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1、1 把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩余，就叫盈；每次都能正好分完。如果物體還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。解盈虧問題的公式解盈虧問題的公式 【一盈一虧的解法一盈一虧的解法】(盈數(shù)盈數(shù)+虧數(shù)虧數(shù))兩次每人分配數(shù)的差兩次每人分配數(shù)的差【雙盈的解法雙盈的解法】(大盈大盈-小盈小盈)兩次每人分配數(shù)的差兩次每人分配數(shù)的差【雙虧的解法雙虧的解法】(大虧大虧-小虧小虧)兩次每人分配數(shù)的差兩次每人分

2、配數(shù)的差2 由解盈虧問題的公式可以看出，求解此類問題的由解盈虧問題的公式可以看出，求解此類問題的關(guān)鍵是確定兩次分配數(shù)量的差和盈虧的總額，如果兩關(guān)鍵是確定兩次分配數(shù)量的差和盈虧的總額，如果兩次分配是一次是有余，另一次是不足時，則依上面的次分配是一次是有余，另一次是不足時，則依上面的公式，先求得人數(shù)公式，先求得人數(shù)(不是物數(shù)不是物數(shù))，再求出物數(shù)；如果兩，再求出物數(shù)；如果兩次分配都是有余，則公式變成盈額差除以兩次分配數(shù)次分配都是有余，則公式變成盈額差除以兩次分配數(shù)之差；如果兩次分配都是不足時，則公式變成虧額差之差；如果兩次分配都是不足時，則公式變成虧額差除以兩次分配數(shù)之差。有些應(yīng)用題，從表面看起來

3、似除以兩次分配數(shù)之差。有些應(yīng)用題，從表面看起來似乎不是盈虧問題，但認(rèn)真分析，將條件適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化后，乎不是盈虧問題，但認(rèn)真分析，將條件適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化后，竟然可變成盈虧問題進(jìn)行解答。必須轉(zhuǎn)化題目中條件，竟然可變成盈虧問題進(jìn)行解答。必須轉(zhuǎn)化題目中條件，才能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找解答；有時候，直接從才能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找解答；有時候，直接從“包含包含”入手比較困難，可以間接從其反面入手比較困難，可以間接從其反面“不包含不包含”去想就會比較容易。去想就會比較容易。3例例1 1：小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人分4 4粒則多粒則多9 9粒；若每人粒；若每人分分5 5粒則少粒則少6 6粒。問：有多少

4、個小朋友分多少粒糖？粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？4由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4 4粒就多粒就多9 9粒，第二種方案每人分粒，第二種方案每人分5 5粒就少粒就少6 6粒，兩種粒，兩種不同的方案一多一少相差不同的方案一多一少相差9 96 61515（粒）。相差的（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分分4 4粒，第二種方案每人分粒，第二種方案每人分5 5粒，兩次分配數(shù)之差為粒，兩次分配

5、數(shù)之差為5 54 41 1（粒）。（粒）。5 每人相差每人相差1 1粒，多少人相差粒，多少人相差1515粒呢？由此求出粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為小朋友的人數(shù)為15151 11515（人），糖果的粒數(shù)為（人），糖果的粒數(shù)為4 415159 96969（粒）。（粒）。解：（解：（9 96 6）（5-45-4）1515（人），（人），4 415159 96969（粒）。（粒）。答：有答：有1515個小朋友，分個小朋友，分6969粒糖。粒糖。6例例2 2：小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人分3 3粒則剩粒則剩2 2粒；若每人粒；若每人分分5 5粒則少粒則少6 6粒。問：有多少個小朋友？多少粒

6、糖果粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖果？7 本題與例本題與例1 1基本相同，本題中兩次分配數(shù)之差基本相同，本題中兩次分配數(shù)之差是是5-35-32 2（粒）（粒）,兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為為2 26=86=8（粒）。仿照例（粒）。仿照例1 1的解法即可。的解法即可。解：（解：（6 62 2）（4-24-2）4 4（人），（人），3 34 42 21414（粒）。（粒）。8由上兩例看出，所謂盈虧問題，就是把一定數(shù)量由上兩例看出，所謂盈虧問題，就是把一定數(shù)量的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求出

