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1、多元函數(shù)的極值與拉多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘法格朗日乘法一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值的定義的定義:是在一點(diǎn)是在一點(diǎn)附近附近將函數(shù)值比大小將函數(shù)值比大小.定義定義點(diǎn)點(diǎn)P0為函數(shù)的為函數(shù)的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn).類似可定義極小值點(diǎn)和極小值類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.設(shè)在點(diǎn)設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域,為為極大值極大值.則稱則稱多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2 注注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點(diǎn)與

2、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是多元函數(shù)的極值也是局部的局部的,一般來說一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí)有時(shí),極值極值.極值點(diǎn)極值點(diǎn).內(nèi)的值比較內(nèi)的值比較.是與是與P0的鄰域的鄰域極小值可能比極大值還大極小值可能比極大值還大.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法3例例例例例例 函數(shù)函數(shù) 存在極值存在極值,在在(0,0)點(diǎn)取極小值點(diǎn)取極小值.在在(0,0)點(diǎn)取極大值點(diǎn)取極大值.(也是最大值也是最大值).在在(0,0)點(diǎn)無極值點(diǎn)無極值.橢圓拋物面橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面下半個(gè)圓錐面馬鞍面馬

3、鞍面在簡單的情形下是在簡單的情形下是容易判斷的容易判斷的.函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)(也是最小值也是最小值).函數(shù)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法42.極值的必要條件極值的必要條件證證定理定理1 1(必要條件必要條件)則它在該則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值有極大值,不妨設(shè)不妨設(shè)都有都有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)有極大值有極大值,必有必有類似地可證類似地可證5推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在則它在有極值的有極值的必要條件必要條件為為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多

4、元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱為函數(shù)的均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù)仿照一元函數(shù),凡能使凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的同時(shí)為零的點(diǎn)點(diǎn),駐點(diǎn)駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如如,駐點(diǎn)駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn)但不是極值點(diǎn).注注63.極值的充分條件極值的充分條件定理定理2 2(充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下處是否取得極值的條件如下:(1)有極值有極值,有極大值有極大值,有極小值有極小值;(2)沒有極值沒有極值;(3)可能有極值可能有極值,也可能無極值也可能無極值.多元

5、函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法7求函數(shù)求函數(shù) 極值的一般步驟極值的一般步驟:第一步第一步解方程組解方程組求出實(shí)數(shù)解求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn).第二步第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)對于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步第三步 定出定出的符號的符號,再判定是否是極值再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法8例例 解解又又在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處處,在點(diǎn)在點(diǎn)(a,a)處處,故故故故即即的極值的極值.在在(0,0)無極值無極值;在在(a,a)有極大值有極大值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9解解求由方程求

6、由方程將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為駐點(diǎn)為將上方程組再分別對將上方程組再分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一法一10故故函數(shù)在函數(shù)在P有極值有極值.代入原方程代入原方程,為極小值為極小值;為極大值為極大值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以所以所以zzCPyy-=21|11求由方程求由方程多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 法二法二 配方法配方法 方程可變形為方程可變形為 于是于是 顯然顯然,

7、根號中的極大值為根號中的極大值為4,由由可知可知,為極值為極值.即即為極大值為極大值,為極小值為極小值.12取得取得.然而然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如如:函數(shù)函數(shù)不存在不存在,但函數(shù)在點(diǎn)但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時(shí)在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注注由由極值的必要條件知極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處極值只可能在駐點(diǎn)處但但也可能是極也可能是極值值點(diǎn)點(diǎn).在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)

8、的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法13多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一),4分分選擇題選擇題已知函數(shù)已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則則(A)點(diǎn)點(diǎn)(0,0)不是不是f(x,y)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)點(diǎn)(0,0)是是f(x,y)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)點(diǎn)(0,0)是是f(x,y)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為是否為f(x,y)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).14其中最大者即為最大值其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似與一元函數(shù)相類似,

