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1、第三章題解 第三章題解 3-13-1 電子的能量分別為 10eV，100 eV，1000 eV 時(shí)，試計(jì)算相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)。解：依計(jì)算電子能量和電子波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的公式 電子的能量:電子的能量分別為 10eV，100 eV，1000 eV 時(shí)，試計(jì)算相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)。解：依計(jì)算電子能量和電子波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的公式 電子的能量:keekEmpmpE222 由德布羅意波長(zhǎng)公式:由德布羅意波長(zhǎng)公式:KeEmhph2 nmE2261.nmnm3880101.1.226 nmnm0.12261001.2262 nmnm0.038810001.2263 3-2 設(shè)光子和電子的波長(zhǎng)均為 0.4nm，試問：（1）光子的

2、動(dòng)量與電子的動(dòng)量之比是多少？（2）光子的動(dòng)能與電子的動(dòng)能之比是多少？解：（1）由 3-2 設(shè)光子和電子的波長(zhǎng)均為 0.4nm，試問：（1）光子的動(dòng)量與電子的動(dòng)量之比是多少？（2）光子的動(dòng)能與電子的動(dòng)能之比是多少？解：（1）由ph可知光子的動(dòng)量等于電子的動(dòng)量，即p可知光子的動(dòng)量等于電子的動(dòng)量，即p光子光子:p:p電子電子=1:1（2）由 光子動(dòng)能與波長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)的關(guān)系 =1:1（2）由 光子動(dòng)能與波長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)的關(guān)系 nmKeVE)(光子光子1.24 電子動(dòng)能與波長(zhǎng)的關(guān)系 電子動(dòng)能與波長(zhǎng)的關(guān)系 nmE電子電子1.226 nmE2)(電子電子1.226 則知 則知 962940.31.226101.242

3、3電子光子EE 3-3 若一個(gè)電子的動(dòng)能等于它的靜止能量，試求：(1)該電子的速度 1w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng)為多大?(2)其相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)是多少?解：（1）依題意，相對(duì)論給出的運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能表達(dá)式是：2mcE 20cmEEk 2022cmmc 02mm 022021mcvmm 41122cv 22141cv 2243cv 所以 0.866cc43v （2）根據(jù)電子波長(zhǎng)的計(jì)算公式：0.001715nmeV105111.226nm)(1.226nm3eVEk 3-4 把熱中子窄束射到晶體上，由布喇格衍射圖樣可以求得熱中子的能量若晶體的兩相鄰布喇格面間距為 0.18

4、nm，一級(jí)布喇格掠射角(入射束與布喇格面之間的夾角)為30,試求這些熱中子的能量 解：根據(jù)布喇格衍射公式 n=dsin =dsin=0.18sin30nm=0.09 nm 1.226nm()kEeV 221.226nm()13.622 eV185.56eVkE 3-5 電子顯微鏡中所用加速電壓一般都很高，電子被加速后的速度 2w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng)很大，因而必須考慮相對(duì)論修正試證明：電子的德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓的關(guān)系應(yīng)為：1.226nmrV 式中Vr=V(1+0.97810-6V)，稱為相對(duì)論修正電壓，其中電子加速電壓V的單位是伏特 分析:考慮德布羅意波長(zhǎng),考慮相

5、對(duì)論情況質(zhì)量能量修正,聯(lián)系德布羅意關(guān)系式和相對(duì)論能量關(guān)系式,求出相對(duì)論下 P 即可解.證明：根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量公式 021()mmvc 將其平方整理乘c,得其能量動(dòng)量關(guān)系式 2 22201()vmcmc22c 2222220m cp cm c 222204Ep cm c 20kEEmc 0kEEE 22422242000111()(2kk0)kpEm cEm cm cE Em cccc 222226221.226(2)2(2)(221.2261.2261.226(1 0.9785 10)(1)2ekkeekkekkeerem chhchcp2)EEm cm cEEm cEEm cm cVVVVVm

6、 c 題意得證.3-6 (1)試證明：一個(gè)粒子的康普頓波長(zhǎng)與其德布羅意波長(zhǎng)之比等于 3w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng) 120EE 式中Eo和E分別是粒子的靜止能量和運(yùn)動(dòng)粒子的總能量(康普頓波長(zhǎng)c=h/m0c,m0為粒子靜止質(zhì)量，其意義在第六章中討論)(2)當(dāng)電子的動(dòng)能為何值時(shí)，它的德布羅意波長(zhǎng)等于它的康普頓波長(zhǎng)?證明：根據(jù)相對(duì)論能量公式 021()mmvc 將其平方整理乘c2 22201()vmcmc22c 2222220m cp cm c 222204Ep cm c 20kEEmc 0kEEE 22422242000111()(2kk0)kpEm cEm cm cEEm

7、 cccc 22422242000001111()(2)()(kkkpEm cEm cm cEEm cEEEEcccc0)（1）相對(duì)論下粒子的德布羅意波長(zhǎng)為：22000()()hhchpEEEEcEE 粒子的康普頓波長(zhǎng)為 200chhchm cm cE0c 2202000220()()1()chcEEEEhcEEEE （2）若粒子的德布羅意波長(zhǎng)等于它的康頓波長(zhǎng) 20()1EE 1 4w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng) 200()2,2EEEE 022511722.55KeVEE 0722.55511211.55(KeV)kEEE 則電子的動(dòng)能為 211.55KeV.則電子的動(dòng)

