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1、1,數 理 統(tǒng) 計,2,第八章 假設檢驗,關鍵詞： 假設檢驗 正態(tài)總體參數的假設檢驗 分布擬合檢驗 秩和檢驗,3,1 假設檢驗,統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設檢驗問題。它包括（1）已知總體分布的形式，但不知其參數的情況，提出參數的假設，并根據樣本進行檢驗.（2）在總體的分布函數完全未知的情況下，提出總體服從某個已知分布的假設，并根據樣本進行檢驗.,4,例1 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別 為： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根據以往經驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布N(6.0, 0.36),現(xiàn)根據樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？,例2

2、一種攝影藥品被其制造商聲稱其貯藏壽命是均值180天、標準差不多于10天的正態(tài)分布。某位使用者擔心標準差可能超過10天。他隨機選取12個樣品并測試，得到樣本標準差為14天。根據樣本有充分證據證明標準差大于10天嗎？,例3 孟德爾遺傳理論斷言，當兩個品種的豆雜交時，圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數將以比例9：3：3：1發(fā)生。在檢驗這個理論時，孟德爾分別得到頻數315、101、108、32、這些數據提供充分證據拒絕該理論嗎？,5,參數的假設檢驗問題處理步驟,1. 根據實際問題的要求，提出原假設 和備擇假設 ；2. 根據樣本X_i，確定檢驗統(tǒng)計量T(X_i)以及拒絕域（拒 絕

3、原假設的區(qū)域）的形式；3. 給定顯著性水平，按照“在原假設H0成立時，拒絕原假 設的概率不大于顯著性水平 ”這一原則，確定拒絕 域；4根據樣本觀測值作出決策，接受原假設還是拒絕原假 設。,6,例1 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根據以往經驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布N(6.0, 0.36),現(xiàn)根據樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？,由于作出決策的依據是一個樣本，因此，可能出現(xiàn)“實際上原假設成立，但根據樣本作出拒絕原假設”的決策。這種錯誤稱為“第一類錯誤”，實際中常常將犯第一類錯誤的概率控制在一定限度

4、內，即事先給定較小的數(01)（稱為顯著性水平）,使得,7,上述檢驗法則符合實際推斷原理。,8,注釋1：假設檢驗中的4種可能結果,通常，犯第一類錯誤的概率、犯第二類錯誤的概率、樣本容量可以看作為“三方拔河”。,第一類錯誤：原假設H0成立時，作出拒絕原假設的決策；第二類錯誤：備擇假設H1成立時，作出接受原假設的決策。,9,這是一對矛盾，要同時減少犯第一、第二類錯誤，只有增大樣本容量。,10,注釋2：假設檢驗與區(qū)間估計的比較。,即拒絕域可以這樣得到：將置信區(qū)間不等號反向，將原假設成立時的值代入到參數中即可。,11,2 正態(tài)總體均值方差的假設檢驗,12,13,14,15,例2 某種元件的壽命X（以小

5、時記）服從正態(tài)分布 均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下： 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）？（取顯著性水平為0.05）,t沒有落在拒絕域內，故接受原假設，認為元件的平均壽命不大于225小時。,16,例3 要求某種元件的平均使用壽命不得低于1000小時，生產者從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其平均壽命為950小時，標準差為100小時。已知這批元件的壽命服從正態(tài)分布。試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格？,t落在拒絕域內，故拒絕原假設，認為這批元件的平均

6、壽命小于1000小時，不合格。,17,18,19,20,例4：某廠使用兩種不同的原料A,B生產同一類型產品。各在一周的產品中取樣分析。取用原料A生產的樣品220件，測得平均重量為2.46（公斤），樣本標準差s=0.57（公斤）。取用原料B生產的樣品205件，測得平均重量為2.55（公斤），樣本標準差為0.48（公斤）。設兩樣本獨立，來自兩個方差相同的獨立正態(tài)總體。問在水平0.05下能否認為用原料B的產品平均重量較用原料A的為大。,21,基于成對數據的檢驗例5：為了試驗兩種不同谷物種子的優(yōu)劣，選取了十塊土質不同的土地，并將每塊土地分為面積相同的兩部分，分別種植這兩種種子。設在每塊土地的兩部分人工

