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1、第二章 流體靜力學(xué),流體靜力學(xué)研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條件求靜壓強(qiáng)分布，并求靜水總壓力。 靜止是相對(duì)于坐標(biāo)系而言的，不論相對(duì)于慣性系或非慣性系靜止的情況，流體質(zhì)點(diǎn)之間都沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這意味著粘性將不起作用，所以流體靜力學(xué)的討論不須區(qū)分流體是實(shí)際流體或理想流體。,21 流體靜壓強(qiáng)及其特性,22 流體的平衡微分方程及其積分,24 非慣性系中液體的平衡,23 重力作用下的液體平衡,25 作用于平面上的靜水總壓力,26 作用于曲面上的靜水總壓力,21 流體靜壓強(qiáng)及其特性,一、靜止流體的壓強(qiáng),Pn,n,平均靜壓強(qiáng)：靜止流體中某一有限小面積A表面上的總壓力P與該面積之比，即 ：,點(diǎn)的靜壓強(qiáng)：當(dāng)A無限縮小

2、至趨于一點(diǎn)k時(shí)，上述比值取A0的極值，即為k點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，即 ：,(x,y,z)是連續(xù)函數(shù)，單位為N/m2，即應(yīng)力的單位 。,k,靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力,在這個(gè)表達(dá)式中，已包含了應(yīng)力四要素：作用點(diǎn)、作用面、受力側(cè)和作用方向。,法向應(yīng)力沿內(nèi)法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個(gè)法向應(yīng)力稱為靜壓強(qiáng)，記作 pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強(qiáng)是否與作用面方位有關(guān)，腳標(biāo)中須標(biāo)上作用面法線方向。,二、流體靜壓強(qiáng)的特性,靜止流體的應(yīng)力只有法向分量（流體質(zhì)點(diǎn)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在切應(yīng)力）。,Pn,n,1 流體靜壓強(qiáng)的作用方向?yàn)樽饔妹娴膬?nèi)法線方向,2 靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān),在靜止流體中取出以

3、 M 為頂點(diǎn)的四面體流體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以 y 方向?yàn)槔?，寫出平衡方?Y 是單位質(zhì)量力在 y 方向的分量,M,上圖中四面體的體積積分為：,此時(shí)，pn，px，py，pz已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位 n 又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)。,當(dāng)四面體微元趨于M點(diǎn)時(shí)，即取dx，dy，dz0的極限，可得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz。,靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)數(shù)量場 p = p(x, y, z) 來描述，有了這個(gè)靜壓強(qiáng)場，即可知道在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意方位 n 為法向的面元上的應(yīng)力為：,靜壓強(qiáng) pn(

4、x,y,z) 與作用面的方位無關(guān)，僅取決于作用點(diǎn)的空間位置，是空間坐標(biāo)的單值函數(shù)，所以可將腳標(biāo)去掉寫成 p(x,y,z) 。,22 流體的平衡微分方程及其積分,平衡微分方程的推導(dǎo),表面力在 y 方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為,o,在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在 y 方向的受力。,微元所受 y 方向上的質(zhì)量力為,o,平衡方程為,或,同理有,和,其中 X, Y, Z 是質(zhì)量力 f 的三個(gè)分量。,稱為靜壓強(qiáng)場的梯度。它 是數(shù)量場 p(x,y,z) 對(duì)應(yīng)的一 個(gè)矢量場。,稱為哈密爾頓算子,它同時(shí)具有矢量和微分（對(duì)跟隨其后的變量）運(yùn)算的功能。用它來表達(dá)梯度，非常簡潔，并便于記憶。

