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1、1,材 料 力 學(xué),2022年7月21日,第四章彎 曲 應(yīng) 力,2,第四章 彎曲內(nèi)力,4. 1 對稱彎曲的概念及計算簡圖4. 2 梁的剪力和彎矩.剪力圖和彎矩圖4. 3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4. 4 梁橫截面上的正應(yīng)力.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件4. 5 梁橫截面上的切應(yīng)力.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件4. 6 梁的合理設(shè)計,3,工程問題中，有很多桿件是受彎曲的。,4. 1 對稱彎曲的概念及計算簡圖,4,彎曲變形,載荷垂直于桿的軸線，,以彎曲變形為主的桿件,軸線由直線,曲線,稱為梁。,1、對稱彎曲,若梁(1) 具有縱向?qū)ΨQ面;(2) 所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ,則軸線變形后也是該對稱面內(nèi)的曲線。,面內(nèi)。,5,2

2、、計算簡圖,1） 支座的幾種基本形式,固定鉸支座,6,1） 支座的幾種基本形式,固定鉸支座,活動鉸支座,向心軸承,7,向心軸承,向心止推軸承,8,固定端約束,2） 載荷的簡化,集中力,集中力偶,分布載荷,3） 靜定梁的基本形式,主要研究等直梁。,9,3）靜定梁的基本形式,主要研究等直梁。,簡支梁,外伸梁,懸臂梁,10,3）超靜定梁,主要研究等直梁。,例4-1 試求圖所示梁A、B處的約束力。,4）梁的約束力計算,(a),11,例4-1 試求圖所示有中間鉸C的梁A、B處的約束力。,解：1. 此梁左端A為固定端，有3個未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和MA；右端B處為可動鉸支座，有1個未知約束力FBy。此梁

3、總共有4個未知支約束力。,12,解：1. 此梁左端A為固定端，有3個未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和MA；右端B處為可動鉸支座，有1個未知約束力FBy。此梁總共有4個未知支約束力。,研究CB梁，受力如圖,13,研究CB梁，受力如圖,研究整體，受力如圖,14,研究整體，受力如圖,15,4. 2 梁的剪力和彎矩.剪力圖和彎矩圖矩,1、梁的剪力和彎矩。,例4-2,已知：q = 20 kN/m, 尺寸如圖。,求：D截面處的內(nèi)力。,x,求內(nèi)力的方法截面法。,解：,建立x坐標(biāo)如圖。,(1) 求支座反力,取整體，受力如圖。,16,(1) 求支座反力,取整體，受力如圖。,(2) 求D截面內(nèi)力,從D處截開，取左段。,

4、x,橫截面上的內(nèi)力如圖。,17,(2) 求D截面內(nèi)力,從D處截開，取左段。,橫截面上的內(nèi)力如圖。,規(guī)律,FsD = 截面一側(cè)所有y向外力代數(shù)和,MD = 截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和,18,若從D處截開，取右段。,橫截面上的內(nèi)力如圖。,計算可得FSD, MD的數(shù)值與取左段所得結(jié)果相同。但從圖上看，它們的方向相反。,剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)則如何？,19,剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定,剪力,使其作用的一段梁產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力為正。,彎矩,使梁產(chǎn)生上凹(下凸)變形的彎矩為正。,20,剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變

5、化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。,2、 剪力方程和彎矩方程.剪力圖和彎矩圖,剪力方程,彎矩方程,1）利用剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖,21,例4-3 圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.列剪力方程 和彎矩方程,1）利用剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖,22,解：1.列剪力方程 和彎矩方程,2. 作剪力圖和彎矩圖,23,例4-4 圖所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1. 求約束力,2. 列剪力方程和彎矩方程,24,2. 列剪力方程和彎矩方程,3. 作剪力圖和彎矩圖,25,例4-5 已知:簡支

6、梁如圖。,解：,求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。,(1) 求支反力,需分段求解。,(2) 求剪力方程和彎矩方程,分為兩段：AC和CB段。,AC段,取x截面，左段受力如圖。,26,需分段求解。,(2) 求剪力方程和彎矩方程,分為兩段：AC和CB段。,AC段,取x截面，左段受力如圖。,由平衡方程，可得:,CB段,x,取x截面，,27,由平衡方程，可得:,CB段,取x截面，,左段受力如圖。,(3) 畫剪力圖和彎矩圖,28,(3) 畫剪力圖和彎矩圖,29,作剪力圖和彎矩圖的步驟,(1) 求支座反力；(2) 建立坐標(biāo)系(一般以梁的左端點為原點)；(3) 分段 在載荷變化處分段；(4) 列出每

