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1、第6講離散型隨機變量概率統(tǒng)計第二章 隨機變量及其分布在這一章我們將利用函數(shù)的觀點對概率進行定量在這一章我們將利用函數(shù)的觀點對概率進行定量的研究，并導出一些常用的概率模型的分布。的研究，并導出一些常用的概率模型的分布。我們有時需要高數(shù)中的積分作為工具。我們有時需要高數(shù)中的積分作為工具。首選引入隨機變量，然后再引入分布函數(shù)首選引入隨機變量，然后再引入分布函數(shù),最最后再引入常見的分布。后再引入常見的分布。為了研究更復雜的隨機現(xiàn)象，我們需要發(fā)展我們?yōu)榱搜芯扛鼜碗s的隨機現(xiàn)象，我們需要發(fā)展我們研究方法。研究方法。第一節(jié) 隨機變量例例1 袋中有袋中有3只黑球，只黑球，2只白球，從中任意取出只白球，從中任意取

2、出3只球，觀察只球，觀察取出的取出的3只球中的黑球的個數(shù)只球中的黑球的個數(shù) 在隨機試驗中人們關心的很大一部分問題都與數(shù)值有關，在隨機試驗中人們關心的很大一部分問題都與數(shù)值有關，如如n個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù)個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù):0，1，2，n，試驗結果，試驗結果本身就是一個數(shù)值；有些試驗結果雖然不是數(shù)值，但是我們關本身就是一個數(shù)值；有些試驗結果雖然不是數(shù)值，但是我們關心的卻是一個數(shù)值。心的卻是一個數(shù)值。分析分析：我們將：我們將3只黑球分別記作只黑球分別記作B1，B2，B3號，號，2只白球分別只白球分別記作記作W1,W2號，則該試驗的樣本空間為號，則該試驗的樣本空間為(n=10)我們記我們記 X

3、=“取出的黑球數(shù)取出的黑球數(shù)”，X 的取值情況可由下表給出：的取值情況可由下表給出：則則 X 的可能取值為的可能取值為1，2，3它隨著樣本點的不同而變化，因它隨著樣本點的不同而變化，因此此X是一個變量但是是一個變量但是X取什么值依賴于試驗結果，試驗結果具取什么值依賴于試驗結果，試驗結果具有一定的隨機性，則有一定的隨機性，則X的取值帶有隨機性，所以，我們稱的取值帶有隨機性，所以，我們稱 X 為為隨機變量隨機變量由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量量 X 的一個確定的取值（注意不一定是一一對應，隨的一個確定的取值（注意不一定是一一對應，

4、隨機變量取各值概率未必相同），這樣變量機變量取各值概率未必相同），這樣變量 X 是可以看是可以看做是樣本空間做是樣本空間上的函數(shù)：上的函數(shù)：我們定義了隨機變量我們定義了隨機變量X的好處是：的好處是：可以用隨機變量的取值范可以用隨機變量的取值范圍來刻劃隨機事件圍來刻劃隨機事件例如例如=“表示至少取出表示至少取出2個黑球這一事件個黑球這一事件”隨機變量的定義隨機變量的定義設設E是一個隨機試驗是一個隨機試驗,是樣本空間稱樣本空間上的單值函數(shù)是樣本空間稱樣本空間上的單值函數(shù)為一個定義在為一個定義在上的隨機變量。上的隨機變量。隨機變量通常隨機變量通常用大寫英用大寫英文字母或文字母或希臘字母希臘字母表示。

