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1、第六章 方差分析,單項分類資料方差分析,Z檢驗：總體方差已知,總體方差未知相等,總體方差未知不等,上次課內(nèi)容小結(jié),兩個總體平均數(shù)比較： z 檢驗和 t 檢驗。,3個或3個以上總體平均數(shù)如何比較呢？,如果用t檢驗方法：需要對多個平均數(shù)進行兩兩比較（1）3個平均數(shù)：比較3次,（2）4個平均數(shù)：比較6次,（3）K個平均數(shù)：,缺點：增加了犯型錯誤的概率。型錯誤：原假設(shè)實際為正確，但做出了拒絕原假設(shè)的判 斷犯型錯誤的概率等于顯著性水平。 設(shè)每次比較的顯著性水平為0.05， 則，犯型錯誤的概率為0.05，或者說不犯型錯誤 的概 率為10.050.95。 c次檢驗均不犯型錯誤的概率為0.95c 或者說，c次

2、檢驗犯型錯誤的總概率為10.95c,例：欲比較4種飼料對仔豬增重效果的優(yōu)劣，隨機選取了性 別、年齡、體重相同，無親緣關(guān)系的20頭豬，隨機分為4 組，每組5頭，分別飼喂一種飼料，所得增重數(shù)據(jù)如下表,用t檢驗進行平均數(shù)間的兩兩比較要進行4(4-1)/2 = 6 次比較檢驗若每次檢驗的顯著性水平為5%，則總的犯一型錯誤的概率為,因此，不能簡單地用t 檢驗方法對3 個或3個以上的總體平均數(shù)進行兩兩比較。 方差分析方法可以有效地解決這個問題。,將數(shù)據(jù)之間的變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。所謂的組：指樣本，不同的組來自不同的總體，接受不同的處理。（1）組內(nèi)變異： 由于同組內(nèi)的個體來自同一總體（接受同一處理）

3、，因此組內(nèi)變異僅僅是由于個體之間的隨機誤差造成的。（2）組間變異： 不同組個體間的變異，除了個體之間的隨機誤差以外，還包括不同處理（不同的組來自不用總體）所造成的差異。,方差分析的基本思想：,方差分析法的基本思想：,比較組間變異和組內(nèi)變異，如果組間變異顯著大于組內(nèi)變異，表明不同的處理之間確實存在差異，或者說不同的總體平均數(shù)之間存在差異；反之，則沒有差異。,6.1 單向分類資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),一、單向分類資料的概念 指資料以一個標志來分類（或者稱為分組）。 標志：指不同的水平，或者稱為不同的處理。 例如：不同品種、不同飼料配方、不同的藥物 等。二、研究目的 比較不同的處理對所考察的指標（性狀）的影響

4、有無差異，或者是比較各處理所代表的總體的平均數(shù)有無差異。,三、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 設(shè)有k 個組，每組的觀察值數(shù)據(jù)是來自該組的處理所代表的總體的一個樣本。全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如下：,本章所介紹的數(shù)學(xué)模型為線性模型，指將觀測值表示為影響觀測值大小的各個因素的效應(yīng)的線性組合。 對于單向分類資料而言，影響觀測值大小的因素分為兩種：（1）處理：對各組實施不同的處理，即它們來自不同的總體；另一方面，同組個體接受的處理是相同的。（2）隨機誤差（隨機殘差）：對每個個體的影響都不同。,因此，將觀測值用以下線性模型表示為：,i : 第i 個處理的總體平均數(shù)（第i組所來自總體的總體平 均數(shù)）eij : 隨機誤差,假設(shè)：（1）,（2

5、）各個eij彼此獨立,6.2 數(shù)學(xué)模型,令 = (1 + 2 + + k)/k,第i個處理的效應(yīng),總平均,稱為總平均，即各個總體平均數(shù)的平均,表示為 i = + ai,i 與 的離差，也稱為第i個處理的效應(yīng),觀測值變異的分解通過對總平方和與自由度的剖分來完成,6.3.1 平方和的剖分,（1）先將離均差平方和改寫為：,因為：,（3）再求一個組內(nèi)的離均差平方和相加得：,離均差之和為0,組內(nèi)平方和,組間平方和,（4）最后，將k 個組的離均差平方和相加得：,組內(nèi)離均差平方和，簡稱組內(nèi)平方和：度量了組內(nèi)的變異。由于組內(nèi)變異與處理無關(guān)，是由于個體間的隨機誤差造成的，所以又稱為誤差平方和。,組間離均差平方和