7、一段的剪力方程和彎矩方程；(5) 根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖。,30,x,解：1、求約束力,例4-6 已知：q = 20 kN/m, 尺寸如圖。,作剪力圖和彎矩圖,AB段：,2、剪力方程和彎矩方程,31,3、作剪力圖和彎矩圖,BC段：,AB段：,2、剪力方程和彎矩方程,32,AB段：,BC段：,3、作剪力圖和彎矩圖,33,2） 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系,對圖示的直梁,考察dx 微段的受力與平衡。,34,考察dx微段的受力與平衡,略去高階微量,35,略去高階微量,還可有：,q(x)、F(x)和M(x)間的 微分關(guān)系,36,q(x)、F(x)和M(x)間的微分關(guān)系,上次例 3 (

8、書例4. 3),由微分關(guān)系可得以下結(jié)論,37,由微分關(guān)系可得以下結(jié)論,(1) 若q(x) = 0,F(x) =常數(shù)，,剪力圖為水平線；,M(x) 為一次函數(shù)，,彎矩圖為斜直線。,(2) 若q(x) = 常數(shù),F(x)為一次函數(shù)，,剪力圖為斜直線；,M(x) 為二次函數(shù)，,彎矩圖為拋物線。,38,(2) 若q(x) = 常數(shù),F(x)為一次函數(shù)，,剪力圖為斜直線；,M(x) 為二次函數(shù)，,彎矩圖為拋物線。,當(dāng)q(x) 0(向上)時,拋物線是上凸的；,(3) 在剪力Fs為零處,彎矩M取極值。,39,(3) 在剪力Fs為零處,彎矩M取極值。,注意:,以上結(jié)論只在該,段梁上無集中力或集中力偶作用時才成

9、立。,40,(4) 在集中力作用點：,剪力圖有突變，突變值即為集中力的數(shù)值，突變的方向沿著集中力的方向(從左向右觀察)；,彎矩圖在該處為折點。,(5) 在集中力偶作用點:,對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數(shù)值。,41,集中力偶為逆時針時，向上跳(從左向右看);順時針時，向下跳 (從左向右看).,(5) 在集中力偶作用點:,對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數(shù)值。,42,二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系,外力,無外力段,均布載荷段,集中力,集中力偶,F圖特征,M圖特征,水平直線,斜直線,自左向右突變,無變化,斜直線,曲線,自左向右折角,自左向右突變,與m反,

10、43,根據(jù)微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖,(1) 求支反力；(2) 建立坐標(biāo)系(一般以梁的左端點為原點)；(3) 分段 確定控制面；(4) 求出控制面上的F、M值；(5) 根據(jù)微分關(guān)系連線，作出剪力圖和彎矩圖。,44,例 4-7,已知：簡支梁如圖。,解：,求：利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。,(1) 求支反力:,(2) 坐標(biāo)系,(3) 確定控制面:A、B、C面,(4) 計算控制面的Fs和M,45,作剪力圖,(4) 計算控制面的Fs,Fs,46,作彎矩圖,(5) 計算控制面的M,Fs,47,例4-8 利用微分關(guān)系作圖示梁的內(nèi)力圖。,解：1、求支反力,2、求控制面內(nèi)力,左端點A：,B點左：,B點右：,C點

11、左：,M 的極值點：,48,C點右：,右端點D：,M 的極值點：,作彎矩圖,作剪力圖,49,例4-9 改內(nèi)力圖的錯誤。,50,例4-10 已知Fs圖,求外載及M圖（梁上無集中力偶）,Fs(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,1,51,3) 按疊加原理作彎矩圖,(i) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進(jìn)行計算的，這就是說，在小變形情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于各外荷載單獨作用時相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。,(ii) 疊加原理 當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與

12、梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時，由幾項荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。,52,例 4-11 已知：q, P。,解：,用疊加法作彎矩圖。,約束反力,若梁分別受到這兩種載荷的作用：,53,約束反力,若梁分別受到這兩種載荷的作用：,54,若梁分別受到這兩種載荷的作用：,可以看出：,彎矩方程,55,彎矩方程,AC段：,CB段：,結(jié)論,在小變形的情況下，約束反力和內(nèi)力都是外載荷的線性函數(shù)，可以使用疊加法。,疊加法作彎矩圖,56,疊加法作彎矩圖,+,=,57,4. 3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖,1、平面剛架,平面剛架由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接