8、能為 211.55KeV 注意變換：1.注意變換：1.P 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 表示;2.表示;2.E 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 表示;3-7 一原子的激發(fā)態(tài)發(fā)射波長(zhǎng)為 600nm 的光譜線，測(cè)得波長(zhǎng)的精度為表示;3-7 一原子的激發(fā)態(tài)發(fā)射波長(zhǎng)為 600nm 的光譜線，測(cè)得波長(zhǎng)的精度為710，試問該原子態(tài)的壽命為多長(zhǎng)?解：依 ，試問該原子態(tài)的壽命為多長(zhǎng)?解：依 htE 求t 求t chhE 2hcE 2Et schcEt9879106110314341010600422.3-8 一個(gè)電子被禁閉在線度為 10fm 的區(qū)域中，這正是原子核線度的數(shù)量級(jí)，試計(jì)算它的最小動(dòng)能 解：3-8 一個(gè)電子被禁閉在線度為 10fm

9、的區(qū)域中，這正是原子核線度的數(shù)量級(jí)，試計(jì)算它的最小動(dòng)能 解：2xpx 粒子被束縛在線度為 粒子被束縛在線度為 r 的范圍內(nèi)，即的范圍內(nèi)，即x=r 那么粒子的動(dòng)量必定有一個(gè)不確定度，它至少為：那么粒子的動(dòng)量必定有一個(gè)不確定度，它至少為：x2xp )(2xxxppp 0 xp 平均平均)()(2231ppx 5w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng) 電子的最小平均動(dòng)能為 電子的最小平均動(dòng)能為 eVmrEk82210848283.3-9 已知粒子波函數(shù)czbyaxN2|2|2|exp，試求：(1)歸一化常數(shù) N；(2)粒子的 x 坐標(biāo)在 0 到 a 之間的幾率；(3)粒子的 y 坐標(biāo)和

10、z 坐標(biāo)分別在-b+b 和-c+c.之間的幾率 解:(1)因粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率必定是一,所以歸一化條件是:dv=1 即:dzedyedxeNdvczbyax22222222 1822220002abcNdecdebdeaNczczbybyaxax 所以 Nabc81 (2)粒 子 的x坐 標(biāo) 在區(qū) 域 內(nèi) 幾 率為:a0dzedyedxeNczbyaax22220222)11(211412eeabcN (3)粒子的),(),(cczbby區(qū)域內(nèi)的幾率為:dzedyedxeNccczbbbyax222222222)11(8eabcN2)11(e 3-10 若一個(gè)體系由一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子組成

11、，設(shè)它的歸一化空間波函數(shù)為(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足標(biāo) 1，2 分別代表質(zhì)子和電子，試寫出：(1)在同一時(shí)刻發(fā)現(xiàn)質(zhì)子處于(1，0，0)處，電子處于(0，1，1)處的幾率密度；(2)發(fā)現(xiàn)電子處于(0，0，0)，而不管質(zhì)子在何處的幾率密度；(3)發(fā)現(xiàn)兩粒子都處于半徑為 1、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的球內(nèi)的幾率大小 6w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng) 3-11 對(duì)于在阱寬為a的一維無(wú)限深阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，計(jì)算在任意本征態(tài)n中的平均值x及2)(xx證明：當(dāng)n時(shí)，上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果相一致，并 3-12 求氫原子 1s 態(tài)和 2P 態(tài)徑向電荷密度的最大位置 第三章習(xí)題 13,1

12、4 3-13 設(shè)氫原子處在波函數(shù)為1311),(arear的基態(tài)，a1為第一玻爾半徑，試求勢(shì)能 rerU2041)(的平均值 3-14 證明下列對(duì)易關(guān)系：ipy,0,ypx 0,xLx zLxi,y 0,xxLp zPLpi,yx 第三章習(xí)題 15 解 3-15 設(shè)質(zhì)量為 m 的粒子在半壁無(wú)限高的一維方阱中運(yùn)動(dòng),此方阱的表達(dá)式為:(x)=axax000 x0VV試求:(1)粒子能級(jí)表達(dá)式;(2)證明在此阱內(nèi)至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件是,阱深和阱寬 a 之間滿足關(guān)系式:0V maV32220 解:(1)在 xa,薛 定 諤 方 程 為:0)(VxV33023222EVdxdm (4)整理后得:0)

13、(2320232EVmdxd 令/)(20EVmk 則:032232kdxd 方程的解為:xkBe3 (5)式中 A,B 為待定系數(shù),根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化條件的連續(xù)性,有)()()()(3322aaaa 將(3),(5)式代人得:kkkctg (6)(2):證 明:令 kau akv 則(6)式 可 改 為:(7)vuctgu 同時(shí),u 和 v 還必須滿足下列關(guān)系式:(8)22022222/2)(hamvakkvu聯(lián)立(7)(8)可得粒子的能級(jí)的值.用圖解法求解:在以v為縱軸u為橫軸的直角坐標(biāo)系中(7)(8)兩式分別表示超越曲線和圓,其交點(diǎn)即為解.因k k 都不是負(fù)數(shù),故u和v 不能取負(fù)值,因此只能取第一象限.由圖可知(7)(8)兩式至少有一解得條件為:2202amv2 即 maV32220 8w w w.k h d a w.c o m課后答案網(wǎng)