《計(jì)算物理學(xué)：第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分.pdf》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《計(jì)算物理學(xué)：第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分.pdf（60頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第四章數(shù)值微分和數(shù)值積分第四章數(shù)值微分和數(shù)值積分hxfhxfxf)()()(000+向前差商向前差商由由Taylor展開展開)(!2)()()(02000 xfhxhfxfhxf+=+=+誤差:誤差:)()(!2)()()()(0000hOxfhhxfhxfxfxR=+=+=x0 x0+hxf(x)1.1.差商差商4.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分hhxfxfxf)()()(000向后差商向后差商由由Taylor展開展開)(!2)()()(02000 xfhxhfxfhxf+=+=誤差:誤差:)()(!2)()()()(0000hOxfhhhxfxfxfxR=x0-hx0f(x)xhhxfhxfxf2)

2、()()(000+中心差商中心差商誤差誤差由由Taylor展開展開)()(6)()(122)()()()(202002000hOxfhxfxfhhhxfhxfxfxR=+=+=+=x0-hx0 x0+hf(x)x)(!3)(!2)()()(0202000 xfhxfhxhfxfhxf+=+=)(!3)(!2)()()(0202000 xfhxfhxhfxfhxf+=+=+二階中心差商二階中心差商()()22()2()()()f xhf xf xhfxhh+=+=+2(2)4()3()()()2f xhf xhf xfxhh+=+=+三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式例：已知函數(shù)例：已知函數(shù) y=f(x)的數(shù)值表

3、，試用兩點(diǎn)、二階中心差商計(jì)算的數(shù)值表，試用兩點(diǎn)、二階中心差商計(jì)算 x=2.7處的一、二階導(dǎo)數(shù)值處的一、二階導(dǎo)數(shù)值x2.52.62.72.82.9y12.182513.463714.879716.444618.1741解：取解：取h=0.2時(shí)時(shí)()()486.131825.128797.142.01)7.2(=f()()979.141825.121741.182.021)7.2(=f()()930.141741.188797.1421825.122.01)7.2(2=+=+=f二階中心差商二階中心差商向后差商向后差商中心差商中心差商取取h=0.1時(shí)時(shí)()()160.144637.138797.1

4、41.01)7.2(=f()()9045.144637.134446.161.021)7.2(=f()()890.144446.168797.1424637.131.01)7.2(2=+=+=f準(zhǔn)確值：準(zhǔn)確值：87973171472.e.=步長小的結(jié)果準(zhǔn)確步長小的結(jié)果準(zhǔn)確,二階中心差商比兩點(diǎn)公式準(zhǔn)確二階中心差商比兩點(diǎn)公式準(zhǔn)確x2.52.62.72.82.9y12.182513.463714.879716.444618.1741向后差商中心差商二階中心差商向后差商中心差商二階中心差商48613.93014.97914.h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大所以，有

5、個(gè)最佳步長所以，有個(gè)最佳步長可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定設(shè)設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長為分別為步長為h,h/2 的差商公式的差商公式則則)2()(hDhDh/2-合適的步長合適的步長時(shí)時(shí)2.插值型求導(dǎo)公式2.插值型求導(dǎo)公式已知已知表格函數(shù)表格函數(shù)()yfx=xy0 x0y1x1y2x2yLLnxny以構(gòu)造以構(gòu)造n次次Lagrange插值多項(xiàng)式:插值多項(xiàng)式:0(,)niiixy=()nLx()()nfxLx 插值型求導(dǎo)公式:插值型求導(dǎo)公式:?兩點(diǎn)兩點(diǎn)公式已知公式已知表格函數(shù)表格函數(shù)()yfx=xy0 x0y1x1y作作線性線性插值插值011010110()x

6、xxxL xyyxxxx=+=+0110101101101()()()yyL xyyL xxxxxh=+=+=10hxx=?三點(diǎn)三點(diǎn)公式已知公式已知表格函數(shù)表格函數(shù)()yfx=xy0 x0y1x1y2x2y其中其中01,2kxxkhk=+=作作二次二次插值插值0212201010210120122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxL xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx=+=+2()()fxLx 為了求導(dǎo)數(shù)方便，令為了求導(dǎo)數(shù)方便，令0 xxth=+2001211()(1)(2)(2)(1)22L xthttyt tyt ty+=+=+200121()

