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1、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、目標(biāo)認知學(xué)習(xí)目標(biāo) 1了解空間直線和平面的位置關(guān)系; 2.掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；進一步熟悉反證法的實質(zhì)及其一般解題步驟. 3.通過探究線面平行定義、判定和性質(zhì)定理及其應(yīng)用,進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象 能力 通過有關(guān)定理的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用,提高學(xué)生的空間想象力和類比、轉(zhuǎn)化的能力，提高學(xué)生的邏輯 推理能力重點： 直線與平面平行的判定、性質(zhì)定理的應(yīng)用;難點： 線面平行的判定定理的反證法證明，線面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用二、知識要點梳理知識點一、直線和平面垂直的定義與判定1.直線和平面垂直定義 如果直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就

2、說直線與平面互相垂直，記作直線叫平面的垂線;平面叫直線的垂面;垂線和平面的交點叫垂足.要點詮釋： (1)定義中“平面內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”,這與“無數(shù)條直線”不同， 注意區(qū)別 ()直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式. (3)若，則.2.直線和平面垂直的判定定理 判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直. 符號語言： 特征：線線垂直線面垂直 要點詮釋：()判定定理的條件中:“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語,不可忽視. ()要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線 垂直,至于這兩條相交

3、直線是否和已知直線有公共點，則無關(guān)緊要.知識點二、斜線、射影、直線與平面所成的角 一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點間平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角 要點詮釋： (1）直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線.（2）直線與平面垂直射影是點. （3)斜線任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上. ()一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角. 知識點三、二面角1二面角定義平面內(nèi)的一條直線把

4、平面分成兩部分,這兩部分通常稱為半平面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面 表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時為了方便,也可在內(nèi)（棱以外的半平面部分)分別取點，將這個二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個二面角記作二面角或. 2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,則這兩條構(gòu)成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角.知識點四、平面與平面垂直的定義與判定1.平面與平面

5、垂直定義 兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面垂直. 表示方法：平面與垂直，記作. 畫法:兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖： 2.平面與平面垂直的判定定理 判定定理:一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 符號語言: 圖形語言： 特征：線面垂直面面垂直 要點詮釋: 平面與平面垂直的判定定理告訴我們,可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”因此,處理面面垂直問題處理線面垂直問題,進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題.以后證明平面與平面垂直，只要在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個平面垂直即可.

6、知識點五、直線與平面垂直的性質(zhì).基本性質(zhì) 一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線. 符號語言：圖形語言： .性質(zhì)定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 符號語言： 圖形語言: 知識點六、平面與平面垂直的性質(zhì) 性質(zhì)定理：兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言: 圖形語言： 三、規(guī)律方法指導(dǎo)垂直關(guān)系的知識記憶口訣: 線面垂直的關(guān)鍵,定義來證最常見, 判定定理也常用,它的意義要記清, 平面之內(nèi)兩直線，兩線交于一個點, 面外還有一條線，垂直兩線是條件， 面面垂直要證好,原有圖中去尋找, 若是這樣還不好,輔助線面是個寶, 先作交線的垂線,面面轉(zhuǎn)為線和面

7、, 再證一步線和線，面面垂直即可見, 借助輔助線和面，加的時候不能亂, 以某性質(zhì)為基礎(chǔ)，不能主觀憑臆斷, 判斷線和面垂直，線垂面中兩交線, 兩線垂直同一面，相互平行共伸展， 兩面垂直同一線，一面平行另一面， 要讓面和面垂直,面過另面一垂線， 面面垂直成直角，線面垂直記心間.經(jīng)典例題透析類型一、直線和平面垂直的定義下列命題中正確的個數(shù)是( ） 如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；如果直線與平面內(nèi)的一條直線垂直,則;如果直線不垂直于,則內(nèi)沒有與垂直的直線； 如果直線不垂直于,則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直. .0 .1 .2 D3 答案：B 解析：當(dāng)內(nèi)的無數(shù)條直線平行時,與不一定垂直，故不對; 當(dāng)

