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1、2022/10/181高等流體力學(xué) 主講人：倪玲英2022/10/182工程流體力學(xué)工程流體力學(xué)從實(shí)用角度，對工程中涉及的問題建立相應(yīng)從實(shí)用角度，對工程中涉及的問題建立相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計(jì)算。的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計(jì)算。靜力學(xué)靜力學(xué)運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)以理想流體為主以理想流體為主動力學(xué)動力學(xué)引言引言以理論分析為主，討論實(shí)際流體運(yùn)動規(guī)律。以理論分析為主，討論實(shí)際流體運(yùn)動規(guī)律。運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)動力學(xué)動力學(xué)高等流體力學(xué)以實(shí)際流體為主以實(shí)際流體為主對于實(shí)際流體討論了管對于實(shí)際流體討論了管流阻力計(jì)算流阻力計(jì)算,是在理想流是在理想流體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行修正修正,并結(jié)合實(shí)驗(yàn)并結(jié)合實(shí)驗(yàn).2022/10

2、/183主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：第一章第一章 場論與張量分析初步場論與張量分析初步第二章第二章 流體運(yùn)動學(xué)流體運(yùn)動學(xué)第三章第三章 流體力學(xué)基本方程組流體力學(xué)基本方程組第四章第四章 粘性流動基礎(chǔ)粘性流動基礎(chǔ)第五章第五章 Navier-Stokes Navier-Stokes 方程的解方程的解第六章第六章 邊界層理論邊界層理論第七章第七章 流體的旋渦運(yùn)動流體的旋渦運(yùn)動第八章第八章 湍流理論湍流理論2022/10/184第一章第一章 場論與張量分析初步場論與張量分析初步第一節(jié)第一節(jié)場論簡述場論簡述第二節(jié)第二節(jié)張量初步張量初步第三節(jié)第三節(jié)雅可比行列式雅可比行列式2022/10/185第一節(jié)第一節(jié)場論簡述場

3、論簡述 基本概念基本概念 場的幾何表示場的幾何表示 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度 向量的散度向量的散度 向量的旋度向量的旋度 哈密頓算子哈密頓算子和場論的基本運(yùn)算公式和場論的基本運(yùn)算公式2022/10/186一一 基本概念基本概念1.1.場（場（fieldfield）：）：設(shè)在空間中的某一區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間區(qū)域內(nèi)的函數(shù)為場。標(biāo)量場（scalar field）：向量場（vector field）：g g=f(r r,t)均勻場（homogeneous field）：非均勻場（non-homogenous field）：定常流場（steady field）：非定常流場(un

4、steady field)：2022/10/187 (1)標(biāo)標(biāo)量量:是一維的量，它只須1個數(shù)量及單位來表示，它獨(dú)立于坐標(biāo)系的選擇。流體的溫度，密度等均是標(biāo)量。(2)向向量量(矢矢量量):):不僅有數(shù)量的大小而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標(biāo)系的3個坐標(biāo)軸方向的分量來表示,因此向量是三維的量。速度,加速度是向量.常用黑體字母x、u 表示空間坐標(biāo)位置向量和流速向量。也用 類似表示。2022/10/188 對于笛卡兒坐標(biāo)，X的3個分量為x1，x2，x3。而三個坐標(biāo)方向的單位分別用e1，e2，e3表示。有時也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以寫為：向量的加減向量的加減：2022/10

5、/189矢量的標(biāo)量積(數(shù)量積)（點(diǎn)積）(內(nèi)積)：功:當(dāng)力F作用在質(zhì)點(diǎn)上使之移動一無限小位移ds,此力所做功定義為力在位移方向的投影乘以位移的大小.2022/10/18102022/10/1811矢量的矢量積矢量的矢量積(向量積向量積)（叉乘）（叉乘）(外積外積)：組成平行四邊行的面積 右手法則，拇指方向即為c方向，由a指向b2022/10/1812 平面面積可作為一個向量2022/10/1813數(shù)量三重積：循環(huán)置換向量次序,結(jié)果不變.改變循環(huán)向量次序,符號改變.2022/10/1814數(shù)量三重積幾何意義：作為平行六面體的體積。2022/10/1815向量三重積：括號不能交換或移動括號不能交換或

6、移動2022/10/1816二、場的幾何表示二、場的幾何表示1 1、scalar fieldscalar field：(1)(1)用等值線（面）表示用等值線（面）表示令：令：(2)(2)它的它的疏密反映了標(biāo)量函數(shù)的變化情況疏密反映了標(biāo)量函數(shù)的變化情況等值線（等位面）圖變化快變化慢二、場的幾何表示二、場的幾何表示2 2、vector fieldvector field：大?。簶?biāo)量.可以用上述等位線(等位面)的概念來幾何表示。方向：采用矢量線來幾何地表示。矢量線：線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的矢量方向重合。矢量線的描述是從歐拉法引出172022/10/1818矢量線方程：設(shè) 是矢量線的切向元素，則據(jù)