5、表示。注：隨機變量的嚴格（數(shù)學）定義與概率空間中的事件域有關。擲一顆骰子，令擲一顆骰子，令X為為出現(xiàn)的點數(shù)出現(xiàn)的點數(shù) 則則 X 就是一個隨機變就是一個隨機變量它的取值為量它的取值為1，2，3，4，5，6問問X=4“擲出的點數(shù)不超過擲出的點數(shù)不超過4”X為偶數(shù)為偶數(shù)“擲出的點數(shù)為偶數(shù)擲出的點數(shù)為偶數(shù)”則則x4與與X為偶數(shù)是什么事件？為偶數(shù)是什么事件？例例 2注意注意 X的取值是有限個！的取值是有限個！例例 3 一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品有 50 件，其中有件，其中有 8 件次品，件次品，42 件正品現(xiàn)從中件正品現(xiàn)從中取出取出 6 件，令件，令 X：取出取出 6 件產(chǎn)品中的次品數(shù)件產(chǎn)品中的次品數(shù) 則則 X

6、 就是一個隨機變量它的取值為就是一個隨機變量它的取值為 0，1，2，6則：則：X=0=“取出的產(chǎn)品全是正品取出的產(chǎn)品全是正品”X1=”取出的產(chǎn)品至少有一件次品取出的產(chǎn)品至少有一件次品”注意注意 X的取值是有限個！的取值是有限個！例例 4每天上午每天上午 8:009:00 在某路口觀察，令：在某路口觀察，令：Y“該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)”，則則（2）Y100=“通過的汽車數(shù)小于通過的汽車數(shù)小于100輛輛”（3）50Y3000表示該生物的壽命大于表示該生物的壽命大于 3000小時這一隨機事件小時這一隨機事件（1）Z=1500表示該生物的壽命不超過表示該生物的壽命不超過150

7、0小時這一隨小時這一隨機事件機事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可數(shù)無窮不可數(shù)無窮個！個！例例 6擲一枚骰子，在例擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量中，我們定義了隨機變量X表示表示出現(xiàn)的點數(shù)我們還可以定義其它的隨機變量，例出現(xiàn)的點數(shù)我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：如我們可以定義：這樣一個樣本空間中我們可以定義很多很多隨機變量。這樣一個樣本空間中我們可以定義很多很多隨機變量。在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量注 意 點(1)(1)隨機變量X()是樣本點的函數(shù)，其定義域為，其值域為R=(，)若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則

8、X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 為隨機變量，則 X=k、a X b、均為隨機事件.即 a X b=；a X()b (3)注意以下一些表達式：X=k=X kX k；a b=X b.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.若隨機變量 X 可能取值的個數(shù)為有限個或可列個，則稱 X 為離散型隨機變量.連續(xù)型隨機變量X 的可能取值充滿某個區(qū)間a,b（或開區(qū)間或整個實軸），而它的定義需要用到積分形式。除此以外，還有別的類型隨機變量.隨機變量的分類第二節(jié) 離散型隨機變量定義 如果隨機變量的全部可能取的值只有有限個或可列個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量。一 離散型隨機變量的概率分布對于離散型隨機

9、變量，一方面我們關心隨機變量取哪些值，例如在一批產(chǎn)品中隨機抽取10件，我們要關心的是能夠取到幾件正品，更重要的是我們關心隨機變量取這些值對應的概率X 取各個可能值的概率，即事件 的概率為（1）稱(1)式為離散型隨機變量X的概率分布概率分布或分布律.一般地，設離散型隨機變量 X 所有可能取的值為概率分布也可以直觀地用下面的表格來表示：隨機變量X的所有取值隨機變量X的各個取值所對應的概率分布列的基本性質(zhì)(非負性)(正則性)注 意 點 求離散隨機變量的分布列應注意：(1)確定隨機變量的所有可能取值;(2)計算每個取值點的概率.例 2 10件產(chǎn)品中有7件正品，每次從中任取一件，試在下列三種情況下分別直

10、到取得正品為止.求所需抽取次數(shù)X 的分布律：(1)每次取出的產(chǎn)品不再放回；(2)每次取出的產(chǎn)品仍然放回；(3)每次取出一件產(chǎn)品后總放回一件正品。解故所求概率分布為：故所求概率分布為：例3 某系統(tǒng)有兩臺機器相互獨立地運轉。設第一臺與第二臺機器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機器數(shù)，求X 的分布律 解故所求概率分布為：練習1 投兩枚骰子，X表示最大點數(shù)，Y表示最小點數(shù)，分別寫出X,Y的分布列。由概率分布還可求出Xa，Xa，a Xb,aXb,aXb等事件的概率上題：P(X 1）=？二 常見的離散型分布1.（01）分布 設隨機變量 X 只可能取0與1兩個值，它的概率分布是則