7、管理等條件完全一樣。下面給出各塊土地上的產量。土地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10種子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28種子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27di=xi-yi -3 -4 -6 2 1 5 1 7 -6 1問：以這兩種種子種植的谷物產量是否有顯著的差異（取顯著性水平為0.05)?,22,23,24,25,（四）兩個正態(tài)總體方差的檢驗,26,例7：兩臺機床生產同一個型號的滾珠，從甲機床生產的滾珠中 抽取8個，從乙機床生產的滾珠中抽取9個，測得這些滾珠 的直徑(毫米)如下: 甲機床 15.0 14.8

8、 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8 乙機床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0,27,28,正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與假設檢驗,30,定義 若C是參數的某檢驗問題的一個檢驗法，稱為檢驗法C的施行特征函數或OC函數，其圖形稱為OC曲線。,3 樣本容量的選取,31,1。Z檢驗法的OC函數,32,33,34,例8（工業(yè)產品質量抽驗方案）設有一大批產品，產品質量指標X服從 。以小者為佳，廠方要求所確定的驗收方案對高質量的產品 能以高概率1為買方所接受。買方則要求低質產品 能以高概率1被拒絕。，有廠方與買方協(xié)商給出。并采

9、取一次抽樣以確定該批產品是否為買方所接受。問應怎樣安排抽樣方案。已知 且由工廠長期經驗知 。經商定=0.05。,35,2。t檢驗法的OC函數,36,37,38,4.分布擬合檢驗,前面介紹的各種檢驗法都是在總體服從正態(tài)分布前提下，對參數進行假設檢驗的。實際中可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設 。,例如，要檢驗在計算機上產生隨機數的一個程序。指令該程序產生0到9之間的100個單個數字。觀察整數的頻數如下表。那么以0.05的顯著性水平，有充分的理由相信該批整數不是均勻產生的嗎？,39,例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數可以看

10、作一個隨機變量，據統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數據如下:,通常假設每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數服從泊松分布。那么上面的數據是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數服從泊松分布假設？,40,它是在總體X 的分布未知時，根據來自總體的樣本，檢驗關于總體分布的假設的一種檢驗方法。,（一） 擬合檢驗法,41,42,43,44,例1，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數可以看作一個隨機變量，據統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數據如下:,通常假設每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數服從泊松分布。那么上面的數據是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數服從泊松分布假設？,45,46,例2 孟德爾

11、遺傳理論斷言，當兩個品種的豆雜交時，圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數將以比例9：3：3：1發(fā)生。在檢驗這個理論時，孟德爾分別得到頻數315、101、108、32、這些數據提供充分證據拒絕該理論嗎？,47,例3 下面列出了84個伊特拉斯坎(Etruscan)人男子的頭顱的最大寬度(mm)，試檢驗這些數據是否來自正態(tài)總體（取=0.1）,48,解 為粗略了解數據的分布情況，先畫出直方圖。,步驟如下：1.找出數據的最小值、最大值為126、158，取區(qū)間124.5, 159.5,它能覆蓋126, 158；,2.將區(qū)間124.5, 159.5等分為7個小區(qū)間,小區(qū)間的長度=(15

12、9.5-124.5)/7=5, 稱為組距，小區(qū)間的端點稱為組限，建立下表：,49,3.自左向右在各小區(qū)間上作以fi /n為高的小矩形 如下圖，即為直方圖。,注：直方圖的小區(qū)間可以不等長，但小區(qū)間的長度不能太大，否則平均化作用突出，淹沒了密度的細節(jié)部分；也不能太小，否則受隨機化影響太大，產生極不規(guī)則的形狀。,50,從本例的直方圖看，有一個峰，中間高，兩頭低，較對稱，樣本象來自正態(tài)總體。于是檢驗,51,故在水平0.1下接受H0,認為數據來自正態(tài)總體。,52,（二）偏度、峰度檢驗,偏度、峰度檢驗法是用于檢驗正態(tài)總體的一種方法。,53,54,55,例4 試用偏度、峰度檢驗法檢驗例3中的數據是否來自正態(tài)