7、矢量線的定義有直角坐標(biāo)：則有：所以有：所以有：（向量線方程）（向量線方程）向量管：在場內(nèi)取任一非向量的封閉曲線C，通過C上每一點(diǎn) 作矢（向）量線，則這些矢量曲線的區(qū)域?yàn)橄蛄抗?。跡線的描述是從歐拉法引出192022/10/1820三、標(biāo)量場的梯度 方向?qū)?shù)：函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)P沿某一l方向的變化率為x軸到l的轉(zhuǎn)角與方向?qū)?shù)關(guān)聯(lián)的是梯度與梯度關(guān)聯(lián)的是方向?qū)?shù)2022/10/1821 沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值2022/10/1822直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：是一個算子（operator），它具有向量與微分的雙重性質(zhì)，稱為哈密頓算子（Hamilton operator）物理量沿任一方向

8、（其單位向量為n0）的變化率為：2022/10/1823 梯度意義的證明：梯度意義的證明：如圖，設(shè) 方向單位向量 函數(shù) 沿 方向的變化為：另：與 同向時，最大MM1M流場中兩相鄰等勢線流場中兩相鄰等勢線 沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值2022/10/1824定理證明:a）滿足關(guān)系式：證明：=2022/10/1825b)若任給一封閉曲線L，且 是矢徑 的單值函數(shù)，則：證明：梯度的梯度的性質(zhì)：性質(zhì)：標(biāo)量場不均勻程度的量度；梯度方向和等位面的法線方向重合，指向函數(shù)值增大的方向。在任一方向的變形等于該方向的方向?qū)?shù)。梯度的方向是標(biāo)量變化最快的方向。2022/10/18262022/10/1827 四、

9、向量的散度四、向量的散度(divergence)(divergence)1、預(yù)備知識 a.向量通過曲面的通量（flux）：b.Gauss定理：若 在 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：2022/10/1828 2、散度的定義 于是Gauss定理可以寫作：由封閉曲面s流出的通量可以看成是體積V的膨脹量。所以散度也就是流體的體積膨脹量。散度是標(biāo)量，而不是向量。2022/10/18292022/10/1830例1：任一不可壓流場，在流場中一點(diǎn)M取微元體，則密速（密度速度）變化量 點(diǎn)源：Source點(diǎn)匯：Sink例2：令 有 2022/10/1831 五、向量的旋度（五、向量的旋度（rotationrotatio

10、n）1 1、預(yù)備知識、預(yù)備知識 1)向量 的環(huán)量（Circulation）2022/10/1832 2)Stokes 2)Stokes定理：定理：(L圍成圍成S，S單連通）單連通）向量為速度，為二元流動：當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的旋渦強(qiáng)度之和。這就是斯托克斯（GGStokes）定理。通式：2022/10/18332022/10/1834 2 2、旋度的定義、旋度的定義=于是Stokes定理可以寫成：2022/10/1835 例題：2022/10/1836 六、六、哈密頓算子哈密頓算子和場論的基本運(yùn)算公式和場論的基本運(yùn)算公式 1、哈密頓算子的定義：它具

11、有矢量和對它右邊的量微分的雙重性.因此：2022/10/18372 2、基本運(yùn)算公式：基本運(yùn)算公式：1)2)2022/10/18383）證明：令 ，2022/10/18394）證明：注：5）2022/10/1840 6）證明：根據(jù)柯青法則 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法則：蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法則：當(dāng)除了一個矢量之外，其他的矢量都是常數(shù)時，應(yīng)該這樣來變換表達(dá)式，以使得所有常矢量都位于 算子之前，而變量則位于它之后。2022/10/18417）證明：XZ Y順變?yōu)檎樧優(yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)逆變?yōu)樨?fù)2022/10/1842在混合乘積中有兩個矢量相同，必然為02022/10/18432022/10/1844 3 3

12、、哈密頓算子對積分的應(yīng)用：、哈密頓算子對積分的應(yīng)用：由Gauss定理有：2022/10/1845 由這些公式可以看出，只要把體積分中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數(shù)。推廣的高斯公式可以寫為：高斯公式（Gausss theorem）將體積分與面積分聯(lián)系起來，在流體力學(xué)中十分有用 2022/10/1846第二節(jié)第二節(jié)張量初步張量初步 前言 張量的定義 張量的表示法 幾種特殊的二階張量 張量的運(yùn)算2022/10/1847一一.前言前言1 1、指標(biāo)和符號指標(biāo)和符號1)自由指標(biāo) 如矢量 ，其分量可表示為 ，；則 稱為自由指標(biāo)。2)約定求和法則和啞指標(biāo) 約定在同一項(xiàng)中，如有兩個指標(biāo)相同，就