7、分配的總?cè)藬?shù)與被分配東同的盈虧數(shù)，反過來求出分配的總?cè)藬?shù)與被分配東西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額（盈數(shù)與盈虧總額（盈數(shù)+虧數(shù)），由此得到求解盈虧問虧數(shù)），由此得到求解盈虧問題的公式：題的公式：分配總?cè)藬?shù)分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額盈虧總額兩次分配數(shù)之差。兩次分配數(shù)之差。需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總是一是一“盈盈”一一“虧虧”，也會出現(xiàn)兩，也會出現(xiàn)兩“盈盈”、兩、兩“虧虧”、一、一“不盈不虧不盈不虧”一一“盈盈”或或“虧虧”等情況。等情況。9例例3 3：小朋友分糖果，每人分小朋友分糖果

8、，每人分1010粒，正好分完；若每粒，正好分完；若每人分人分1616粒，則有粒，則有3 3個小朋友分不到糖果。問：有多個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？少粒糖果？10 第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16163 34848（粒），所以盈虧總額是（粒），所以盈虧總額是0 048=4848=48（粒），而（粒），而兩次分配數(shù)之差是兩次分配數(shù)之差是16-1016-106 6（粒）。由盈虧問題的（粒）。由盈虧問題的公式得公式得有小朋友（有小朋友（0 016163 3）（16-1016-10）8 8（人），（人），有糖有糖10108 88080（粒）。（粒）。

9、11例例4 4：一批小朋友去買東西，若每人出一批小朋友去買東西，若每人出1010元則多元則多8 8元；元；若每人出若每人出7 7元則少元則少4 4元。問：有多少個小朋友？東西元。問：有多少個小朋友？東西的價格是多少？的價格是多少？12 兩種購物方案的盈虧總額是兩種購物方案的盈虧總額是8 84 41212（元），（元），兩次分配數(shù)之差是兩次分配數(shù)之差是10-710-73 3（元）。由公式得到（元）。由公式得到小朋友的人數(shù)（小朋友的人數(shù)（8 84 4）（10-710-7）4 4（人），（人），東西的價格是東西的價格是10104-84-83232（元）。（元）。13例例5 5：顧老師到新華書店去買書

10、，若買顧老師到新華書店去買書，若買5 5本則多本則多3 3元；元；若買若買7 7本則少本則少1.81.8元。這本書的單價是多少？顧老師元。這本書的單價是多少？顧老師共帶了多少元錢？共帶了多少元錢？14 買買5 5本多本多3 3元，買元，買7 7本少本少1.81.8元。盈虧總額為元。盈虧總額為3 31.8=4.81.8=4.8（元），這（元），這4.84.8元剛好可以買元剛好可以買7-57-52 2（本）（本）書，因此每本書書，因此每本書4.84.82=2.42=2.4（元），顧老師共帶錢（元），顧老師共帶錢 2.42.45 53 31515（元）。（元）。15例例6 6：王老師去買兒童小提琴，

11、若買王老師去買兒童小提琴，若買7 7把，則所帶的錢把，則所帶的錢差差110110元；若買元；若買5 5把，則所帶的錢還差把，則所帶的錢還差3030元。問：兒童元。問：兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？16本題在購物的兩個方案中，每一個方案都出本題在購物的兩個方案中，每一個方案都出現(xiàn)錢不足的情況，買現(xiàn)錢不足的情況，買7 7把小提琴差把小提琴差110110元，買元，買5 5把小提琴差把小提琴差3030元。從買元。從買7 7把變成買把變成買5 5把，少買把，少買了了7-5=27-5=2（把）提琴，而錢的差額減少了（把）提琴，而錢的差額減少了110-30110

12、-308080（元），即（元），即8080元錢可以買元錢可以買2 2把小把小提琴，可見小提琴的單價為每把提琴，可見小提琴的單價為每把4040元錢。元錢。解：（解：（110-30110-30）（7-57-5）4040（元），（元），40407-1107-110170170（元）。（元）。答：小提琴答：小提琴4040元一把，王老師帶了元一把，王老師帶了170170元錢。元錢。17例例7 7：某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐那么每條船正好坐6 6人；如果減少一條人；如果減少一條船，那么每條船就要坐船，那么每條船就要坐9 9人。問：學(xué)生人。問：學(xué)生有多少

