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1、14 角動量、角動量定理和角動量守恒定律角動量、角動量定理和角動量守恒定律4.1 質(zhì)點的角動量和角動量定理質(zhì)點的角動量和角動量定理例例3.23 勻速直線運動的角動量勻速直線運動的角動量例例3.23開普勒第二定律開普勒第二定律例例3.21 例例3.22 4.2 質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理4.3 角動量守恒定律角動量守恒定律例例3.19例例3.19 一、質(zhì)點的角動量一、質(zhì)點的角動量二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理 例例3.20例例3.19 2例如作圓周運動的質(zhì)點的角例如作圓周運動的質(zhì)點的角動量動量LmrV ，其方向垂，其方向垂直于軌道平面。要標(biāo)明對哪直于軌道平面。要標(biāo)明對哪點的動

2、量矩。點的動量矩。大?。捍笮。篖r m Vsin 方向：右手螺旋定則判定方向：右手螺旋定則判定單位：單位：kgm2/s 量綱：量綱：ML2T-1moo4 角動量、角動量定理和角動量守恒定律角動量、角動量定理和角動量守恒定律一一、質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量4.1 質(zhì)點的角動量和角動量定理質(zhì)點的角動量和角動量定理3例例3.19 已知質(zhì)點的位矢和動量的直角坐標(biāo)，求對坐已知質(zhì)點的位矢和動量的直角坐標(biāo)，求對坐標(biāo)原點的角動量。若質(zhì)點在標(biāo)原點的角動量。若質(zhì)點在OXY平面上運動，結(jié)果平面上運動，結(jié)果又是怎樣。又是怎樣。解：（解：（1 1）在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點對原點在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點對原點O的角動量為的角動量為

3、 若質(zhì)點的運動平面為若質(zhì)點的運動平面為OXY面，面，則則z=0,=0,pz=0=0，為為 這時質(zhì)點對原點的角動量就是質(zhì)點對垂直于運動這時質(zhì)點對原點的角動量就是質(zhì)點對垂直于運動平面的平面的Z軸的角動量（或軸的角動量（或稱角動量在稱角動量在Z軸的分量軸的分量）4在質(zhì)點作平面曲線運動時，角動量多用極坐標(biāo)表示。在質(zhì)點作平面曲線運動時，角動量多用極坐標(biāo)表示。對極點的角動量為對極點的角動量為 這說明質(zhì)點角動量大小為這說明質(zhì)點角動量大小為mr2 2,方向垂直于質(zhì)點的運動平面方向垂直于質(zhì)點的運動平面。o5例例3.19 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿著一條空間曲線運動，的質(zhì)點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標(biāo)下

4、的矢徑為：該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：a、b、皆為常數(shù)皆為常數(shù)求：該質(zhì)點對原點的角動量。求：該質(zhì)點對原點的角動量。解：已知解：已知6例例3.19”地球繞太陽的運動可以近似地看作勻速地球繞太陽的運動可以近似地看作勻速圓周運動，求地球?qū)μ栔行牡慕莿恿繄A周運動，求地球?qū)μ栔行牡慕莿恿拷猓阂阎栔行牡降厍虻木嚯x為解：已知太陽中心到地球的距離為 r=1.5 1011m地球的公轉(zhuǎn)速率地球的公轉(zhuǎn)速率v=3.0 104m，而地球的質(zhì)量為，而地球的質(zhì)量為m=6.0 1024千克。千克。所以，地球?qū)μ栔行牡慕莿恿繛椋核?，地球?qū)μ栔行牡慕莿恿繛椋涸摻莿恿康姆较虼怪庇谲壍榔矫嬖摻莿恿康姆较虼怪庇谲壍榔矫?

