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1、北京四中20202020學(xué)年下學(xué)期高二年級(jí)期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題。1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】D【解析】【分析】求得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限.【詳解】依題意復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)在第四象限，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的象限的判斷，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.下列求導(dǎo)正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)

2、，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查加減法、乘除法的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，也即切線的斜率，由此求得切線方程.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，即切線的斜率為，故切線方程為，即，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，考查函數(shù)在某點(diǎn)處切線方程的求法，考查直線方程點(diǎn)斜式和一般式，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)=3+xlnx單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. （0，）B. （0，e）C. （，+）D. （e，+）【答案】C【解析】【分析】先

3、求函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)在區(qū)間（l，+）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A. （，lB. 1，+）C. （，1）D. （1，+）【答案】A【解析】【分析】令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為非正數(shù)，分離常數(shù)后【詳解】當(dāng)時(shí)，令，化簡(jiǎn)得，上述不等式在時(shí)恒成立，而，故，所以本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題的求解策略，屬于中檔題.6.當(dāng)（i為虛數(shù)單位）時(shí)，的值為（ ）A. 1B. 1C.

4、 iD. i【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)z時(shí)，z100z501=的值等于-i，故選D.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，易錯(cuò)點(diǎn)在于忽視函數(shù)的定義域，屬于中檔題7.函數(shù)在區(qū)間1，1上的最大值是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】先求得函數(shù)在區(qū)間上的極值，然后比較極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，由此求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】令，解得或.，故函數(shù)的最大值為，所以本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)，若其導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是（ ）A. a+b+

5、cB. 8a+4b+cC. 3a+2bD. c【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極小值【詳解】f（x）=3ax2+2bx，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，當(dāng)x0或x2時(shí)，f（x）0，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)0x2時(shí)，f（x）0，函數(shù)為增函數(shù)，x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，極小值為f（0）=c，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查極值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題9.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|zi|（i為虛數(shù)單位）的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，求得題目所給表達(dá)

6、式的最大值.【詳解】表示的復(fù)數(shù)在單位圓上，而表示的幾何意義是單位圓上的點(diǎn)，到點(diǎn)距離，由于點(diǎn)在單位圓上，故最遠(yuǎn)的距離為直徑，單位圓的直徑為，故本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)=，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. （，1）B. （，1C. （0，1）D. 0，+）【答案】A【解析】分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)，畫(huà)出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)和的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，來(lái)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，故.當(dāng)時(shí)，故.以此類推，當(dāng)時(shí)，.由此畫(huà)出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知的取值范圍是時(shí)，和

7、的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).即方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.二、填空題。11.曲線在x=l處的切線的斜率是_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯惹蟮们€對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此求得切線的斜率.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)為，即此時(shí)切線的斜率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查切線斜率的概念和求法，屬于基礎(chǔ)題.12.函數(shù)的極大值點(diǎn)是_，極大值是_?！敬鸢浮?(1). 2 (2). 16【解析】【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值

8、.【詳解】依題意，故函數(shù)在或時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值.即極大值點(diǎn)為，極大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)極值點(diǎn)和極值的求法，屬于基礎(chǔ)題.13.函數(shù)在區(qū)間（1，+）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由題意得：在上恒成立，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性14.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_.【答案】8【解析】【分析】將化為的形式，根據(jù)為純虛數(shù)，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意為純虛數(shù)，故，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查

9、純虛數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)函數(shù)，若的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_?！敬鸢浮浚?，12，+）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的值域的知識(shí)，求得分段函數(shù)每一段的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的值域?yàn)榱胁坏仁?，由此求得?shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由于的值域?yàn)椋?，即，解?【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的值域的求法，考查指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的值域求法，考查一元二次次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，并且導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，為遞增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性化簡(jiǎn)題目所給的不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于，

10、故函數(shù)為奇函數(shù)，由于故函數(shù)為上的增函數(shù).由得，故.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的奇偶性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查抽象不等式的解法.對(duì)于有關(guān)函數(shù)的題目，首先想到的是函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性和周期性等等.對(duì)于抽象函數(shù)的不等式，往往要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性.屬于中檔題.三、解答題。17.已知：復(fù)數(shù)與在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且（i為虛數(shù)單位），|=。（I）求的值；（II）若的虛部大于零，且（m，nR），求m，n的值?！敬鸢浮浚↖）或（II）【解析】【分析】（I）設(shè)，得出的表達(dá)式，根據(jù)和列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得的值.（II）根據(jù)

11、（I）的結(jié)論確定的值.代入運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】解：（I）設(shè)（x，yR），則 =x+yi，z1（1i）=（1+i），|=，或，即或（II）的虛部大于零，則有，。【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的虛部等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖已知為直徑，且km,為圓心，為圓周上靠近的一點(diǎn)，為圓周上靠近的一點(diǎn)，且現(xiàn)在準(zhǔn)備從經(jīng)過(guò)到建造一條觀光路線，其中到是圓弧，到是線段.設(shè)，觀光路線總長(zhǎng)為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）求觀光路線總長(zhǎng)的最大值.【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（

12、1）觀光路線總長(zhǎng)為+，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有，根據(jù)等腰三角形OCD有，所以，根據(jù)角實(shí)際意義可知：（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：先求導(dǎo)數(shù)，得定義區(qū)間上零點(diǎn)：。列表x(0，)(，)0f (x)遞增極大值遞減分析可知函數(shù)在處取得極大值，這個(gè)極大值就是最大值，即.試題解析：(1)由題意知， 2分， 5分因?yàn)闉閳A周上靠近的一點(diǎn)，為圓周上靠近的一點(diǎn)，且，所以所以，7分(2)記,則， 9分令，得， 11分列表x(0，)(，)0f (x)遞增極大值遞減所以函數(shù)在處取得極大值，這個(gè)極大值就是最大值， 13分即，答：觀光路線總長(zhǎng)的最大值為千米 14分考點(diǎn)：函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求最值19.已知：函數(shù)。（I）若曲線在點(diǎn)（，0）處

13、的切線為x軸，求a的值；（II）求函數(shù)在0，l上的最大值和最小值?！敬鸢浮浚↖）（II）見(jiàn)解析【解析】【分析】（I）根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處切線為軸，根據(jù)切點(diǎn)在曲線上以及在處的導(dǎo)數(shù)為列方程，解方程求得和的值.（II）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成四種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】解：（I）由于x軸為的切線，則， 又=0，即3=0， 代入，解得=，所以=。（II）=，當(dāng)0時(shí)，0，在0，1單調(diào)遞增，所以x=0時(shí)，取得最小值。x=1時(shí)，取得最大值。當(dāng)3時(shí)，0，在0，1單調(diào)遞減，所以，x=1時(shí)，取得最小值x=0時(shí)，取得最大值。當(dāng)03時(shí)，令=0，解得x=，當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如

14、下表：x（0，）（，1）0+極小值由上表可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由于，當(dāng)01時(shí)，在x=l處取得最大值，當(dāng)13時(shí)，在x=0處取得最大值?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與值域，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.一、選擇題。20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，所以在點(diǎn)處切線斜率為4本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，