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1、2 算符,2-1 定義,主要內(nèi)容：,2-2 算符的代數(shù)運(yùn)算,2-3 作用于左矢的算符,2-4 厄米算符和幺正算符,2-5 投影算符,算符是矢量空間中又一重要概念。在這一節(jié)里，我們在右矢空間中引入算符，并從左右矢空間的對應(yīng)關(guān)系去討論算符及其性質(zhì)。這些性質(zhì)很容易回到單一空間的表示方法中去。,2-1 定義,在算符的定義中，被算符A作用的右矢全體，稱為A的定義域；得出的右矢全體稱為值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定義域與值域都是整個(gè)空間。,一個(gè)算符A，其定義域是一個(gè)矢量空間，而又滿足下列條件的，稱為線性算符：,(2.1),滿足下列二條件的，稱為反線性算符：,(2.2),其中a是任意

2、常數(shù)。在量子力學(xué)中出現(xiàn)的算符，絕大多數(shù)都是線性算符，下面我們只討論線性算符。,算符對其定義域中每一個(gè)右矢作用，都應(yīng)有確定的結(jié)果。定義一個(gè)具體的算符應(yīng)當(dāng)規(guī)定其定義域，并指出它對其定義域中每一個(gè)矢量作用的結(jié)果。而確定一個(gè)具體的線性算符，只須規(guī)定它對其定義域中的一組線性無關(guān)的右矢（例如一組基矢）中每個(gè)右矢的作用結(jié)果即可。,線性算符的定義域，可以是整個(gè)右矢空間本身，也可以是它的一個(gè)子空間。,可以證明，線性算符具有下列性質(zhì)：,（1）線性算符的值域也是右矢空間（大空間本身或其子空間）。,（2）若定義域是有限維的空間，則值域空間的維數(shù)等于或小于定義域空間的維數(shù)。,（3）在定義域中，那些受A的作用得到零矢量的

3、右矢全體，也構(gòu)成一個(gè)右矢空間（定義域的子空間）。,復(fù)數(shù)對右矢的數(shù)乘，可以看成算符對右矢的作用，每一個(gè)復(fù)數(shù)都可以看成一個(gè)算符；其定義域和值域均為全空間：,其中兩個(gè)特殊的算符：,這時(shí)我們記作,則說這兩個(gè)算符是可對易的，或稱為兩個(gè)算符對易。,定義：,(2.2),經(jīng)常使用的幾個(gè)對易關(guān)系：,由上述定義可知，除交換律不一定成立外，算符之間服從一般的加、減、乘和冪次的代數(shù)運(yùn)算法則：,等等。,可以用算符和復(fù)數(shù)構(gòu)成一個(gè)多項(xiàng)式作為算符的函數(shù)：,甚至可以構(gòu)成無窮級(jí)數(shù)（我們不去仔細(xì)考察由此引起的數(shù)學(xué)問題），例如可以寫,(2.3),注意上式是算符的指數(shù)函數(shù)的定義式。在此定義下，關(guān)系式,不是所有的算符都有逆。一個(gè)算符A有

4、逆的條件如下：,定理 設(shè)A是一個(gè)定義域和值域都在全空間的線性算符，若有另外兩個(gè)線性算符B和C存在，滿足,AB=1, CA=1 (2.4),則算符A有逆，而且,證明:,我們證明這樣的A滿足有逆條件(1)和(2)。,定理證畢。,2-2 算符的代數(shù)運(yùn)算,在量子力學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)不可對易線性算符的代數(shù)運(yùn)算，在這一小節(jié)里，我們舉幾個(gè)較復(fù)雜的運(yùn)算例子；并且用代數(shù)方法證明兩個(gè)常用的算符等式（2.9）和（2.14）兩式。,（2.5）,. .,例1：證明：,（2.8）,證明：,用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)上式為,原式成立。下面我們從原式出發(fā)，推出用n+1代替n的同樣形式的式子。,將原式從左方用A作用，得,在上式右