5、例例3.19“根據(jù)玻爾假設(shè)，氫原子內(nèi)電子繞核運動的角根據(jù)玻爾假設(shè)，氫原子內(nèi)電子繞核運動的角動量只可能是動量只可能是h/2 的整數(shù)倍，其中的整數(shù)倍，其中h是普朗克常數(shù)，是普朗克常數(shù)，大小為大小為6.63 10 34 kgm2/s，已知電子圓形軌道的半已知電子圓形軌道的半徑為徑為 r=0.529 10-10m求：在此軌道上運動電子的速率？求：在此軌道上運動電子的速率？解：由于是最小半徑，所以有解：由于是最小半徑，所以有8二、二、質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理 9力矩力矩:定義為合外力對同一固定點的力矩定義為合外力對同一固定點的力矩大小：大?。篗rFsin (為矢徑與力之間的夾角為矢徑與力之間的夾

6、角)方向：右手螺旋定則方向：右手螺旋定則單位：單位：mN 量綱：量綱：ML2T-2角動量定理：角動量定理：質(zhì)點所受的合外力矩等于它質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量隨時間的變化率。的角動量隨時間的變化率。mo10例例3.20如圖所示，一半徑為如圖所示，一半徑為R的光滑圓環(huán)置于豎直平面的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)。有一質(zhì)量為內(nèi)。有一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)上，并可在圓環(huán)上滑動。的小球穿在圓環(huán)上，并可在圓環(huán)上滑動。小球開始時靜止于圓環(huán)上的點小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A（該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心O的水的水平面上）平面上），然后從點然后從點A開始下滑。求小球滑到點開始下滑。求小球滑到點B時對環(huán)時對環(huán)心心O

7、的角動量和角速度的角動量和角速度。解解小球受正壓力和重力的作用。小球受正壓力和重力的作用。其中正壓力指向環(huán)心其中正壓力指向環(huán)心O，對于，對于O的的力矩為零，故小球所受的力矩僅為力矩為零，故小球所受的力矩僅為重力矩，其大小為重力矩，其大小為 角動量定理角動量定理RBA O11由題設(shè)條件，由題設(shè)條件，t=0時，時，0=0，L0=0.故上式的積分為故上式的積分為 由題由題B點，點，=90012根據(jù)質(zhì)點的角動量定理：根據(jù)質(zhì)點的角動量定理：對所有質(zhì)點求和：對所有質(zhì)點求和：O m1m2由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反所以，所以，內(nèi)力矩之和為零。內(nèi)力矩之和為零。4.2 質(zhì)

8、點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理13一質(zhì)點系相對于慣性系中一質(zhì)點系相對于慣性系中任意定點任意定點的角動量時間的角動量時間變化率等于作用在這系統(tǒng)上的外力相對于該點的變化率等于作用在這系統(tǒng)上的外力相對于該點的總轉(zhuǎn)矩?？傓D(zhuǎn)矩。質(zhì)點系質(zhì)點系(組組)的角動量定理：的角動量定理：*內(nèi)力即不改變系統(tǒng)的總動量，內(nèi)力即不改變系統(tǒng)的總動量，也不改變系統(tǒng)的總角動量。也不改變系統(tǒng)的總角動量。說明說明需要注意的是，需要注意的是，由于每個質(zhì)點的位矢由于每個質(zhì)點的位矢 ri 各不各不相同，系統(tǒng)受到的總力矩并不等于系統(tǒng)所受相同，系統(tǒng)受到的總力矩并不等于系統(tǒng)所受合外力合外力F外外的力矩。的力矩。14上式表明，重力的合力矩與系

9、統(tǒng)的全部質(zhì)量上式表明，重力的合力矩與系統(tǒng)的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心上所受到的力矩等價。集中在質(zhì)心上所受到的力矩等價。例例3.21 若質(zhì)點系所受的外力是重力，按質(zhì)若質(zhì)點系所受的外力是重力，按質(zhì)心的定義，心的定義，合外力矩為：合外力矩為：15例例3.22 有兩個質(zhì)量分別為有兩個質(zhì)量分別為m1、m2(m1m2)的物體的物體，通，通過一條不計質(zhì)量的繩跨在一個質(zhì)量忽略不計的、軸處過一條不計質(zhì)量的繩跨在一個質(zhì)量忽略不計的、軸處摩擦力也不計的定滑輪上。摩擦力也不計的定滑輪上。求：求：m1 的加速度；若的加速度；若t=0時時 m1的速度為零，的速度為零，求求:m1下降時的速度。下降時的速度。解：以軸心為原點，以解：