5、,平衡微分方程的矢量形式,其中,的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了數(shù)量場在空間上的不均勻性。 流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上表明了質(zhì)量力和壓差力之間的平衡。 壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過壓差來體現(xiàn)的。,歐拉平衡微分方程的物理意義,上式即為流體平衡微分方程，又稱為歐拉平衡微分方程（L. Euler, 1775. Sweetzland）適用于連續(xù)介質(zhì)流體。（可壓、不可壓）,歐拉，L. ( Leonhard Euler 1707-1783)瑞士數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。,歐拉，1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國彼得堡，俄國皇帝聘請的外籍院士。歐拉是18世紀(jì)著述最多的數(shù)學(xué)

6、家。他的著述涉及當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，許多數(shù)學(xué)名詞是以歐拉命名的，如歐拉積分、歐拉數(shù)、各種歐拉公式等。歐拉將數(shù)學(xué)分析方法用于力學(xué)，在力學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有突出貢獻(xiàn)；他是剛體動(dòng)力學(xué)和流體力學(xué)的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的開創(chuàng)人。他曾用兩種方法來描述流體的運(yùn)動(dòng)，即分別根據(jù)空間固定點(diǎn)（1755）和根據(jù)確定流體質(zhì)點(diǎn)（1759）描述流體速度場。這兩種方法通常稱為歐拉表示法和拉格朗日表示法。歐拉奠定了理想流體的運(yùn)動(dòng)理論基礎(chǔ)，給出反映質(zhì)量守恒的連續(xù)性方程（1752）和反映動(dòng)量變化規(guī)律的流體動(dòng)力學(xué)方程（1755）。歐拉寫有專著和論文800多種。,歐拉平衡微分方程的積分,在微分方程兩邊同時(shí)點(diǎn)乘以微元長度矢量 得,因?yàn)?/p>

7、p=p(x,y,z)，故有,對(duì)不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則,可見單位質(zhì)量力在微元長度上所作的功應(yīng)為某一函數(shù)W的全微分，令 ，則,用矢量表示，即,稱W為質(zhì)量力 的勢函數(shù)。由此可見：,在不可壓縮平衡流體中，質(zhì)量力必定有勢（函數(shù)）。,再作積分：,式中，C為積分常數(shù)。若已知流場中某一點(diǎn)O的質(zhì)量力勢函數(shù)，W0和靜壓強(qiáng)p0，則可消去常數(shù)C，得,此即不可壓流體的平衡微分方程的積分式。,將以上定義的質(zhì)量力的勢函數(shù)W代入平衡微分方程得：,在上式中，因?yàn)閯莺瘮?shù)W僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，故 W-W0 也僅為空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)而與空間點(diǎn)O上的壓力p0無關(guān)。由此推論：* 在平衡液體中，已知（邊界）點(diǎn)上的壓強(qiáng)將等值地傳遞到流體

8、內(nèi)的一切點(diǎn)上；該點(diǎn)上壓強(qiáng) p0 的任意大小變化，將導(dǎo)致流體內(nèi)所有點(diǎn)上產(chǎn)生同樣大小的壓強(qiáng)改變。,定義：平衡流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)所組成平面或曲面稱為等壓面 。,帕斯卡定律,等壓面,1 等壓面與等勢面重合；因?yàn)樵诘葔好嫔蟙p=0，故由前述平衡方程式得dW=0。 2 等壓面恒與質(zhì)量力正交。由性質(zhì)1及勢函數(shù)定義得：,等壓面的性質(zhì),寫成矢量形式為：,為等壓面上的任意微分長度矢量，上式表明質(zhì)量力與等壓面上的任意線矢量相互垂直，則 與等壓面正交。應(yīng)用：在重力作為質(zhì)量力的慣性系中，等壓面為與地球同心的球面，即水平面。（這點(diǎn)下節(jié)還要詳細(xì)討論） 。,23 重力作用下的液體平衡,一.流體靜力學(xué)基本方程,z 軸垂直向上，