13、人？有多少人？有些問題初看似乎不像盈虧問題，但將題目條件適當(dāng)轉(zhuǎn)化，就露出了盈虧問題的“真相”。18 本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件“如果如果增加一條船增加一條船”表示表示“如果每船坐如果每船坐6 6人，那么有人，那么有6 6人人無船可坐無船可坐”；“如果減少一條船如果減少一條船”表示表示“如果每如果每船坐船坐9 9人，那么就空出一條船人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問題。這樣，用盈虧問題來做，盈虧總額為來做，盈虧總額為6 69=159=15，兩次分配的差為，

14、兩次分配的差為9-69-63 3。解：（解：（6 69 9）（9-69-6）5 5（條），（條），6 65 56=366=36（人）。（人）。答：有答：有3636名學(xué)生。名學(xué)生。19例例8 8：少先隊員植樹，如果每人挖少先隊員植樹，如果每人挖5 5個坑，個坑，那么還有那么還有3 3個坑無人挖；如果其中個坑無人挖；如果其中2 2人各挖人各挖4 4個坑，其余每人挖個坑，其余每人挖6 6個坑，那么恰好將坑個坑，那么恰好將坑挖完。問：一共要挖幾個坑？挖完。問：一共要挖幾個坑？20 我們將我們將“其中其中2 2人各挖人各挖4 4個坑，其余每人挖個坑，其余每人挖6 6個坑個坑”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“每人都挖每人都

15、挖6 6個坑，就多挖了個坑，就多挖了4 4個坑個坑”。這樣。這樣就變成了就變成了“典型典型”的盈虧問題。盈虧總額為的盈虧問題。盈虧總額為4 43 37 7（個）坑，兩次分配數(shù)之差為（個）坑，兩次分配數(shù)之差為6-56-51 1（個）坑。（個）坑。解：解：33（6-46-4）22（6-56-5）7 7（人）（人）5 57 73 33838（個）。（個）。答：一共要挖答：一共要挖3838個坑。個坑。21例例9 9：在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把繩子對折垂到水面，則余繩子對折垂到水面，則余8 8米；若把繩子三折米；若把繩子三折垂到水面，則余垂到水面，則余2 2米。

16、問：橋有多高？繩子有米。問：橋有多高？繩子有多長？多長？22因為把繩子對折余因為把繩子對折余8 8米，所以是余了米，所以是余了8 82=162=16（米）；同樣，把繩子三折余（米）；同樣，把繩子三折余2 2米，就是余了米，就是余了3 32 26 6（米）。兩種方案都是（米）。兩種方案都是“盈盈”，故盈虧，故盈虧總額為總額為16-6=1016-6=10（米），兩次分配數(shù)之差為（米），兩次分配數(shù)之差為3-23-21 1（折），所以（折），所以橋高（橋高（8 82-22-23 3）（3-23-2）1010（米），（米），繩子的長度為繩子的長度為2 210108 82 23636（米）。（米）。23例

17、例1010：有若干個蘋果和若干個梨。如果按每有若干個蘋果和若干個梨。如果按每1 1個蘋果配個蘋果配2 2個梨分堆，那么梨分完時還剩個梨分堆，那么梨分完時還剩2 2個蘋果；如果按每個蘋果；如果按每3 3個個蘋果配蘋果配5 5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1 1個梨。個梨。問：蘋果和梨各有多少個？問：蘋果和梨各有多少個？24容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方案是案是1 1個蘋果個蘋果“搭配搭配”2 2個梨，第二種方案是個梨，第二種方案是3 3個

18、個蘋果蘋果“搭配搭配”5 5個梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為個梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為1 1個蘋果個蘋果“搭配搭配”若干個梨，那么問題就好解決了。若干個梨，那么問題就好解決了。將原題條件變?yōu)閷⒃}條件變?yōu)椤? 1個蘋果搭配個蘋果搭配2 2個梨，缺個梨，缺4 4個梨；個梨；1 1個蘋果搭配個梨，多一個梨?zhèn)€蘋果搭配個梨，多一個梨”，此時盈虧總，此時盈虧總額為額為4+1=54+1=5（個）梨，兩次分（個）梨，兩次分 配數(shù)之差為配數(shù)之差為2-=2-=（個）梨。所以（個）梨。所以 有蘋果有蘋果5 5 =15=15（個）（個）有梨有梨15152-42-42626（個）（個）25例例1111：樂樂家去學(xué)校上學(xué)