7、(23)(44)(21)2L xthtytytyh+=+=+0212201010210120122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxL xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx=+=+hxx,hxx20201+=+=hdtdx=當(dāng)時(shí)得到當(dāng)時(shí)得到三點(diǎn)三點(diǎn)公式：公式：0,1,2t=00121()342fxyyyh=+=+1021()2fxyyh=+=+20121()432fxyyyh=+=+中點(diǎn)中點(diǎn)公式公式對(duì)于左右邊界點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)與內(nèi)點(diǎn)的對(duì)于左右邊界點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)與內(nèi)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)是不一樣的關(guān)系一階導(dǎo)數(shù)是不一樣的關(guān)系例：例：已知函數(shù)在處的函數(shù)值已知函數(shù)在處的函數(shù)

8、值,()fx應(yīng)用應(yīng)用三點(diǎn)三點(diǎn)公式計(jì)算這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.公式計(jì)算這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.1.0,1.1,1.2x=解：解：ix()if x1.00.2500001.10.2267571.20.206612應(yīng)用應(yīng)用三點(diǎn)三點(diǎn)公式公式00121()3()4()()2f xf xf xf xh=+=+20121()()4()3()2f xf xf xf xh=+=+ix()ifx 1 0.0 24792.1 1.0 21694.1 2.0 18596.計(jì)算結(jié)果如下計(jì)算結(jié)果如下:1021()()()2f xf xf xh=+=+積分計(jì)算積分計(jì)算問題：問題：（1）尋找尋找f(x)的原函數(shù)相當(dāng)困難，或沒法求得；的原

9、函數(shù)相當(dāng)困難，或沒法求得；（2）有些被積函數(shù)雖然原函數(shù)存在，但不能用有些被積函數(shù)雖然原函數(shù)存在，但不能用初等函數(shù)表示成有限形式初等函數(shù)表示成有限形式（3）有的函數(shù)甚至有的函數(shù)甚至沒有表達(dá)式?jīng)]有表達(dá)式，只是一種，只是一種表格函數(shù)表格函數(shù)問題背景問題背景必須采用數(shù)值積分方法必須采用數(shù)值積分方法2sin x2cos x2xe 4.2 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分xxsin+bax411?數(shù)值積分公式的?數(shù)值積分公式的一般形式一般形式：0()()()nnkkkIfA f x=()baf x dx 其中其中011nnaxxxxb L求積求積節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)求積求積系數(shù)系數(shù)0 1,kAkn=L僅與僅與求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)有關(guān)

10、求積公式的求積公式的截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差或或余項(xiàng)余項(xiàng)：0()()()nbnkkakRff x dxA f x=其中其中11()()()()bbnkkaaknkx dxAlx dxxxx +=插值型插值型求積公式：求積公式：0()()nnkkkIfA f x=4.2.1 NewtonCotes公式公式一、一、插值型插值型求積公式求積公式設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值上的函數(shù)值()fx01naxxxb L01(),(),()nf xf xf xL二、二、NewtonCotes求積公式求積公式NewtonCotes公式是公式是插值型插值型求積公式的特殊形式：求積節(jié)點(diǎn)取求積公式的特殊形式：求積

11、節(jié)點(diǎn)取等距等距分布：分布：0nkkx=0,1,2,kxakhkn=+=+=Lbahn=0()nbbjkkaajkjj kxxAlx dxdxxx=00()()()()()nnjj kathajhd athakhajh=+=+=+xath=+=+步長步長00()()nnjj ktj hhdtkj h=00()(1)()!()!n knnjj kbatj dtknkn=()()nkkAba C=其中其中()00(1)()!()!n knnnkjjkCtj dtknkn=Cotes系數(shù)系數(shù)0()()()()()nbnknakf x dxbaCf akhIf=+=NewtonCotes公式：公式：n=

