(wèn)題。,實(shí)驗(yàn)室中觀察一個(gè)粒子對(duì)另外一個(gè)粒子的散射：,特點(diǎn)：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為,若為彈性碰撞：總動(dòng)能守恒,二. 質(zhì)心坐標(biāo)系,在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀察碰撞問(wèn)題：,結(jié)論：質(zhì)心靜止，開(kāi)始兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，散射后逐漸遠(yuǎn)離質(zhì)心。,分析：質(zhì)點(diǎn)系未受外力作用，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒并恒為零。,若為彈性碰撞：總動(dòng)能守恒,標(biāo)量方程為,兩式相除得,對(duì)彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變,得,再根據(jù),最后得,一、變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程(慣性系),t,t+t,對(duì)合并前后（即在t時(shí)間

9、內(nèi)），對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理：,2.7 變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng),展開(kāi)：,取極限，并舍去二階小量：,即：,或者,二、討論,1、若dm0，說(shuō)明主體的質(zhì)量在增大（合并）,2、若dm0，說(shuō)明主體的質(zhì)量在減小（分離）,3、若 方程為（雨滴粘附問(wèn)題）：,注：m不是恒量,即：,4、若 方程為：,即：形式和定質(zhì)量的動(dòng)力學(xué)方程一樣，但是實(shí)際不一樣，此處m為t的函數(shù)。,例：一車(chē)廂在光滑的水平面上勻加速向右行駛，車(chē)廂上方有一漏斗，裝有沙子，如圖：,注：m不是恒量,欲保持原加速度前進(jìn)，F(xiàn)要增大。,5、反推力(火箭),由：,即：,欲保持推力不變， m增大, 減小。,可寫(xiě)成：,令：,該方程研究對(duì)象是主體m(下面分析一維情況）

10、,例：從后面向小船上投沙袋。,【例9】,解法一：用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程求解,1.研究對(duì)象：空中部分鏈條。,4.用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程：,3.受力分析,豎直方向分量形式：,即:,因?yàn)椋?方程變?yōu)椋?(1),設(shè)線質(zhì)量密度為，對(duì)桌面上一段用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程,(2),將（2）代入（1）,得,注意：,化簡(jiǎn)得,兩邊積分：,得：,即：,拉力做功之和為零，只有空中部分鏈條的重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,以桌面為零勢(shì)能位置,(1),受力分析：空中部分鏈的重力，桌面上鏈條的重力，桌面對(duì)其上鏈條的支撐力以及鏈條內(nèi)部的拉力(內(nèi)力)。,代入方程(1),得,化簡(jiǎn)，得,即：,分析： ,只有空中部分鏈條的重力做功,第二章作業(yè)-22.5（動(dòng)量矩）；2.13、2.15（變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)）,小 結(jié),一. 基本要求,1. 概念,質(zhì)點(diǎn)組；質(zhì)心；內(nèi)力、外力及其性質(zhì)；慣性系；質(zhì)心系。,2. 掌握質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理，動(dòng)能定理。(慣性系，質(zhì)心系),3. 運(yùn)用三個(gè)基本定理及守恒律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。,4. 兩體問(wèn)題。,5. 變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。,