19、，每分鐘走樂樂家去學(xué)校上學(xué)，每分鐘走5050米，走了米，走了2 2分鐘分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會遲到后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會遲到8 8分分鐘。于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走鐘。于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走1010米，米，結(jié)果到達(dá)學(xué)校時離上課還有結(jié)果到達(dá)學(xué)校時離上課還有5 5分鐘。問：樂樂家離學(xué)分鐘。問：樂樂家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？校有多遠(yuǎn)？26 樂樂從改變速度的那一點到學(xué)校，若每分鐘樂樂從改變速度的那一點到學(xué)校，若每分鐘走走5050米，則要遲到米，則要遲到8 8分鐘，也就是到上課時間時，分鐘，也就是到上課時間時，他離學(xué)校還有他離學(xué)校還有50508 840

20、0400（米）；若每分鐘多走（米）；若每分鐘多走1010米，即每分鐘走米，即每分鐘走6060米，則到達(dá)學(xué)校時離上課還米，則到達(dá)學(xué)校時離上課還有有5 5分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多走（走（50501010）5 5300300（米）。所以盈虧總額，（米）。所以盈虧總額，即總的路程相差即總的路程相差400400300300700700（米）。（米）。兩種走法每分鐘相差兩種走法每分鐘相差1010米，因此所用時間為米，因此所用時間為70070010107070（分），（分），也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有707

21、0分鐘。所以樂樂家到學(xué)校的距離為分鐘。所以樂樂家到學(xué)校的距離為5050（2 270708 8）40004000（米）（米）27例例1212：王師傅加工一批零件，每天加工王師傅加工一批零件，每天加工2020個，可以提前個，可以提前1 1天完成。工作天完成。工作4 4天后，由于改進(jìn)了技術(shù)，每天可多加天后，由于改進(jìn)了技術(shù)，每天可多加工工5 5個，結(jié)果提前個，結(jié)果提前3 3天完成。問：這批零件有多少個？天完成。問：這批零件有多少個？28 每天加工每天加工2020個，如果一直加工到計劃時間，個，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工那么將多加工2020個零件；改進(jìn)技術(shù)后，如果一直個零件；改進(jìn)技術(shù)后，如果一

22、直加工到計劃時間，那么將多加工（加工到計劃時間，那么將多加工（20205 5）3 37575（個）。盈虧總額為（個）。盈虧總額為75-2075-205555（個）。兩種（個）。兩種加工的速度比較，每天相差加工的速度比較，每天相差5 5個。個。根據(jù)盈虧問題的公式，從改進(jìn)技術(shù)時到計劃根據(jù)盈虧問題的公式，從改進(jìn)技術(shù)時到計劃完工的時間是完工的時間是55555 51111（天），計劃時間為（天），計劃時間為11114 41515（天），這批零件共有：（天），這批零件共有：2020（15-115-1）280280（個）（個）291 1小朋友分糖果，每人小朋友分糖果，每人3 3粒，余粒，余3030粒；每人粒

23、；每人5 5粒，粒，少少4 4粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖？粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖？2 2一個汽車隊運輸一批貨物，如果每輛汽車運一個汽車隊運輸一批貨物，如果每輛汽車運35003500千克，那么貨物還剩下千克，那么貨物還剩下50005000千克；如果每輛汽千克；如果每輛汽車運車運40004000千克，那么貨物還剩下千克，那么貨物還剩下500500千克。問：這個千克。問：這個汽車隊有多少輛汽車？要運的貨物有多少千克？汽車隊有多少輛汽車？要運的貨物有多少千克？3 3學(xué)校買來一批圖書。若每人發(fā)學(xué)校買來一批圖書。若每人發(fā)9 9本，則少本，則少2525本；若每人發(fā)本；若每人發(fā)6 6本，則少本