9、流體不可壓縮。,積分,或,此即為重力作用下的流體靜力學(xué)基本方程，表明在重力場中連通的同種靜止液體中： 壓強(qiáng)隨位置高程線性變化； 等壓面是水平面，與質(zhì)量力垂直； 是常數(shù)。,要知道靜止流體中具體的壓強(qiáng)分布，關(guān)鍵是知道其中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，從而確定積分常數(shù) C。,對(duì)靜止流體中任意兩點(diǎn)，上式可寫成：,或,* 對(duì)于氣體，由于重度較小，故在兩點(diǎn)間高程差（z1-z2）不大時(shí)，任意兩點(diǎn)的靜壓強(qiáng)近似相等 。,如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準(zhǔn)面 z=0，自由面上的壓強(qiáng)為 p0 ，則,若令 h= -z（向下為正），則,此式亦稱為水靜力學(xué)基本方程，它表明，靜止液體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：自由面上的氣體壓強(qiáng)；液

10、面下深度為h的單位底面積液柱體的重量，即 。,帕斯卡定律,亦即：靜止流體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)變化，將等值地傳給該流體中的其它各點(diǎn)（水壓機(jī)，水力起重機(jī)的工作原理） 。,對(duì)上式兩邊求壓強(qiáng)的微分得：（坐標(biāo)固定不變，則h為常數(shù)）,重力作用下的等壓面（靜止液體中）,復(fù)習(xí)討論：,自由液面；* 水下深度相同的面（即液體內(nèi)的任一水平面）； 兩種均質(zhì)不摻混液體的交界面。,等壓面的重要意義,* 等壓面的概念和流體(水)靜力學(xué)基本方程同為流體靜力學(xué)中十分重要的內(nèi)容。掌握和運(yùn)用等壓面非常有助于簡化問題。 * 但應(yīng)著重指出，水靜力學(xué)基本方程及等壓面的概念，只對(duì)互相連通的同一種流體才可應(yīng)用（因?yàn)楸仨毐ＷC在方程中為常數(shù)，若為兩種

11、流體時(shí)，變化，則許多結(jié)論不成立），故類等壓面概念應(yīng)加以甄別應(yīng)用 。,B,二. 絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空（值）壓強(qiáng),A,絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn),A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng),B點(diǎn)真空壓強(qiáng),A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng),B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng),相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn),O,大氣壓強(qiáng) pa,O,壓強(qiáng),壓強(qiáng) p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：,以完全真空為零點(diǎn)，記為 pabs,絕對(duì)壓強(qiáng),兩者的關(guān)系為: pr= pabs- pa,以當(dāng)?shù)卮髿鈮?pa 為零點(diǎn)，記為 pr,相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。,相對(duì)壓強(qiáng),真空壓強(qiáng),B,A,絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn),A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng),B點(diǎn)真空壓強(qiáng),A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng),B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng),相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn),O,大氣壓強(qiáng) pa,O,壓強(qiáng),今后討論壓強(qiáng)一般指

12、相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為 p，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。,三、壓強(qiáng)的表示方法,1用單位面積上的力表示，如前定義。 2以工程大氣壓表示，即以98,000 N/m2為基本單位，相當(dāng)于736mm汞柱對(duì)柱底產(chǎn)生的壓強(qiáng)。* 3. 用液柱高表示。 由流體靜力學(xué)基本方程式，即 可見壓強(qiáng)項(xiàng)具有長度的單位。,也可這樣理解：一定的液柱高可以產(chǎn)生一定的靜水壓強(qiáng)，壓強(qiáng)和柱高是一一對(duì)應(yīng)的，例如10m水柱可產(chǎn)生98,000N/m2的靜水壓強(qiáng)，因此98,000N/m2壓強(qiáng)可以說等于10m水柱高，即一個(gè)工程大氣壓（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為10.33m水柱高）。,如果 z = 0 為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強(qiáng)為大氣壓，則液面以下 h

