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1、返回返回3 克萊姆法則克萊姆法則一、克萊姆法則一、克萊姆法則二、齊二、齊次次線性方程組有線性方程組有 非零解的充要條件非零解的充要條件1返回返回(14)定理二定理二 （克來姆法則）（克來姆法則）設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式一、克萊姆法則一、克萊姆法則(15)2返回返回則非齊次則非齊次線性方程組線性方程組(14)有唯一解有唯一解:(16)其中其中(第第i行行)(第第j列列)3返回返回證明證明:先驗(yàn)證先驗(yàn)證(16)是是(14)的解的解,即驗(yàn)證即驗(yàn)證:D0?按第按第1列列展開展開按第按第2列展開列展開按第按第n列展開列展開因?yàn)橐驗(yàn)?17)4返回返回由由定理一及引理定理一及引理再再

2、證證(14)只有一個(gè)解只有一個(gè)解.0005返回返回將將以上以上 n 個(gè)恒等式相加個(gè)恒等式相加,就有就有6返回返回根據(jù)定理一及其推論根據(jù)定理一及其推論,上式為上式為證證畢畢.7返回返回 用克萊姆法則解線性方程用克萊姆法則解線性方程 組時(shí)組時(shí),必須具備兩個(gè)必須具備兩個(gè)條件條件:注意注意1.未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)=方程個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù);2.系數(shù)行列式系數(shù)行列式0.8返回返回齊次齊次線性方程組線性方程組:(18)定理三定理三.若齊次線性方程組若齊次線性方程組(18)有非零解有非零解,則則(18)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式D=0.證明證明:反證反證.若若 D0,由克萊姆法則知由克萊姆法則知(18)只有零解只有零

3、解.矛盾矛盾!證證畢畢.二、齊次線性方程組有非零解的充要條件二、齊次線性方程組有非零解的充要條件9返回返回 註註:由定理三可知由定理三可知,方程組方程組(18)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 D=0是方程組是方程組(18)有非零解的必要條件有非零解的必要條件.在第四章將在第四章將會(huì)看到會(huì)看到,D=0也是齊次線性方程組也是齊次線性方程組(18)有非零解的充有非零解的充要條件要條件.齊次線性方程組齊次線性方程組(18)有非零解的有非零解的充要條件是系數(shù)充要條件是系數(shù)行列式行列式 D=0.說明說明:(1).D0(18)有唯一解有唯一解,即零解即零解.(3).(18)有非零解有非零解(有有無窮多組解無窮多組解).綜合上述綜合上述,得到得到:(2).(18)有零解有零解:10返回返回例例1.解線性方程組解線性方程組解解:11返回返回又又因?yàn)橐驗(yàn)?2返回返回13返回返回例例2.解解:其其系數(shù)行列式系數(shù)行列式14返回返回所以有唯一解所以有唯一解.又又因?yàn)橐驗(yàn)?5返回返回故所求故所求多項(xiàng)式為多項(xiàng)式為例例3.設(shè)設(shè)齊次齊次線性方程組線性方程組16返回返回解解:因?yàn)樗o齊次線性方程組因?yàn)樗o齊次線性方程組有非零解有非零解,所以其系數(shù)行列式所以其系數(shù)行列式17