5、邊第二個(gè)取和式中，取j=i+1，得,將此式的求和傀標(biāo)j再改成i，即可與第一和式相加，于是得,這是與原式完全相同的形式，只是原來的n成為n+1，這說明原式若對n成立，對n+1亦成立。由于我們已經(jīng)證明原式對n=1成立，因此，原式對任何整數(shù)n都成立。證畢。,例2：證明：,（2.9）,這是量子力學(xué)中常用的一個(gè)公式，是一個(gè)真正的無窮級(jí)數(shù)。,證明：,利用(2.8)式，有,為證明（2.9）式可取,這時(shí),例5：證明Glauber公式：,（2.14）,證明：,令,令,2-3 作用于左矢的算符,我們在右矢空間中定義了算符A：,（2.17）,注意我們對左矢采用相反的寫法，即算符向左作用于左矢。,右矢空間,左矢空間,

6、（2.19）,（2.20）,將（2.20）式用于右矢空間的算符B：,（2.21）,現(xiàn)在有了左矢和右矢兩個(gè)互為對偶的空間，而算符是兩個(gè)空間公用的。算符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢。算符的這種既能向左，又能向右作用的性質(zhì)，是對偶空間優(yōu)于單一空間的主要之點(diǎn)。,證明：,定理的必要性是明顯的，我們證明其充分性。,（2.22）,（2.23）,定理證畢。,第6節(jié),最后，簡單的提一下單一空間的情況。由于單一空間是右矢空間的復(fù)制品，除了內(nèi)積的說法稍加改變以外，單一空間的事情與右矢空間的事情完全一樣。但這里伴算符的引入是在左右矢兩空間進(jìn)行的，在單一空間情況下，要作一點(diǎn)改變。,(2.24),單一空間的伴算

7、符：,2-4 厄米算符和幺正算符,一、厄米算符,若算符滿足,則稱為厄米算符或自伴算符,證明：,因此,二、等距算符和幺正算符,定理 以下三個(gè)命題是等價(jià)的：,（1）,（2）,（3）,下面的定理指出了等距算符的主要性質(zhì)。,證明：,我們依次證明前一條是后一條的充分條件。,這就是（2）。,已知有，從而有,于是得,這就是（1）。證畢。,幺正算符是滿足以下條件的算符：,（2.26）,幺正算符一定是等距算符，因此有上面定理中指出的性質(zhì)。,幺正算符在討論兩組基矢的關(guān)系時(shí)起重要作用。下面給出兩條有關(guān)的定理。,證明： 證明一組矢量是基矢，只須證明它是正交歸一化的，并且是完全的即可。首先有,由此得,(2.27),(2

8、.28),三、幺正變換,從幺正算符的性質(zhì)可知，幺正變換不改變矢量的模，也不改變兩矢量的內(nèi)積，從而不改變正交關(guān)系。因此一組基矢經(jīng)過幺正變換之后仍是這個(gè)空間的基矢。從這一點(diǎn)來看，在物理上有時(shí)稱矢量的幺正變換為矢量（在多維空間中）的轉(zhuǎn)動(dòng)。,現(xiàn)在，用幺正算符對空間中全部矢量進(jìn)行幺正變換：,（2.29）,（2.30）,(2.29)和(2.30)兩式就是矢量與算符的幺正變換。由此可以看出，一個(gè)包含矢量和算符的關(guān)系式，經(jīng)過幺正變換之后其形式不變。,2-5 投影算符,（2.31）,它作用在任意右矢上得,投影算符的性質(zhì)：,（1）投影算符是線性算符；,（2）投影算符是厄米算符；,右方確實(shí)是實(shí)數(shù)。對于其它投影算符也可以同樣證明。,（3）投影算符的重要性是它的冪等性，即,（4）完全性,我們也可以討論投向整個(gè)空間的投影，這時(shí)投影算符是,右邊取和是對所有基矢。這個(gè)投影算符對空間中任何矢量的作用是,（2.32）,這正是完全性定理中的Parseveal等式。,上式左方是一個(gè)向整個(gè)空間投影的投影算符。既然是向全空間投影，矢量投影后就不會(huì)發(fā)生任何變化。注意（2.32）式的關(guān)鍵是空間的基矢一個(gè)都不能少，否則就不能構(gòu)成完全性關(guān)系。,