13、 處的相對(duì)壓強(qiáng)為 h ，所以在液體指定以后高度也可度量壓強(qiáng)，稱為液柱高，例如：m(H2O)，mm(Hg) 等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱為真空度。,一個(gè)工程大氣壓為 98.10 kN/m2，相當(dāng)于 10 m(H2O) 或 736 mm(Hg),四. 位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測壓管水頭,流體靜力學(xué)基本方程式 中，各項(xiàng)都為長度量綱，統(tǒng)稱為水頭（液柱高）。,* 各項(xiàng)的物理意義：,1在流體靜力學(xué)基本方程中，第一項(xiàng)z表示靜止流體（液體）中某點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的幾何位置，稱為水頭，或水位。顯然，流體質(zhì)點(diǎn)的位置越高，因這種高度作用形 成的能量愈大，故z可視為單位重量流體的位能。 所以

14、，水頭是一個(gè)狀態(tài)的概念，即表示一個(gè)位置高度，同時(shí)又表示一種能量狀態(tài)。,* 各項(xiàng)的物理意義：,2式中第二項(xiàng)（壓強(qiáng)項(xiàng)）具有長度的單位，同時(shí)從能量的觀點(diǎn)看， 可代表單位重量液體所具有的壓能。若液體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)為p時(shí)，表明該處對(duì)應(yīng)于液柱高產(chǎn)生的壓強(qiáng)。在此壓強(qiáng)的作用下，該點(diǎn)上的液體質(zhì)點(diǎn)若用一開口玻璃管（稱為測壓管）與大氣相通，則質(zhì)點(diǎn)將上升一個(gè)高度 （稱為測壓管高度或壓強(qiáng)水頭）才靜止下來，此時(shí)液體的壓能轉(zhuǎn)化成高度為 的位能。設(shè)此質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為dm，此時(shí)經(jīng)轉(zhuǎn)化得到的位能為dmg 。,故 就代表單位重量液體所具有的壓強(qiáng)勢能，簡稱壓能，壓能是易流動(dòng)連續(xù)介質(zhì)中特有的能量形式 。,* 各項(xiàng)的物理意義：,3在靜止流體中，

15、機(jī)械能只有位能和壓能，二者之和稱為 勢能。單位重量液體所具有的勢能（ ）稱為單位勢能，通常又稱為測壓管水頭。 于是流體靜力學(xué)基本方程亦可表述為： 在重力作用下，同一種連通的靜止流體中，各點(diǎn)的測壓管水頭都彼此相等。,可見：位置水頭（位能）與壓強(qiáng)水頭（壓能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和 測壓管水頭（單位勢能）是保持不變的。,在內(nèi)有液體的容器壁選定測點(diǎn)，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。,O,O,測壓管內(nèi)的靜止液面上 p = 0 ，其液面高程即為測點(diǎn)處的 ，所以叫測壓管水頭。,測壓管水頭的含義,如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測壓管測得的測壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測壓

16、管水頭。如接上多根測壓管，則各測壓管中的液面都將位于同一水平面上。,O,O,測靜壓只須一根測壓管,敞口容器和封口容器接上測壓管后的情況如圖,五. 測壓原理和流體壓強(qiáng)的測量,測壓管的一端接大氣，這樣就把測管水頭揭示出來了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測點(diǎn)處的壓強(qiáng)。一般用于測相對(duì)壓強(qiáng)、小量程壓強(qiáng) 。,1 用測壓管測量,A,一般以水銀為工作液體，可測量較大液體壓強(qiáng)或氣壓（相對(duì)壓強(qiáng)），由于連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，故須在它們的分界面處作過渡（利用等壓面）。,2 用U型管測量,即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任何二點(diǎn)的壓差，這就是比壓計(jì)的測量原理。,3 用比壓計(jì)測量,流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的。,24 非慣性系中液體的平衡,一. 非慣性系中靜止液體的平衡方程,慣性系中靜止液體的平衡方程,非慣性系中靜止液體的平衡方程,這樣非慣性系中平衡方程在處理上就和慣性系沒有區(qū)別了。,替代,用,表面力中仍無切應(yīng)力,二. 兩個(gè)例子,所有流體質(zhì)