13、表示對該指標(biāo)從1到3求和。這個約定稱為愛因斯坦求和約定。這重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。如：2022/10/18482022/10/18492 2、符號、符號(1)克羅內(nèi)克爾符號 各向同性張量，也就是說當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動后，張量的分量不變 2022/10/1850 具有替換下標(biāo)的作用2022/10/1851(2)(2)置換符號置換符號 （）（注：偶排列 123，231，312）(3)(3)恒等式恒等式2022/10/1852因?yàn)槔}2022/10/1853例題：例題：2022/10/1854證明：XZ Y順變?yōu)檎樧優(yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)逆變?yōu)樨?fù)2022/10/18551 1、張量的定義、張量的定義 張量是由一組分量

14、所構(gòu)成的集合，這組分量在坐標(biāo)改變時應(yīng)滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系，以保證該張量本身所描述的一個完整的幾何對象或物理量對象不隨坐標(biāo)的變換而變化。笛卡爾坐標(biāo)二、張量的定義二、張量的定義 分別是新舊坐標(biāo)系的單位基矢量為新舊坐標(biāo)之間不同坐標(biāo)軸夾角的方向余弦562022/10/1857(1)(1)對于流場中，標(biāo)量在新舊坐標(biāo) 中，量值不變。(2)(2)對于流場中的矢量 ，新舊關(guān)系：基矢：在新舊坐標(biāo)系中表示為：于是：其中 是舊新坐標(biāo)中不同坐標(biāo)軸夾角的余弦。新 舊2022/10/1858 由 式給出了矢量的另一種定義：對每一個直角坐標(biāo) 系來說，有三個量 ，它根據(jù)（1）式變換到另一個坐標(biāo)系 中的三個量 中去，則此三個

15、量定義一新的量 ，稱為矢量。若將矢量以坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)定義（1）加以推廣，可得張量的定義。2022/10/1859(3)(3)流場中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)流場中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 它有9個分量來表示舊坐標(biāo)中應(yīng)力矢量：（2）新坐標(biāo)系中，應(yīng)力矢量 （3）把（2）代入（3）有：（4）于是 （5）而 （6）j,l舊坐標(biāo)系i,k新坐標(biāo)系j,j l,li j2022/10/1860 凡符合 可變換規(guī)律的物理量稱為二階張量。若在一直角坐標(biāo)系內(nèi)給定了3n個數(shù) ，當(dāng)坐標(biāo)變換時，所得新的數(shù) 則稱此3n個數(shù) 為一個n階張量。說說明明:標(biāo)標(biāo)量量是是零零階階張張量量，矢矢量量是是一一階階張張量量，應(yīng)應(yīng)力力是是二二階張量階張量。2022/

16、10/1861 三、三、張量的表示法張量的表示法 一階張量一階張量二階張量二階張量2022/10/1862四、幾種特殊的二階張量四、幾種特殊的二階張量1零張量：在任意直角坐標(biāo)系中各分量皆為零的量，以0表示2單位張量：3共軛張量：4對稱張量：2022/10/18634對稱張量：只有6個不同分量2022/10/18645反對稱張量：只有3個不同分量2022/10/18652022/10/18666 6、并矢、并矢 證明：為二階張量 （1）（2）要證 是二階張量 只需證明 （3）（1），（2）代入即是。2022/10/1867 例題1：？例題2：2022/10/1868 五、五、張量的運(yùn)算張量的運(yùn)算

17、 1.張量相等：，則各分量一一對應(yīng)相等 2.張量加減：則 3.張量數(shù)乘：A 張量，-一個常數(shù) 等于個分量都乘以。2022/10/1869 五、五、張量的運(yùn)算張量的運(yùn)算 4.二階張量的點(diǎn)積：；定義“.”為 讓并矢中相鄰單位向量點(diǎn)乘積。兩個二階張量點(diǎn)積后得到一個二階張量。兩個二階張量點(diǎn)積后得到一個二階張量。兩個二階張量叉乘后得到一個三階張量。兩個二階張量叉乘后得到一個三階張量。2022/10/1870 5 5二階張量的雙點(diǎn)積二階張量的雙點(diǎn)積 (1)并聯(lián)式 相當(dāng)于收縮兩次，變成階張量 (2)串聯(lián)式 2022/10/1871 例：例：1 2 3.為一列向量。為一行向量。2022/10/18722022/10/1873六.各向同性張量2022/10/18742022/10/1875第三節(jié)第三節(jié) 雅可比行列式雅可比行列式2022/10/18762022/10/18772022/10/18782022/10/18792022/10/1880