《2018年秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版選修2-1.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版選修2-1.doc-匯文網(wǎng)（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念(重點(diǎn))2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程(易錯(cuò)點(diǎn))3.明確p的幾何意義，并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線思考1：拋物線的定義中，若點(diǎn)F在直線l上，那么點(diǎn)的軌跡是什么？提示點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy思考2：(1

2、)拋物線方程中p(p0)的幾何意義是什么？(2)根據(jù)拋物線方程如何確定焦點(diǎn)的位置？提示(1)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離(2)根據(jù)拋物線方程中一次式2px，2py來確定焦點(diǎn)位置，“x，y”表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上，系數(shù)“2p”的正負(fù)確定焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸的正半軸或負(fù)半軸上基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)并非所有二次函數(shù)的圖象都是拋物線()(2)拋物線是雙曲線的一支()(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，它們的共同點(diǎn)為“頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上”()答案(1)(2)(3)2拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)B拋物線y28x的焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，且2，因此焦點(diǎn)

3、坐標(biāo)是(2,0)3拋物線y28x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A1 B2 C4D8C由y28x得p4，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.4拋物線x4y2的準(zhǔn)線方程是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342105】Ay By1 Cx DxC由x4y2得y2x，故準(zhǔn)線方程為x.合 作 探 究攻 重 難求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5；(3)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(4)焦點(diǎn)為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)思路探究(1)(2)(3)(4)解(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且，則p，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，

4、可設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.(3)點(diǎn)(3，1)在第三象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得p.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(4)對(duì)于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時(shí)，3，p6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4

5、,0)時(shí)，4，p8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.規(guī)律方法1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題(1)把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2mx或x2ny，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù)(3)注意p與的幾何意義跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)關(guān)于y軸對(duì)稱且過點(diǎn)(1，3)；(2)過點(diǎn)(4，8)；(3)焦點(diǎn)在x2y40上解(1)法一：設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，將點(diǎn)(1，3)代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求拋物線方程為x2y.法二：由已

6、知，拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)又拋物線過點(diǎn)(1，3)，所以1m(3)，即m，所以所求拋物線方程為x2y.(2)法一：設(shè)所求拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，將點(diǎn)(4，8)代入y22px，得p8；將點(diǎn)(4，8)代入x22py，得p1.所以所求拋物線方程為y216x或x22y.法二：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過點(diǎn)(4，8)，所以644n，即n16，拋物線的方程為y216x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過點(diǎn)(4，8)，所以168m，即m2，拋物線的方程為x22y.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

7、為y216x或x22y.(3)由得由得所以所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，由2，得p4，所以所求拋物線方程為x28y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，由4，得p8，所以所求拋物線方程為y216x.綜上所述，所求拋物線方程為x28y或y216x.拋物線的定義的應(yīng)用(1)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程(2)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)A(4,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342106】(3)已知?jiǎng)訄AM與直線y2相切，且

8、與定圓C：x2(y3)21外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程思路探究(1)利用拋物線定義先求拋物線的方程，再求m和準(zhǔn)線方程(2)利用拋物線的定義，把|PF|轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離(3)利用|MC|的長(zhǎng)度比點(diǎn)M到直線y2的距離大1求解解(1)設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，由35得p4，因此拋物線方程為x28y，其準(zhǔn)線方程為y2，由m224得m2.(2)如圖，作PNl于N(l為準(zhǔn)線)，作ABl于B，則|PA|PF|PA|PN|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)(|PA|PF|)min|AB|415.此時(shí)yP2，代入拋物線得xP1，P(1,2)(3)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則

9、由題意可得M到圓心C(0，3)的距離與直線y3的距離相等由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x212y.規(guī)律方法拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題(2)解決最值問題在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()AB3C DA

10、由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離由圖可得，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x的距離d|PF|，易知點(diǎn)A(0,2)在拋物線y22x的外部，連接AF，交y22x于點(diǎn)P，欲使所求距離之和最小，只需A，P，F(xiàn)共線，其最小值為|AF| .(2)若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程解由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0).拋物線的實(shí)際應(yīng)用探究問

11、題已知拋物線，如何建系，才能使拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建系河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？思路探究解如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x22py(p0)，由題意，將B(4，5)代入方程得p，拋物線方程為x2y. 當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時(shí)船不能通航設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船露出水面上部分為米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h，則h|yA|2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2米時(shí)，小船

12、不能通航規(guī)律方法求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求出需要求出的量(5)還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題跟蹤訓(xùn)練3如圖241是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，若水面下降0.42米后，則水面寬為()圖241A2.2米 B4.4米 C2.4米 D4米B如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2my，將A(2，2)代入x2my，得m2x22y，代入B(x0，2.42)得x02.2，故水面寬為4.4 m，故選B當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1準(zhǔn)線方程為y的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax2yBx2yCy2xD

13、y2xB由準(zhǔn)線方程為y知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且，則p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.2拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A BC(0,1)D(1,0)C拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y，從而焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)3拋物線y224ax(a0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為()Ay28xBy212xCy216xDy220xA由題意知6a35，解得a，因此拋物線方程為y28x.4已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F1，若點(diǎn)A(2，4)在拋物線上，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342107】4把點(diǎn)(2，4)代入拋物線y22px，得164p，即p4，從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)故點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為4.5若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解由拋物線方程y22px(p0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x.設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即(9)10，得p2，故拋物線方程為y24x.由點(diǎn)M(9，y)在拋物線上，得y6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)