9、可利用函數(shù)的極值來可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即為最小值最小者即為最小值.將函數(shù)將函數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在在D的邊界上的最大值和最小值相互比較的邊界上的最大值和最小值相互比較,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法15解解(1)求函數(shù)求函數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的駐點(diǎn)的駐點(diǎn) 由于由于所以函數(shù)在所以函數(shù)在D內(nèi)無極值內(nèi)無極值.(2)求函數(shù)在求函數(shù)在 D邊界上的最值邊界上的最值(現(xiàn)現(xiàn)最值只能在邊界上最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域圍成的三角形閉域D

10、上的上的最大最大(小小)值值.例例多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D16在邊界線在邊界線在邊界線在邊界線由于由于最小最小,由于由于又在端點(diǎn)又在端點(diǎn)(1,0)處處,所以所以,最大最大.有駐點(diǎn)有駐點(diǎn) 函數(shù)值函數(shù)值有有單調(diào)上升單調(diào)上升.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D17在邊界線在邊界線所以所以,最值在端點(diǎn)處最值在端點(diǎn)處.由于由于 函數(shù)單調(diào)下降函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較比較多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D18解解此時(shí)此時(shí)的最大值與最小值的最大值與最小值.駐點(diǎn)駐點(diǎn)得得多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格

11、朗日乘數(shù)法上上在在求求4:94),(2222+=yxDyxyxf19對自變量有附加條件的極值對自變量有附加條件的極值.其他條件其他條件.無條件極值無條件極值對自變量除了限制在定義域內(nèi)外對自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無并無條件極值條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法20解解例例 已知長方體長寬高的和為已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高問長、寬、高各取什么值時(shí)長方體的體積最大？各取什么值時(shí)長方體的體積最大？設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長、寬、高分別為由題意由題意長方體的體積為長方體的體積為多元函數(shù)

12、的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長方體體積且長方體體積一定有最大值一定有最大值,體體積最大體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時(shí)長方時(shí)長方由于由于V在在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),18=+zyx21上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值的極值,要受到條件要受到條件的限制的限制,這便是一個(gè)條件極值這便是一個(gè)條件極值問題問題.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 有時(shí)有時(shí)條件極值條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值無條件極值.可通過將約束條件代入可通

13、過將約束條件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的.下面要介紹解決下面要介紹解決條件極值條件極值問題的一般問題的一般方法方法:下下,這樣做是有困難的這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法xyzV=18=+zyx22拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件在約束條件 下取得下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法 如函數(shù)如函數(shù)(1)在在由條件由條件(1)(2)極值的必要條件極值的必要條件.取得所求的極值取得所求的極值,那末首先有那末首先有(3)確定確定y是是x的隱函數(shù)的隱函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格

14、朗日乘數(shù)法 不必將它真的解出來不必將它真的解出來,則則于是函數(shù)于是函數(shù)(1)即即,取得所取得所取得極值取得極值.求的極值求的極值.),(,(xyxfz=23其中其中代入代入(4)得得:由由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知知:(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法取得極值取得極值.在在(3),(5)兩式兩式取得極值的必要條件取得極值的必要條件.就是函數(shù)就是函數(shù)(1)在條件在條件(2)下的下的)(,(xyxfz=24 設(shè)設(shè)上述必要條件變?yōu)樯鲜霰匾獥l件變?yōu)?(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù)中的前兩式的左邊正是函數(shù):(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日

15、乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的值的值.函數(shù)函數(shù)稱為稱為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù),稱為稱為拉格朗日乘子拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù)是一個(gè)待定常數(shù).25拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:極值的必要條件極值的必要條件在條件在條件要找函數(shù)要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù)為某一常數(shù),其中其中可由可由解出解出其中其中就是就是可能的可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)極值點(diǎn)的坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法26如何確定所求得的點(diǎn)如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問題中實(shí)際問題中,非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論非實(shí)際問題我們這