13、總體（取=0.1）,56,5 秩和檢驗,秩和檢驗是替換兩個獨立總體均值差的t檢驗的一種非參數方法。,兩個獨立總體均值差的t檢驗是基于兩個總體都服從正態(tài)分布，且方差未知但相等的情形。,而實際情況中，往往兩個獨立總體的分布是未知的，但屬于同一類，例如都是連續(xù)型總體，密度函數只差一個平移。即,57,例如一 通常認為男女的脈搏率是沒有顯著差異的。現(xiàn)在隨機地抽取16位男子和13位女子，測得他們的脈搏率如下表。這些數據能否檢驗假設：男女的脈搏率分布是不同的？,例如二 在一項探討“藝術風格和圖畫數量對一年級兒童的數學理解力的影響”的研究中，分析認為，那些一開始就看了圖畫序列的學生比只看單個圖畫的學生有顯著高

14、的故事性相應得分?？疾煜铝袃山M數據，組1是看了圖畫序列的組，組2只看了單個圖畫的組。檢驗是否組1的分數顯著高于組2的分數。,58,定義1 將一總體的容量為n的樣本觀測值按自小到大的次序編號排列成,威爾柯克斯秩和檢驗可以檢驗上述假設。,59,60,61,62,解： 設第1，2總體分別為新舊方法的排名（秩）,63,64,例2 某商店為了確定向公司A或公司B購買某種商品，將A,B公司以往各次進貨的次品率進行比較，數據如下，設兩樣本獨立。問兩公司的商品的質量有無顯著差異。設兩公司的商品的次品率的密度至多只差一個平移。（取=0.05）,65,66,67,68,69,復習思考題 8,1.假設檢驗的基本思想

15、是什么？其中使用了一條什么原理？2.檢驗的顯著性水平的意義是什么？3.比較雙邊、左邊和右邊檢驗的拒絕域。4.使用U檢驗法可以進行哪些假設檢驗？5.使用t檢驗法可以進行哪些假設檢驗？6.使用2檢驗法可以進行哪些假設檢驗？7.使用F檢驗法可以進行哪些假設檢驗？8.正態(tài)總體期望與方差的區(qū)間估計和假設檢驗兩者之間有什么 相似之處？9.成對數據差的t檢驗適用于哪些特殊場合？10.分布擬合的2檢驗的基本步驟是什么？,70,第九章 方差分析及回歸分析,關鍵詞：單因素試驗 雙因素試驗 交互作用 一元線性回歸 多元線性回歸,71,1單因素試驗的方差分析,例 假設某藥物研究者為檢驗a,b兩種化學物質的抗癌效果，要

16、做動物試驗。通常的作法如下所述：他將一些患有某種癌的白鼠隨機地分成三組。其中兩組分別注射a,b兩種化學物質，而第三組則不作處理，作為對照。記第一組：注射a物質，第二組：注射b物質，第三組：不做處理。經過一段時間觀察后，他得到壽命數據,（一）單因素試驗,72,設第j組有 只老鼠壽命分別為,這是一個典型的最簡單分組試驗方案。分組的依據為藥物：a,b,無。,通常，分組的依據稱為“因素”，因素的不同狀態(tài)稱為因素的“水平”。此例因素（藥物）有三個水平：a,b,無。,只有一個因子，按因子的不同水平來分組的試驗稱為“單因素試驗”。在試驗中，對試驗對象所觀測記錄的變量稱為“響應變量”（例中的壽命）,73,一般地，對一個單因素試驗，假設因素有s(s2)個水平，n個對象參與了試驗。假定對應于因素第j個水平的組中有 個試驗對象，響應變量數據為,通常假定,74,檢驗假設,假設等價于,75,（二）平方和分解,76,證明：,77,78,79,單因素試驗方差分析表,80,81,例1 設有5種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假設將30個病人分成5組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需