8、與內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證與垂直,故不對; 當(dāng)與不垂直時，可能與內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,故不對;正確.故選B. 總結(jié)升華：注意直線和平面垂直定義中的關(guān)鍵詞語.舉一反三: 【變式1】下列說法中錯誤的是( ) 如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直,該直線與這個平面必相交; 如果一條直線和平面的一條平行線垂直，該直線必在這個平面內(nèi)； 如果一條直線和平面的一條垂線垂直,該直線必定在這個平面內(nèi); 如果一條直線和一個平面垂直,該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線. A B. C. D.答案:D 解析:如圖所示,直線,面BC,顯然， 錯; 由于，,但,錯; ，,但,錯. 由直線與平面垂直的定義知正確，故選. 總結(jié)升華

9、:本題可以借助長方體來驗證結(jié)論的正誤.類型二、直線和平面垂直的判定2.如圖所示，已知RtABC所在平面外一點,且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點 (1)求證：D平面BC; (2）若ABC，求證:BD平面SAC. 證明:(1）因為SA=SC,D為AC的中點， 所以SC 連接B. 在Rt中,有AD=DC=， 所以SDSD, 所以DB=SDA, 所以SBD. 又ACBD=D， 所以SD平面ABC. （2）因為ABC，D是的中點， 所以BAC 又由(1)知SBD， 所以B垂直于平面AC內(nèi)的兩條相交直線, 所以BD平面SAC.總結(jié)升華：挖掘題目中的隱含條件,利用線面垂直的判定定理即可得證.舉一反三

10、： 【變式1】如圖所示,三棱錐的四個面中，最多有_個直角三角形. 答案：4 解析:如圖所示，PA面ABC.BC=90,則圖中四個三角形都是直角三角形.故填4. 總結(jié)升華：注意正確畫出圖形. 【變式】如圖所示,直三棱柱中，ACB，AC=,，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對角線交點為，的中點為M. 求證:CD平面B.證明:如右圖，連接、,則. ，為等腰三角形. 又知為其底邊的中點， ,， 又，. 為直角三角形，D為的中點,. 又，,. .即CDM. 、為平面DM內(nèi)兩條相交直線, 平面BDM.類型三、直線和平面所成的角3如圖所示，已知BC在平面內(nèi)，A是平面的斜線,且=AO60,OA=OB=C=，C=，求OA和平面

11、所成的角. 解析:,OB=AOC=60, AOB、AOC為正三角形， . ，, AB為直角三角形 同理BC也為直角三角形. 過A作垂直平面于H,連接O, AO=A=， OH=BHC，H為BOC的外心. 在BC上，且H為BC的中點 tAH中，, ， AOH45 即AO和平面所成角為45 總結(jié)升華：(1）確定點在平面內(nèi)的射影的位置，是解題的關(guān)鍵，因為只有確定了射影的位置,才能找到直線與平面 所成的角,才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解. （2）求斜線與平面所成的角的程序： 尋找過直線上一點與平面垂直的直線; 連接垂足和斜足得出射影，確定出所求解; 把該角放入三角形計算. (3）直線和平面所成的角

12、，也應(yīng)考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內(nèi)諸情況,也就是直 線和平面成90角和0角的情況,所以求線面所成角時,應(yīng)想到以上兩種情況.舉一反三：【變式1】如圖所示,在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1,則與側(cè)面所成的角是_. 答案：解析:如右圖.由題取AC中點O，連接O.則B平面. 故為與平面所成角 又在中,. ,.類型四、二面角4如圖所示，在四面體ABCD中，BD、ACD、BC、ABC都全等,且,求以BC為棱,以面BD和面A為面的二面角大小解析:取C的中點E,連接AE、DE, A=AC， EBC 又ABACD，ABC， D=C, DEBC AED為二面角的平面角. 又ABCBDC, D=B=, 在RB中，D=,BE=1, , 同理. 在AE中, ，, , AED90 以面BC和面ABC為面的二面角大小為90. 總結(jié)升華：確定二面角的平面角,常常用定義來確定.舉一反三: 【變式1】已知D、E分別是正三棱柱的側(cè)棱和上的點,且.求過、的平面與棱柱的下底面所成的二面