24、，則少7 7本。問：有多少個學(xué)生？本。問：有多少個學(xué)生？買了多少本圖書？買了多少本圖書？304 4參加美術(shù)活動小組的同學(xué)，分配若干支彩色參加美術(shù)活動小組的同學(xué)，分配若干支彩色筆。如果每人分筆。如果每人分4 4支，那么多支，那么多1212支；如果每人分支；如果每人分8 8支，支，那么恰有那么恰有1 1人沒分到筆。問：有多少同學(xué)？多少支彩人沒分到筆。問：有多少同學(xué)？多少支彩色筆？色筆？5 5紅星小學(xué)去春游。如果每輛車坐紅星小學(xué)去春游。如果每輛車坐6060人，那么人，那么有有1515人上不了車；如果每輛車多坐人上不了車；如果每輛車多坐5 5人，那么恰好多人，那么恰好多出一輛車。問：有多少輛車？多少個

25、學(xué)生？出一輛車。問：有多少輛車？多少個學(xué)生？6 6某數(shù)的某數(shù)的8 8倍減去倍減去153153，比其，比其5 5倍多倍多6666，求這個，求這個數(shù)。數(shù)。317 7某廠運來一批煤，如果每天燒某廠運來一批煤，如果每天燒15001500千克，那么千克，那么比原計劃提前一天燒完；如果每天燒比原計劃提前一天燒完；如果每天燒10001000千克，那么千克，那么將比原計劃多用一天。現(xiàn)在要求按原計劃燒完，那么將比原計劃多用一天。現(xiàn)在要求按原計劃燒完，那么每天應(yīng)燒煤多少千克？每天應(yīng)燒煤多少千克？8 8同學(xué)們?yōu)閷W(xué)校搬磚，每人搬同學(xué)們?yōu)閷W(xué)校搬磚，每人搬1818塊，還余塊，還余2 2塊；塊；每人搬每人搬2020塊，就有

26、一位同學(xué)沒磚可搬。問：共有磚多塊，就有一位同學(xué)沒磚可搬。問：共有磚多少塊？少塊？9.9.筑路隊計劃每天筑路筑路隊計劃每天筑路720720米，實際每天比原計劃米，實際每天比原計劃多筑多筑8080米，這樣在完成規(guī)定任務(wù)的前三天，就只剩下米，這樣在完成規(guī)定任務(wù)的前三天，就只剩下11601160米未筑。問：這條路共有多長？米未筑。問：這條路共有多長？3210.10.小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分二人每人分4 4只，其余每人分只，其余每人分2 2只，那么多出只，那么多出4 4只；如果只；如果一人分一人分6 6只，其余每人分只，其余每人分4 4只

27、，那么缺只，那么缺1212只。問：小紅只。問：小紅家買來多少只桔子？小紅家共有幾人？家買來多少只桔子？小紅家共有幾人？11.11.小李去買肉，如果買牛肉小李去買肉，如果買牛肉1818千克，那么差千克，那么差4 4元元；如果買豬肉；如果買豬肉2020千克，那么多千克，那么多2 2元。已知牛肉、豬肉每元。已知牛肉、豬肉每千克差價千克差價8 8角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。12.12.李老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果是桔子的李老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果是桔子的2 2倍。桔子每人分倍。桔子每人分3 3個，多個，多4 4個；蘋果每人分個；蘋果每人分7 7個，少個，少

28、5 5個個。問：有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？。問：有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？3313.13.用繩子測量井深。如果把繩子三折垂到水面，用繩子測量井深。如果把繩子三折垂到水面，余余7 7米；如果把繩子米；如果把繩子5 5折垂到水面，余折垂到水面，余1 1米。求繩長與井米。求繩長與井深。深。14.14.老師給幼兒園小朋友分蘋果。每兩人三個蘋果，老師給幼兒園小朋友分蘋果。每兩人三個蘋果，多兩個蘋果；每三人五個蘋果，少四個蘋果。問：有多多兩個蘋果；每三人五個蘋果，少四個蘋果。問：有多少個小朋友？多少個蘋果？少個小朋友？多少個蘋果？15.15.小明從家到學(xué)校去上學(xué)，如果每分鐘走小明從家到學(xué)校去上學(xué)，如果每分鐘走6060米，米，那么將遲到那么將遲到5 5分鐘；如果每分鐘走分鐘；如果每分鐘走8080米，那么將提前米，那么將提前3 3分分鐘。小明家距學(xué)校多遠(yuǎn)？鐘。小明家距學(xué)校多遠(yuǎn)？34