13、的結(jié)構(gòu)。,剛節(jié)點, 在連接兩部分的節(jié)點處夾角不變。,特點,內(nèi)力分量中，除了剪力和彎矩外，通常還有軸力。,58,特點,內(nèi)力分量中，除了剪力和彎矩外，通常還有軸力。,內(nèi)力的正負(fù)號與觀察位置,無關(guān),無關(guān),59,內(nèi)力的正負(fù)號與觀察位置,有關(guān),無關(guān),無關(guān),彎矩畫在受拉側(cè),60,(1)可分段建立坐標(biāo)系；(2)軸力、剪力畫在內(nèi)側(cè)或外側(cè)均可（通常正值畫 在剛架外側(cè)），但需標(biāo)出正負(fù)號；(3)彎矩畫在受拉側(cè)。,剛架內(nèi)力圖的畫法,61,例4-12 試作圖所示剛架的內(nèi)力圖。,解：各桿的內(nèi)力方程為：,62,作剛架的內(nèi)力圖,特點：,在剛節(jié)點處，彎矩值連續(xù) ;,可以利用剛節(jié)點的平衡，對內(nèi)力圖進(jìn)行校核。,63,思考：能根據(jù)概

14、念繪出圖示平面剛架(框架) 的內(nèi)力圖嗎？,64,2、平面曲桿的彎曲內(nèi)力,平面曲桿,平面曲桿的內(nèi)力圖的畫法與剛架的內(nèi)力圖的畫法類似。,軸線為平面曲線的桿或梁。,例4-13,已知：P, R。,求：橫截面上的內(nèi)力圖。,解：,取m-m截面，取右段，受力如圖。,65,解：,取m-n截面，取右段，受力如圖。,（外側(cè)受拉）,66,橫截面上的內(nèi)力圖。,67,4. 4 梁橫截面上的正應(yīng)力.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,橫力彎曲,梁的橫截面上同時有彎矩和剪力的彎曲。,純彎曲,梁的橫截面上只有彎矩時的彎曲。,橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。,純彎曲的變形特征,68,純彎曲的變形特征,69,純彎曲的變形特征,基本假設(shè)1: 平面假

15、設(shè),變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于梁的軸線。,中性層與中性軸,基本假設(shè)2: 縱向纖維無擠壓假設(shè),縱向纖維間無橫向正應(yīng)力。,70,中性層與中性軸,71,1、 純彎曲時的正應(yīng)力,1） 變形幾何關(guān)系,取坐標(biāo)系如圖，z軸為中性軸； y軸為對稱軸。,縱向線bb變形后的長度為:,縱向線bb變形前的長度,為求出距中性層 y處的應(yīng)變，取長dx的梁段研究:,中性層長度不變, 所以有:,72,縱向線bb變形后的長度為:,bb變形前的長度,縱向線bb的應(yīng)變?yōu)?即：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。,中性層長度不變,所以,73,2 物理關(guān)系,因為縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極

16、限時，由胡克定律有:,即：純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。,3 靜力關(guān)系,74,3 靜力關(guān)系,對橫截面上的內(nèi)力系，有:,由梁段的平衡有:,75,由梁段的平衡有:,對橫截面上的內(nèi)力系，有:,所以,z 軸通過形心。,即：中性軸通過形心。,76,由,即：,中性軸通過形心。,由,因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。,77,由, 梁的抗彎剛度,將上式代入,78,由于推導(dǎo)過程并未用到矩形截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對稱面內(nèi)的情況。 公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。 公式是從純彎曲梁推得，是否適用于一般情形（橫力彎曲）？,純彎曲時正應(yīng)力公式,公式的適用性,79,5. 3 橫力彎曲時的正應(yīng)力,橫力彎曲時，橫截面上有切應(yīng)力,平面假設(shè)不再成立,此外, 橫力彎曲時縱向纖維無擠壓假設(shè)也不成立.,由彈性力學(xué)的理論，有結(jié)論：,當(dāng)梁的長度l與橫截面的高度h的比值:,則用純彎曲的正應(yīng)力公式計算橫力彎曲時的正應(yīng)力有足夠的精度。 l / h 5 的梁稱為細(xì)長梁。,80,最大正應(yīng)力,橫力彎曲時，彎