12、1時(shí)的求積公式時(shí)的求積公式1100110()()()()kkkIfA f xA f xA f x=+=+2()()()baT ff af b=+=+(1)梯形梯形公式公式ab用用梯形梯形面積近似面積近似21110)1(0=dt)t(C2110(1)1=dttC001()()()!()!n knnnkjj kCtj dtknkn=n=2時(shí)的求積公式時(shí)的求積公式220011220()()()()()kkkIfA f xA f xA f xA f x=+=+(2)Simpson公式（公式（1/3 法則）法則）61214120)2(0=dt)t)(t(C6422120)2(1=dt)t(tC61141

13、20)2(2=dt)t(tC221baabahax+=+=+=+=+=+=001()()()!()!n knnnkjj kCtj dtknkn=()()4()()62baabS ff aff b+=+=+ab()()4()()62baabS ff aff b+=+=+用用拋物形拋物形面積近似面積近似n=3時(shí)的求積公式時(shí)的求積公式(3)Simpson公式（公式（3/8 法則）法則）)()2(3)(3)(8)(bfhafhafafabfS+=+=)()()()()()(33221100303xfAxfAxfAxfAxfAfIkkk+=+=3)()(3)(3)(83)(3210abhxfxfxfxf

14、hfS=+=+=abn=4時(shí)的求積公式時(shí)的求積公式20011223344()()()()()()I fA f xA f xA f xA f xA f x=+()7()32()12(2)90baC ff af ahf ah=+=+32(3)7()f ahf b+(4)Cotes公式公式近似近似等于等于曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積()()()2baT ff af b=+=+梯形梯形公式公式Simpson公式公式()()4()()62baabS ff aff b+=+=+Cotes公式公式()7()32()12(2)90baC ff af ahf ah=+=+32(3)7()f ahf b+()0(

15、)()()()nbnknakfx dxbaCf akhIf=+=NewtonCotes公式小結(jié)：公式小結(jié)：)()2(3)(3)(8)(bfhafhafafabfS+=例：例：分別利用分別利用梯形梯形公式、公式、Simpson公式、公式、Cotes公式計(jì)算積分的近似值。公式計(jì)算積分的近似值。1011Idxx=+=+解：解：10,1,()1abf xx=+10()(0)(1)2T fff=+=+110.50.752=+=+=1 01()(0)4()(1)62S ffff =+=+0.69444444 1113()7(0)32()12()32()7(1)90424C ffffff=+=+0.6931

16、7460 0.69314718 求積公式的余項(xiàng)求積公式的余項(xiàng)?梯形梯形公式公式 31(),(,)12hRfa b=?辛普森?辛普森公式公式 5(4)2(),(,)90hRfa b=NewtonCotes求積方法的求積方法的缺陷缺陷：從余項(xiàng)公式可以看出，要提高求積公式的精度，必須：從余項(xiàng)公式可以看出，要提高求積公式的精度，必須增加節(jié)點(diǎn)增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，會(huì)導(dǎo)致個(gè)數(shù)，而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，會(huì)導(dǎo)致（1）插值多項(xiàng)式出現(xiàn)插值多項(xiàng)式出現(xiàn)Runge現(xiàn)象；現(xiàn)象；（2）NewtonCotes數(shù)值穩(wěn)定性不能保證（數(shù)值穩(wěn)定性不能保證（n=9）。）。4.2.2 復(fù)化復(fù)化求積公式求積公式思想思想將積分區(qū)間將積分

17、區(qū)間分成若干個(gè)分成若干個(gè)小區(qū)間小區(qū)間，然后在，然后在每個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間上采用上采用低階低階的的NewtonCotes公式公式,a b一、一、復(fù)化復(fù)化梯形公式：梯形公式：將積分區(qū)間將積分區(qū)間n等分：等分：,a b分點(diǎn)分點(diǎn),kbaxakh hn=+=+=在區(qū)間在區(qū)間上采用上采用梯形梯形公式公式1,0,1,1kkxxkn+=L()()baI ff x dx=110()kknxxkf x dx+=110()()()2nkknkhf xf xRf+=+=+小梯形小梯形面積面積之和之和近似近似kx1+kx(1)復(fù)化梯形復(fù)化梯形公式公式11()()2()()2nnkkhTff af xf b=+=+110