6、，簡稱組間平方和：度量了組間的變異。由于組間的差異除了隨機誤差以外，還包括不同處理造成的差異，所以又稱為處理平方和。,平方和的計算,6.3.3均方和均方的期望,均方：將組內(nèi)平方和和組間平方和分別除以它們相應(yīng)的自 由度，得到的統(tǒng)計量分別稱為組內(nèi)均方（誤差均方） 和組間均方（處理均方）。,不稱方差，而稱為均方,均方的期望為：,誤差方差,處理效應(yīng),檢驗各組所代表的總體的平均數(shù)，即各個i之間是否存在差異（1）假設(shè)H0: 1 = 2 = = k 或 a1 = a2 = = ak = 0HA: 至少有兩個均數(shù)不等 或 至少有一個 a 0,6.4 假設(shè)檢驗,（2）檢驗統(tǒng)計量,MSA: 組間均方， MSE:組

7、內(nèi)均方,當(dāng) H0 成立時，,當(dāng) H0 不成立時，,當(dāng)H0不成立時，值只應(yīng)該落在分布的一側(cè)，即右側(cè)。所以為單側(cè)檢驗,（）統(tǒng)計推斷,顯著或極顯著：至少有兩個平均數(shù)間存在差異或極顯著差異。,選取顯著性水平（0.05或0.01）查附表9 (P.483)，找到F(dfA，dfE)的值比較計算的 F 值與查表的F(dfA，dfE)值,方差分析表,例（續(xù)）,假設(shè)H0: 1 = 2 = 3 = 4 HA: 至少有兩個均數(shù)不等,6.3.2 自由度的剖分,計算自由度,方差分析表,統(tǒng)計推斷取顯著性水平 = 0.01查附表9得F0.01(3，16) = 5.29 F = 10.22 5.29，否定原假設(shè)，不同飼料對仔

8、豬增重的效果差異極顯著。,6.5 t 檢驗和F檢驗的關(guān)系,在單項分類資料中，如果只有兩個組，用t 檢驗和F 檢驗都可以。舉例說明二者之間的關(guān)系。例：性激素對小公雞的第二性征的影響實驗。隨機抽取體重相近的小公雞22只，隨機分為兩組，一組接受激素A，一組接受激素C。在相同的環(huán)境下飼養(yǎng)，接受激素處理15天后取雞冠稱重，數(shù)據(jù)如下表。試檢驗兩種激素對小公雞雞冠重的影響有無差異。,分別用t 檢驗和F 檢驗進行檢驗。一、t檢驗（1）（2）計算檢驗統(tǒng)計量 兩樣本合并的平方和為：,均數(shù)差異標準誤為：,檢驗統(tǒng)計量為：,（3）統(tǒng)計推斷 因為：t3.38 t0.01（11）2.845， 所以，否定原假設(shè)，接受備擇假設(shè)

9、。兩種激素對小公雞第二性征的影響有著極顯著的差異。,二、F 檢驗（1）（2）計算平方和與自由度,（3）計算自由度,（4）建立方差分析表,（5）統(tǒng)計推斷： 因為，F(xiàn) 11.40F0.01（1，20）8.10， 所以，否定原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。兩種激素對小公雞第二性征的影響有著極顯著的差異。,可以看出：,當(dāng)F分布的分子的自由度為1，分母自由度等于t 分布的自由度時。t檢驗可以認為是 k=2，重復(fù)為 n 的方差分析。,目的：在存在差異的多個平均數(shù)中，找出具體有差異的平均數(shù)。 只能對多個平均數(shù)進行兩兩比較。但是又不能采用 t檢驗，而是采用多重比較方法。Bonferroni t 檢驗Duncans 多重

10、極差檢驗 無論采用哪種多重比較方法，必須在方差分析的基礎(chǔ)上進行，如方差分析結(jié)果為差異不顯著，則無需進行多重比較！,6.6 多重比較,最小顯著差數(shù)法 (LSD法，least significant difference) ： 在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值 與其比較。若 LSDa時，則 與 在水平上差異顯著；反之，則在水平上差異不顯著。,6.6.1 LSD法,利用LSD法進行多重比較時，可按如下步驟進行：(1)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(2)計算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01；

11、(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05 、 LSD0.01比較，作出統(tǒng)計推斷。,（1）假設(shè)： H0: i = j , HA: i j,（2）計算檢驗統(tǒng)計量：,（3）計算LSD并做統(tǒng)計推斷：,已知：,n1=n1=n1=n1=5,MSE=96.88 dfE=16,說明第一種飼料的增重效果極顯著的好于其他3種飼料,對各個平均數(shù)進行兩兩比較：也是一種t檢驗假設(shè)：H0: i = j , HA: i j檢驗統(tǒng)計量：,df = dfE = N - k,顯著性水平：,總的一型錯誤概率,需要比較的次數(shù),6.6.2 Bonferroni t 檢驗,誤差均方,一次比較中犯一型錯誤概率：,一次比較

12、中不犯一型錯誤概率：1 - ,c 次比較中不犯一型錯誤概率：(1 - )c,c 次比較中犯一型錯誤概率： = 1 - (1 - )c,顯著性水平的確定：,例（續(xù)）：,例（續(xù)）：比較1： H0: 1 = 2 , HA: 1 2,差異顯著,例（續(xù)）：比較2： H0: 1 = 3 , HA: 1 3,差異極顯著,比較3： H0: 1 = 4 , HA: 1 4,差異極顯著,例（續(xù)）：比較4： H0: 2 = 3 , HA: 2 3,差異不顯著,比較5： H0: 2 = 4 , HA: 2 4,差異不顯著,例（續(xù)）：比較6： H0: 3 = 4 , HA: 3 4,差異不顯著,對兩個平均數(shù)按其包含的范

