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1、2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）已知極限，其中為常數(shù)，且，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）曲面在點處的切平面方程為（ ）（A）（B）（C）（D）（3）設，令，則（ ）（A）（B）（C）（D）（4）設為四條逆時針的平面曲線，記，則( )（A）（B）（C）（D）（5）設矩陣A,B,C均為n階矩陣，若（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣

2、C的行向量組與矩陣B的列向量組等價（6）矩陣與相似的充分必要條件為（A）（B）（C）（D）（7）設是隨機變量，且,則（ ）（A）（B）（C）（D）（8）設隨機變量給定常數(shù)c滿足,則（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)設函數(shù)由方程確定，則 (10)已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，該方程的通解為 (11)設（為參數(shù)），則 (12) （13）設是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若（14）設隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,為常數(shù)且大于零，則_。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題

3、紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）計算其中（16）（本題滿分10分）設數(shù)列滿足條件：是冪級數(shù)的和函數(shù)，（I） 證明：,（II） 求的表達式.（17）（本題滿分10分）求函數(shù)的極值.（18）（本題滿分10分）設奇函數(shù)上具有2階導數(shù)，且證明：（I） 存在（II） 存在，使得（19）（本題滿分10分）設直線L過兩點，將L繞Z軸旋轉一周得到曲面所圍成的立體為，（I） 求曲面的方程（II） 求的形心坐標.（20）（本題滿分11分）設，當為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣。（21）（本題滿分11分）設二次型，記。（I）證明二次型對應的矩陣為；（II）若正交且

4、均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標準形為二次型。（22）（本題滿分11分）設隨機變量的概率密度為，令隨機變量,（I）求Y的分布函數(shù)（II）求概率（23）（本題滿分11分）設總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本.（1）求的矩估計量；（2）求的最大似然估計量.2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）已知極限，其中為常數(shù)，且，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】（2）曲面在點處的切平面方程為（ ）（A）

5、（B）（C）（D）【答案】A【解析】設，則；，所以該曲面在點處的切平面方程為，化簡得，選A（3）設，令，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】根據(jù)題意，將函數(shù)在上奇延拓，它的傅里葉級數(shù)為它是以2為周期的，則當且在處連續(xù)時，因此（4）設為四條逆時針的平面曲線，記，則( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】 利用二重積分的幾何意義，比較積分區(qū)域以及函數(shù)的正負，在區(qū)域上函數(shù)為正值，則區(qū)域大，積分大，所以，在之外函數(shù)值為負，因此，故選D。（5）設矩陣A,B,C均為n階矩陣，若，且可逆，則（ ）（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（

6、C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的行向量組與矩陣B的列向量組等價【答案】（B）【解析】由可知C的列向量組可以由A的列向量組線性表示，又B可逆，故有，從而A的列向量組也可以由C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價的定義可知正確選項為（B）。（6）矩陣與相似的充分必要條件為（A）（B）（C）（D）【答案】(B)【解析】由于為實對稱矩陣，故一定可以相似對角化，從而與相似的充分必要條件為的特征值為。又，從而。（7）設是隨機變量，且,則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由知，故.由根據(jù)及概率密度的對稱性知，故選（A）（8）設隨機變量給定常數(shù)c滿足,則（ ）（A）（

7、B）（C）（D）【答案】（C）【解析】由得，故二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請將答案寫在答題紙指定位置上)(9)設函數(shù)由方程確定，則 【答案】1【解析】 由，當時， 方程兩邊取對數(shù) 兩邊同時對求導，得將，代入上式，得(10)已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，該方程的通解為 【答案】【解析】因，是非齊次線性線性微分方程的解，則是它所對應的齊次線性微分方程的解，可知對應的齊次線性微分方程的通解為，因此該方程的通解可寫為(11)設（為參數(shù)），則 【答案】【解析】， ， ，所以，所以(12) 【答案】【解析】（13）設是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若【答案】

8、【解析】（14）設隨機變量X服從標準正態(tài)分布,則= _。【答案】【解析】由及隨機變量函數(shù)的期望公式知.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）計算其中【解析】（16）（本題滿分10分）設數(shù)列滿足條件：是冪級數(shù)的和函數(shù)，（III） 證明：,（IV） 求的表達式.【解析】（I）設，因為，因此；（II）方程的特征方程為，解得，所以，又，解得，所以。17（本題滿分10分）求函數(shù)的極值.【解析】解得，對于點，為極小值點，極小值為對于，,不是極值.（18）（本題滿分10分）設奇函數(shù)上具有2階導數(shù)，且證明：（III）

9、 存在（IV） 存在，使得【解析】（1）令則使得（2）令則又由于為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，可知,則使即，即（19）（本題滿分10分）設直線L過兩點，將L繞Z軸旋轉一周得到曲面所圍成的立體為，（III） 求曲面的方程（IV） 求的形心坐標.【解析】（1）過兩點，所以其直線方程為：所以其繞著軸旋轉一周的曲面方程為：（2）由形心坐標計算公式可得，所以形心坐標為（20）（本題滿分11分）設，當為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣。【解析】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設，則由可得線性方程組： （1）由于方程組（1）有解，故有，即從而有，故有從而有（21）（本題滿分11分）設二次型，記。（I）證明二次型對應的矩陣為；（II）若正交且均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標準形為二次型?！窘馕觥?1) （2），則1,2均為A的特征值，又由于，故0為A的特征值，則三階矩陣A的特征值為2,1,0，故f在正交變換下的標準形為（22）（本題滿分11分）設隨機變量的概率密度為，令隨機變量,（I）求Y的分布函數(shù)（II）求概率【解析】（1）由的概率分布知，當時，；當時，；當時， = (2) （23）（本題滿分11分）設總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本.（1）求的矩估計量；（2）求的最大似然估計量.【解析】(1)，令，故矩估計量為.(2) 當時，令，得，所以得極大似然估計量=.