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1、復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確一、積分的定義一、積分的定義1.有向曲線有向曲線:設設C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑(或分段光滑或分段光滑)曲線曲線,如果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向為正方向(或正向或正向),),那么我們就把那么我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線,稱為稱為有向曲線有向曲線.如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負

2、向,第三章第三章 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分第一節(jié)第一節(jié) 復積分的概念極其簡單性質(zhì)復積分的概念極其簡單性質(zhì)10/1/20221復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線簡單閉曲線C的正向是的正向是指當曲線上的點指當曲線上的點P順此方向順此方向前進時前進時,鄰近鄰近P點的曲線的點的曲線的內(nèi)部始終位于內(nèi)部始終位于P點的左方點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向與之相反的方向就是曲線的負方向.在今后的討論中在今后

3、的討論中,常把兩個端點中的一個作為常把兩個端點中的一個作為起點起點,另一個作為終點另一個作為終點,除特殊聲明外除特殊聲明外,正方向總是正方向總是指從起點到終點的方向指從起點到終點的方向.分段光滑的簡單閉曲線簡稱為分段光滑的簡單閉曲線簡稱為周線周線.10/1/20222復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確2.積分的定義積分的定義:(10/1/20223復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問

4、題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確二、積分存在的條件及其計算方法二、積分存在的條件及其計算方法1.存在的條件存在的條件證證參數(shù)增加的方向參數(shù)增加的方向,正方向為正方向為根據(jù)線積分的存在定理根據(jù)線積分的存在定理,10/1/20224復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確當當 n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式10/1/20225復變函數(shù)復變函數(shù)

5、華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確2.積分的計算方法積分的計算方法在今后討論的積分中在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線曲線 C 是按段光滑的是按段光滑的.即即10/1/20226復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例1 解解 直線方程為直線方程為這兩個積分都這兩個積分都與路線與路線C 無關(guān)無關(guān)例

6、例2 解解 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為10/1/20227復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例3 解解 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).一個重要而常一個重要而常用的積分公式用的積分公式10/1/20228復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度

7、，由淺入深，所提出的問題也很明確復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).絕絕對對不不等等式式三、復積分的性質(zhì)三、復積分的性質(zhì)10/1/20229復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例4解解根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知10/1/202210復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確一、問

8、題的提出一、問題的提出此時積分與路線無關(guān)此時積分與路線無關(guān).第二節(jié) 柯西積分定理由于不滿足柯西黎曼方程由于不滿足柯西黎曼方程,故而在復平面內(nèi)故而在復平面內(nèi)處處不解析處處不解析.由以上討論可知由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān)積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.10/1/202211復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確二、柯西積分定理二、柯西積分定理定理中的定理中的 C 可以不是簡可以不是簡單

9、曲線單曲線.關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界,(2)如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界,定理仍成立定理仍成立.10/1/202212復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例1 1解解根據(jù)柯西積分定理根據(jù)柯西積分定理,有有例例2 2證證由柯西積分定理由柯西積分定理,由柯西積分定理由柯西積分定理,由上節(jié)例由上節(jié)例4可知可知,三、典型例題三、典型例題10/1/202213復變函數(shù)復變函數(shù)華

10、中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例3 3解解根據(jù)柯西積分定理得根據(jù)柯西積分定理得10/1/202214復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確(1)注意定理的條件注意定理的條件“單連通域單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用注意定理的不能反過來用.應用柯西應用柯西積分分定理應注意什么定理應注意什么?10/1/202215復變函數(shù)復變

11、函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確1.問題的提出問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知,由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中.四、柯西積分定理的推廣四、柯西積分定理的推廣復合閉路定理復合閉路定理2.閉路變形原理閉路變形原理10/1/202216復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也

12、很明確得得10/1/202217復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確 解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理閉路變形原理說明說明:在變形過程中曲線不經(jīng)在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)過函數(shù) f(z)的不解析的點的不解析的點.10/1/202218復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，

13、而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確3.復合閉路定理復合閉路定理那末那末10/1/202219復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確4.典型例題典型例題例例1 1解解依題意知依題意知,根據(jù)復合閉路定理根據(jù)復合閉路定理,10/1/202220復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例2 2 解解圓環(huán)域的

14、邊界構(gòu)成一條復合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理根據(jù)閉路復合定理,10/1/202221復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例3 3解解由復合閉路定理由復合閉路定理,此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要,用起來很用起來很方便方便,因為因為 不必是圓不必是圓,a也也不必是圓的圓心不必是圓的圓心,只要只要a在在簡單閉曲線簡單閉曲線 內(nèi)即可內(nèi)即可.10/1/202222復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學

15、中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例4 4解解 由上例可知由上例可知 復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結(jié)論常用結(jié)論:10/1/202223復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起

16、點和終點有關(guān)只與起點和終點有關(guān),1.兩個主要定理兩個主要定理:五、原函數(shù)與不定積分五、原函數(shù)與不定積分10/1/202224復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確定理二定理二證證 利用導數(shù)的定義來證利用導數(shù)的定義來證.由于積分與路線無關(guān)由于積分與路線無關(guān),10/1/202225復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確由積分的

17、估值性質(zhì)由積分的估值性質(zhì),此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.證畢證畢10/1/202226復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確2.原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系:3.不定積分的定義不定積分的定義:定理三定理三(類似于牛頓類似于牛頓-萊萊布尼茲公式布尼茲公式)10/1/202227復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中

18、，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確證證根據(jù)柯西積分定理根據(jù)柯西積分定理,證畢證畢說明說明:有了以上定理有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算跟微積分學中類似的方法去計算.4.典型例題典型例題 例例1 1解解由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知,10/1/202228復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例2 2解解(使用了微積分學使用了微積分學中