10、以軸心為原點，以m1、m2、繩和滑輪為研究體系，外力有重力繩和滑輪為研究體系，外力有重力和滑輪軸上的支撐力和滑輪軸上的支撐力F?；喓屠K?；喓屠K的質(zhì)量忽略不計。總力矩：的質(zhì)量忽略不計?？偭兀毫胤较虼怪奔埫嫦蛲?。力矩方向垂直紙面向外。總角動量方向也垂直于紙面向外：總角動量方向也垂直于紙面向外：16這也可以從牛頓動力學(xué)方程中得到。這也可以從牛頓動力學(xué)方程中得到。由繩約束的兩物體速度、由繩約束的兩物體速度、加速度均相同加速度均相同17如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此點對該固定點的角動量矢量保持不變。則此點對該固定點的角動量矢量保持不變

11、。*這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律4.3 角動量守恒定律角動量守恒定律由質(zhì)點系的角動量定理由質(zhì)點系的角動量定理*力矩為零力矩為零可能是位矢，也可以是力為零；還可能可能是位矢，也可以是力為零；還可能是位矢與力同方向或反向，例如有心力情況。是位矢與力同方向或反向，例如有心力情況。18一個孤立系統(tǒng)，或者一個具有零外轉(zhuǎn)矩的系統(tǒng)，一個孤立系統(tǒng)，或者一個具有零外轉(zhuǎn)矩的系統(tǒng)，其總角動量的大小、方向都是恒定不變的。其總角動量的大小、方向都是恒定不變的。*若質(zhì)點系所受的外力都是有心力，合外力矩為零，若質(zhì)點系所受的外力都是有心力，合外力矩為零，角動量守恒。如太陽系內(nèi)各行星的角

12、動量守恒。角動量守恒。如太陽系內(nèi)各行星的角動量守恒。*它表示一個孤立系統(tǒng)的某一部分的角動量由于內(nèi)它表示一個孤立系統(tǒng)的某一部分的角動量由于內(nèi)部相互作用而變化時，則這一系統(tǒng)的其余部分必然部相互作用而變化時，則這一系統(tǒng)的其余部分必然會發(fā)生一相等，而且相反的角動量的變化，使得總會發(fā)生一相等，而且相反的角動量的變化，使得總角動量守恒。角動量守恒。*角動量守恒是矢量式角動量守恒是矢量式 ，而，而 和和 可隨時間變化?？呻S時間變化。*角動量守恒定律是空間各向同性（空間轉(zhuǎn)動對稱性）角動量守恒定律是空間各向同性（空間轉(zhuǎn)動對稱性）的必然結(jié)論，是物理學(xué)中最基本、最普遍的定律之一。的必然結(jié)論，是物理學(xué)中最基本、最普遍

13、的定律之一。19例例23 證明一個質(zhì)點運動時，如果不受外力的作證明一個質(zhì)點運動時，如果不受外力的作用，則它對于任意固定點的角動量矢量保持不變。用，則它對于任意固定點的角動量矢量保持不變。如圖所示，其角動量為如圖所示，其角動量為解：根據(jù)牛頓第一定律該質(zhì)點做勻速直線運動解：根據(jù)牛頓第一定律該質(zhì)點做勻速直線運動垂直于紙面向外。大小為垂直于紙面向外。大小為所以，角動量的大小、方向不變。所以，角動量的大小、方向不變。20例例3.23 證明關(guān)于行星證明關(guān)于行星運動的開普勒第二定律：運動的開普勒第二定律：行星對太陽的矢徑在相行星對太陽的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的等的時間內(nèi)掃過相等的面積。面積。這個結(jié)論也叫

14、這個結(jié)論也叫等等面積原理面積原理。解：由于行星是在太陽引力解：由于行星是在太陽引力的作用下，對太陽的力矩為零，軌道角動量守恒。的作用下，對太陽的力矩為零，軌道角動量守恒。軌道角動量垂直于矢徑與動量組成的平面，對太陽的軌道角動量垂直于矢徑與動量組成的平面，對太陽的角動量：角動量：21為行星對太陽的矢徑在單位時間內(nèi)掃過為行星對太陽的矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，叫行星運動的面積速度。的面積，叫行星運動的面積速度。角動量守恒意味著這一面積速度不變。角動量守恒意味著這一面積速度不變。即行星對太陽的矢徑在即行星對太陽的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。的面積。這個結(jié)論也叫這個結(jié)論也叫等面積原理等面積原理。22作業(yè)作業(yè):3-13、3-14、3-15(舊版舊版)3-8、3-9、3-10（新版）（新版）