11、稱 X 服從（01）分布或兩點分布。（01）分布的概率分布也可寫成 拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H還是反面T，正面X0,反面X1T H對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即 ，我們總能在上定義一個服從（01）分布的隨機變量。來描述這個隨機試驗的結果。檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對新生嬰兒的性別進行登記，檢驗種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗都可以用（01）分布的隨機變量來描述。2.二項分布設試驗 只有兩個可能結果：及 ,則稱 為伯努利（Bernoulli）試驗。設 ，此時 ,將E 獨立地重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗。若隨機變量X的概率分布為例4 已

12、知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機地抽查20件，問恰好有k(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？解 以X記抽出的20件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么X是一個隨機變量，且X b(20,0.2)則所求的概率為 將計算結果列表如下：kk0123450.0120.0580.1370.2050.2180.175678910110.1090.0550.0220.0070.002 0.001作出上表的圖形，如下圖所示 設k=k0時P(X=k)取最大值，則k0滿足由第一式有即同理 二項分布中，使概率P(X=k)取最大值的k0稱為二項分布的最可能值最可能值。其中（n+1）p表示不超過（n+1）p

13、的最大整數(shù)。所以練習1.口袋中有3只黑球，2只紅球，放回式摸球，摸球3次，每次1只，這3次摸球摸到2只黑球的概率是多少？（如果是不放回，摸到2只黑球的概率是多少）2某人每次射擊命中率都為0.6，射擊20次，求（1）恰好4次沒有擊中的概率（2）最有可能擊中多少次（3）已知此人前三次都沒有擊中，求第四次擊中的概率。記為 X h(n,N,M).超幾何分布對應于不放回抽樣模型：N 件產(chǎn)品中有 M件次品，從中抽取n個，次品的個數(shù)為X.3.超幾何分布練習：某班級共有練習：某班級共有30名男同學，名男同學，20名女同學，現(xiàn)任名女同學，現(xiàn)任找找5名同學，求（名同學，求（1）其中恰好有）其中恰好有1名女同學的概

14、率。名女同學的概率。（2）已知這）已知這5名同學中有名同學中有1名女同學，求其余四人都名女同學，求其余四人都是男同學的概率是男同學的概率4.泊松分布例5 商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為l=5的泊松分布。為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應進該商品多少件？解由附錄的泊松分布表知 只要在月底進貨9件(假定上個月沒有存貨)，就可以95%的概率保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷。泊松定理泊松定理 設隨機變量Xn服從二項分布，其概率分布為其中pn為事件發(fā)生的概率它與試驗次數(shù)n有關。證明證明:記=npn，有對于任意固定的k,有泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是

15、二項分布的極限分布，泊松分布是二項分布的極限分布，當當n很大，很大，p很小時，很小時，二項分布就可近似地二項分布就可近似地看成是參數(shù)看成是參數(shù)=np的的泊松分布泊松分布在在Bernoulli試驗中，試驗中，將試驗進行到將試驗進行到 A 首次出現(xiàn)為止，首次出現(xiàn)為止，X“所需實驗次數(shù)所需實驗次數(shù)”則則X服從幾何分布即：服從幾何分布即：5.幾何分布例例 7對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率為為0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令：，射擊進行到擊中目標時為止，令：X：所需射擊次數(shù)：所需射擊次數(shù) 試求隨機變量試求隨機變量 X 的分布律，并求至少進行的分布律，并求至少進行2次射擊次射擊才能擊中目標的概率才能擊中目標的概率解解：X1,2，3，這是一個幾何分布。這是一個幾何分布。得得PX2的概率為：的概率為：