19、的中的“湊微分湊微分”法法)例例3 3解解由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知,另解另解此方法使用了微積此方法使用了微積分中分中“分部積分法分部積分法”10/1/202229復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例4 4解解 利用分部積分法可得利用分部積分法可得課堂練習課堂練習答案答案例例5 5解解10/1/202230復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具

20、有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例6 6解解所以積分與路線無關(guān)所以積分與路線無關(guān),由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知,10/1/202231復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確一、問題的提出一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線 C 的變化的變化而改變而改變,求這個值。求這個值。第三節(jié)第三節(jié) 柯西積分公式及其推論柯西積分公式及其推論 10/1/202232復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)

21、學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確二、柯西積分公式二、柯西積分公式定理定理證證此式稱為此式稱為柯西積分公式柯西積分公式10/1/202233復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確證證根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與左端積分的值與 R 無關(guān)無關(guān),所以只有在對所有的所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能積分值為零時才有可能.證

22、畢證畢10/1/202234復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確(1)把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)解析函數(shù)的平均

23、值定理解析函數(shù)的平均值定理：一個解析函數(shù)在圓心處：一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的值等于它在圓周上的平均值.則有則有 柯西積分公式柯西積分公式的重要性在于的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所所以它是研究解析函數(shù)的重要工具以它是研究解析函數(shù)的重要工具.10/1/202235復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確三、典型例題三、典型例題例例1 1解解

24、由柯西積分公式由柯西積分公式10/1/202236復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例2 2解解(1)由柯西積分公式由柯西積分公式由柯西積分公式由柯西積分公式這種解法對嗎？為什么？這種解法對嗎？為什么？10/1/202237復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例3 3解解由由柯西積分公式柯西積分公式10/1/20

25、2238復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例4 4解解由閉路復合由閉路復合定理定理,得得10/1/202239復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例5 5解解根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知,比較兩式得比較兩式得10/1/202240復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課

26、的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例6 6解解 被積函數(shù)被積函數(shù) 是多值函數(shù)，支點為是多值函數(shù)，支點為f(z)的原函數(shù)的原函數(shù) 仍是多值函數(shù)，在代入上、下限時仍是多值函數(shù)，在代入上、下限時需要考慮對應的單值分支。需要考慮對應的單值分支。0110/1/202241復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確其中積分方向應是順時針方向其中積分方向應是順時針方向.柯西積分公式對無界區(qū)域也是成立的，柯西積

27、分公式對無界區(qū)域也是成立的，五、解析函數(shù)的無窮可微性五、解析函數(shù)的無窮可微性問題問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導數(shù)解析函數(shù)是否有高階導數(shù)?(2)若有高階導數(shù)若有高階導數(shù),其定義和求法是否與實變函數(shù)相同其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答回答:(1)解析函數(shù)有各高階導數(shù)解析函數(shù)有各高階導數(shù).(2)高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示來表示,這與實變函數(shù)完全不同這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導數(shù)的定義是什么解析函數(shù)高階導數(shù)的定義是什么?10/1/202242復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中

28、，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確定理定理證證根據(jù)導數(shù)的定義根據(jù)導數(shù)的定義,從柯西積分公式得從柯西積分公式得10/1/202243復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確10/1/202244復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確再利用以上方法求極限再利用以上方法求極

29、限從而證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)從而證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推依次類推,利用數(shù)學歸納法可證利用數(shù)學歸納法可證證畢證畢10/1/202245復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確高階導數(shù)公式的作用高階導數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導不在于通過積分來求導,而而在于通過求導來求積分在于通過求導來求積分.例例1 1解解10/1/202246復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教

30、師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確由復合閉路定理由復合閉路定理10/1/202247復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例2 2解解10/1/202248復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例3 3解解由柯西積分定理得由柯西積分定理得由柯西積分公式得由柯西積分公式

31、得10/1/202249復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確例例4 4解解10/1/202250復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確六、柯西不等式與劉維爾六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理定理定理定理1(柯西不等式柯西不等式)設設 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析，為為D內(nèi)內(nèi)一點，區(qū)域一點，區(qū)域 包含于包含于

32、D，則有，則有其中其中證明：證明：在在 上應用高階導數(shù)公式，則有上應用高階導數(shù)公式，則有由柯西不等式，容易得到劉維爾定理。由柯西不等式，容易得到劉維爾定理。劉維爾定理劉維爾定理:z平面上解析且有界的函數(shù) 必為常數(shù)由劉維爾定理，可以證得到代數(shù)學基本定理。由劉維爾定理，可以證得到代數(shù)學基本定理。10/1/202251復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確代數(shù)學基本定理代數(shù)學基本定理在在z平面上，平面上，n次多項式次多項式 （）至少有一個零點至少有一個零點證證(反

33、證法反證法)假設假設 在在z平面上無零點，由于平面上無零點，由于 在平面上解析，在平面上解析，從而從而 在在z平面上也是解析的其次，由于平面上也是解析的其次，由于所以所以，于是于是 ，使得，使得 ，。又因為又因為 在在 上連續(xù)，故上連續(xù)，故 ，使得，使得 ，從而在從而在z平面上有平面上有 ，即，即 在在z平面上解析且有界，平面上解析且有界，因此根據(jù)劉維爾定理，因此根據(jù)劉維爾定理，為常數(shù)，故為常數(shù)，故 亦為常數(shù)，亦為常數(shù)，這與已知這與已知 為多項式矛盾，定理得證為多項式矛盾，定理得證10/1/202252復變函數(shù)復變函數(shù)華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在整堂課的教學中，劉教師總是讓學生帶著問題來學習，而問題的設置具有一定的梯度，由淺入深，所提出的問題也很明確七、摩勒拉七、摩勒拉(Morera)定理定理柯西積分定理說明，只要柯西積分定理說明，只要 在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D