13、圍給定一個最小顯著極差將樣本平均數(shù)由大到小排序 對于每一種范圍，計算最小顯著極差,當(dāng),，否定 H0: i = j,k = 范圍 = 兩個平均數(shù)間包含的平均數(shù)個數(shù)(含）,查附表11（P.495）獲得,6.6.3 Duncans 復(fù)極差檢驗,例（續(xù)）,例（續(xù)）,對于 = 0.05 和 0.01，,范圍,2 3 4,SSR 3.00 4.13 3.15 4.34 3.23 4.45,LSR 13.21 18.18 13.87 19.10 14.22 19.59, 0.05 0.01 0.05 0.01 0.05 0.01,例（續(xù)）,平均數(shù),32* 27* 21*,11 6,5,6.7數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,方差分

14、析的數(shù)學(xué)模型 假設(shè)：隨機誤差都服從正態(tài)分布，且彼此獨立。 隨機誤差的獨立性、正態(tài)性和等方差性（或稱方差同質(zhì)性）。 從觀測值的角度，也可將這些假設(shè)表述為： （1） 獨立性：每組（或水平組合）內(nèi)的個體彼此間是 獨立的； （2）正態(tài)性：每組（或水平組合）所代表的總體服從 正態(tài)分布； （3）等方差性：每個正態(tài)總體的方差是相等的。,這些假設(shè)是方差分析的基本假設(shè)，如果這些假設(shè)不滿足，檢驗統(tǒng)計量F就不服從F分布，F(xiàn)檢驗的可靠性就會受到影響。所以在進行方差分析前，首先要考察這些假設(shè)能否滿足或近似滿足。 獨立性：應(yīng)通過合理的試驗設(shè)計來保證。 正態(tài)性和等方差性：往往取決于觀測值本身的性質(zhì)。 因而，對于已經(jīng)獲得的數(shù)

15、據(jù)，我們主要考察它們是否滿足正態(tài)性和等方差性的要求，如果相差太遠，就要考慮采取適當(dāng)?shù)奶幚泶胧?數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換就是可采取的措施之一。通過對數(shù)據(jù)進行某種轉(zhuǎn)換，可使轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)近似滿足這些假設(shè)。,數(shù)據(jù)的非正態(tài)性和和方差的不同質(zhì) 二者經(jīng)常相伴出現(xiàn)，因為往往是數(shù)據(jù)的非正態(tài)性導(dǎo)致了方差的不同質(zhì)，此時我們可以僅考慮利用某種轉(zhuǎn)換使得變換后的數(shù)據(jù)具有等方差性，而非正態(tài)性的缺陷也同時得到了改善。主要內(nèi)容： （1）方差的同質(zhì)性檢驗。 （2）常用的方差同質(zhì)性轉(zhuǎn)換方法。 用變換后的資料進行方差分析后，為解釋所得到的結(jié)果，往往需要將結(jié)果再轉(zhuǎn)換到原來的尺度。,6.7.1方差的同質(zhì)性檢驗,1. Hartley F檢驗,只適用于所

16、有樣本的含量均相等的情況。（1）假設(shè) H0： ；HA：至少有兩個方差不等 其中， 是第i個樣本所代表的總體的方差，k是樣本數(shù)。（2）檢驗統(tǒng)計量,分別為最大、最小的樣本方差。 ：分布由樣本數(shù)k和各樣本的df決定df：每個樣本的樣本含量1臨界值查（附表7）。,適用于當(dāng)某個樣本方差明顯大于其他樣本方差時 1）假設(shè)：同Hartley F檢驗 2）檢驗統(tǒng)計量：,2 . Cochran檢驗,其中： 是第i個樣本的方差， 是最大的樣本方差。G 的分布也取決于樣本的個數(shù)k和df。如各樣本含量相等都為n，df = n-1；如各樣本含量不等但差別不大， ，其中，是各樣本含量的調(diào)和平均數(shù)。查附表8，得到臨界值。,3. Bartlett 檢驗 適用于檢驗不同正態(tài)總體的方差的同質(zhì)性，它可用于樣本含量不等的情形。,6.7.2 方差穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換,1. 方差穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換的一般原理 如果經(jīng)過檢驗判定總體方差是不同質(zhì)的，在很多情況下可以對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換，使轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)的方差近似同質(zhì)，故而稱這種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為方差的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換。 在很多情況下方差的異質(zhì)性表現(xiàn)為方差的大小隨著平均數(shù)的大小而變化，即方差是平均數(shù)的函數(shù)，因而當(dāng)不同總體的平均