16、里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定判定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來的情況的情況.自變量多于兩個(gè)自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法27解解則則又是實(shí)際問題又是實(shí)際問題,解得解得唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)一定存在最值一定存在最值.令令此題是否也可化為無條件極值做此題是否也可化為無條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法28解解為橢球面上的一點(diǎn)為橢球面上的一點(diǎn),令令則則的切平面方程為的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面的的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的

17、使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例例切平面切平面,四面體體積最小四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo)求切點(diǎn)坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法29目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)該該切平面在三個(gè)軸上的截距切平面在三個(gè)軸上的截距各為各為化簡為化簡為所求四面體的體積所求四面體的體積約束條件約束條件在條件在條件下求下求V 的最小值的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法30約束條件約束條件令令由由目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法31可得可得即即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為四面體的體積最小四面體的體積最小多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)

18、法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法32解解為簡化計(jì)算為簡化計(jì)算,令令是曲面上的點(diǎn)是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為它與已知點(diǎn)的距離為問題化為在問題化為在下求下求的最小值的最小值.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法33設(shè)設(shè)(1)(2)(3)(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法34由于問題確實(shí)存在最小值，由于問題確實(shí)存在最小值，故故得得唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡單方法嗎還有別的簡單方法嗎用幾何法用幾何法!35解解 為此作為此作拉格朗日乘函數(shù)拉格朗日乘函數(shù):

19、上的最大值與最小值上的最大值與最小值.在在圓內(nèi)圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn)的可能的極值點(diǎn);在在圓上圓上的最大、最小值的最大、最小值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(2222-+-+=yxyxz在圓在圓求函數(shù)求函數(shù)36最大值為最大值為最小值為最小值為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(),(2222-+-+=yxyxyxLl l22yxz+=函數(shù)函數(shù)上，上，在圓在圓9)2()2(22-+-yx37多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2002年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(一一),7分分 設(shè)有一小山設(shè)有一小山,取它

20、的底面所在的平面為取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)坐標(biāo)面面,其底部所占的區(qū)域?yàn)槠涞撞克嫉膮^(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為小山的高度函數(shù)為 (1)設(shè)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域D上一點(diǎn)上一點(diǎn),問問h(x,y)在該點(diǎn)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)若記此方向?qū)?shù)的最大值為的最大值為g(x0,y0),試寫出試寫出g(x0,y0)的表達(dá)式的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).是說是說,要在要在D的邊界線的邊界線上找出使上找出

21、使(1)中中的的g(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀巖起點(diǎn)的位置試確定攀巖起點(diǎn)的位置.也就也就38多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解(1)由梯度的幾何意義知由梯度的幾何意義知,方向的方向?qū)?shù)最大方向的方向?qū)?shù)最大,h(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)M(x0,y0)處沿梯度處沿梯度方向?qū)?shù)的最大值為該方向?qū)?shù)的最大值為該梯度的模梯度的模,所以所以(2)令令由題意由題意,只需求只需求在約束條件在約束條件下的最大值點(diǎn)下的最大值點(diǎn).令令39多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法則則(1)(2)(3)(1)+(2):從而得從而得由由(1)得得再由再由(

22、3)得得由由(3)得得于是得到于是得到4個(gè)可能的極大值點(diǎn)個(gè)可能的極大值點(diǎn)可作為攀登的起點(diǎn)可作為攀登的起點(diǎn).40多元函數(shù)極值的概念多元函數(shù)極值的概念條件極值條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件取得極值的必要條件、充分條件多元函數(shù)最值的概念多元函數(shù)最值的概念多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)三、小結(jié)(上述問題均可與一元函數(shù)類比上述問題均可與一元函數(shù)類比)41多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法思考題思考題答答不一定不一定.二元函數(shù)二元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處有極值處有極值(不妨設(shè)為極小值不妨設(shè)為極小值),是指存在是指存在當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)且且沿任何曲線趨向于沿任何曲線趨向于一元函數(shù)一元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處取得有極小值處取得有極小值,表示動點(diǎn)表示動點(diǎn)且且沿直線沿直線