拉格朗日方程課件.ppt
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1、動力學普遍方程 拉格朗日方程,拉格朗日方程,引 言,將達朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導出動力學普遍方程和拉格朗日方程。動力學普遍方程中系統(tǒng)的運動是直角坐標來描述的,而拉格朗日方程是用廣義坐標來描述系統(tǒng)的運動,兩者都是用來解決非自由質(zhì)點系的動力學問題,它是用分析的方法解決動力學問題的出發(fā)點,因此它是分析力學的基礎。對于解決復雜的非自由質(zhì)點系的動力學問題,應用拉格朗日方程往往要比用動力學普遍方程簡便得多。,1.1,動 力 學 普 遍 方 程,設由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系,由達朗伯原理知,在質(zhì)點系運動的任一瞬時,任一質(zhì)點 上作用的主動力 ,約束反力 及其慣性力 三者構(gòu)成形式上的平衡力系,即,對該質(zhì)點系
2、應用虛位移原理,為此,取質(zhì)點系的任何一組虛位移 ,則得,設該質(zhì)點受的是理想約束,則有,故,1.1,動 力 學 普 遍 方 程,即,將上式寫成解析式,則有,以上兩式是由達朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果,稱為動力學普遍方程,也稱達朗伯拉格朗日方程。動力學普遍方程可以敘述如下:在理想約束條件下,在任一瞬時作用在質(zhì)點系上所有的主動力和虛加的慣性力,在該瞬時質(zhì)點系所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零。,1.1,動 力 學 普 遍 方 程,例1 圖示滑輪系統(tǒng)中,動滑輪上懸掛著重為 的重物,繩子繞過定滑輪后,掛著重為 的重物,設滑輪和繩子的重量不計,求重為 的重物下降的加速度。,解:以系統(tǒng)為研究對
3、象,系統(tǒng)具有理想約束,系統(tǒng)所受的主動力為 、 ,假想加上慣性力 、 。,其中,給系統(tǒng)以虛位移 和 ,由動力學普遍方程,得,由運動學關系,代入上式得,1.1,動 力 學 普 遍 方 程,例2 有兩個半徑皆為r的輪子,中心用連桿相連,在傾角為 的斜面上作純滾動,如圖。設輪重皆為P,對輪心的轉(zhuǎn)動慣量皆為J,連桿重量為Q,求連桿運動的加速度。,解:以系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)具有理想約束,系統(tǒng)所受的主動力有它們的重力。假想加上慣性力,如圖。,其中,1.1,動 力 學 普 遍 方 程,給連桿以平行斜面移動的虛位移 ,則輪子有相應的轉(zhuǎn)動虛位移 ,根據(jù)動力學普遍方程,即,1.2,拉 格 朗 日 方 程,一、拉格朗
4、日方程,設有n個知點組成的知點系,受完整的理想約束,具有N個自由度,其 位置可由N個廣義坐標 來確定。則有,是廣義坐標對,這就是拉格朗日方程,簡稱拉氏方程。它是由N個二階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積分,就可以得出以廣義坐標表示的質(zhì)點的運動方程。,1.2,拉 格 朗 日 方 程,二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程,在上述條件下,如果質(zhì)點系所受的主動力都是有勢力,就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程,式中 為質(zhì)點系動能和勢能之差,稱為拉格朗日函數(shù)。,這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。,三、應用拉格朗日方程解題的步驟,1、確定研究對象,(一般以整個系統(tǒng))判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目,選取合適的廣義坐標。,2、分析系
5、統(tǒng)的運動,寫出用廣義坐標及廣義速度表示的系統(tǒng)的動能。(速度及角速度均為絕對的),1.2,拉 格 朗 日 方 程,3、計算對應每個廣義坐標的廣義力 ;當主動力為有勢力時,需要寫出用廣義坐標表示的勢能及拉格朗日函數(shù) 。,4、計算諸導數(shù):,或,5、寫出拉格朗日方程并加以整理,得到N個二階常微分方程。由2 N個初始條件,解得運動方程。,1.2,拉 格 朗 日 方 程,例3 在水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構(gòu)如圖。已知動齒輪半徑為r,重為P,可視為均質(zhì)圓盤;曲柄OA重Q,可視為均質(zhì)桿;定齒輪半徑為R。今在曲柄上作用一不變的力偶,其矩為M,使機構(gòu)運動。求曲柄的運動方程。,解:以整個系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)具有一個自
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