18、()()()2nkknkhf xf xRf+=+=+=+nT2)()(2)()(2)()(12110nnxfxfhxfxfhxfxfh+=+=L(2)復(fù)化復(fù)化Simpson公式：分點(diǎn)公式：分點(diǎn),kbaxakh hn=+=+=在區(qū)間上采用在區(qū)間上采用Simpson公式公式10 11,kkxxkn+=L()()baI ff x dx=110()kknxxkf x dx+=11102()4()()()6nkknkkhf xf xf xRf+=+=+其中其中12()()2kkhfxfx+=+將積分區(qū)間將積分區(qū)間n等分：等分：,a b1 4 11 4 11 4 11 4 11 4 11214222444

19、4復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式111012()()4()2()()6nnnkkkkhSff af xf xf b+=+=+=+復(fù)化復(fù)化Simpson公式的幾何意義公式的幾何意義小拋物小拋物面積面積之和之和近似近似解：解：例：例：分別利用復(fù)化分別利用復(fù)化梯形梯形公式、復(fù)化公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，公式計(jì)算積分的近似值，10sin xIdxx=將區(qū)間將區(qū)間8等分等分0 1,01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x復(fù)化復(fù)化梯形梯

20、形公式(公式(n=8)81113()(0)2()()()2 88481537()()()()(1)2848T ffffffffff=+=+18h=0.945692 0.946083070367復(fù)化梯形復(fù)化梯形公式公式11()()2()()2nnkkhTff af xf b=+=+復(fù)化復(fù)化Simpson公式(公式(n=4)411357()(0)4()()()()6 488881132()()()(1)424Sffffffffff =+=+0.9460832 14h=復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式111012()()4()2()()6nnnkkkkhSff af xf xf b+=+=+=+0.9

21、46083070367（1）使用復(fù)化使用復(fù)化梯形梯形公式、公式、Simpson公式，首先要確定步長公式，首先要確定步長h（2）而步長要根據(jù)而步長要根據(jù)余項(xiàng)余項(xiàng)確定，這就涉及到確定，這就涉及到高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)的估計(jì)（3）高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)一般比較困難，且估計(jì)值往往偏大高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)一般比較困難，且估計(jì)值往往偏大（4）計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來不方便，通常采用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來不方便，通常采用“事后估計(jì)法事后估計(jì)法”注意注意事項(xiàng)：事項(xiàng)：?復(fù)化復(fù)化辛普森辛普森公式公式?復(fù)化復(fù)化梯形梯形公式公式),(),(122bafhabR=),(),(180)4(4bafhabR=4.2.3.2 變步長求積變步長求積4.2

22、.3 變步長求積和龍貝格求積公式變步長求積和龍貝格求積公式積分步長的積分步長的自動(dòng)自動(dòng)選?。哼x?。?基本?基本思想思想：將積分區(qū)間將積分區(qū)間逐次分半逐次分半前后兩次前后兩次近似值的誤差小于近似值的誤差小于已知精度已知精度2nnII 變步長變步長?具體具體過程（以復(fù)化過程（以復(fù)化梯形梯形公式為例）公式為例）1、首先將區(qū)間、首先將區(qū)間n等分：等分：,a bbahn=11()2()()2nnkkhTf af xf b=+=+2、再將區(qū)間、再將區(qū)間2n等分，即步長減半：等分，即步長減半：,a b12hh=11121102()2()2()()2nnnkkkkhTf af xf xf b+=+=+=+11

23、021()22nnkkbaTf xn+=+=+=+12()()2kkhf xf x+=+上述條件上述條件滿足滿足，程序終止；否則，繼續(xù)，程序終止；否則，繼續(xù)分半分半計(jì)算計(jì)算3、終止終止條件：條件：由復(fù)化由復(fù)化梯形梯形公式的余項(xiàng)知公式的余項(xiàng)知21()()12nba baITfn =222()()122nba baITfn =24nnITIT ()fx 變化不大變化不大時(shí)時(shí)由此得到由此得到近似近似關(guān)系式關(guān)系式221()41nnnITTT+誤差控制條件誤差控制條件21()41nnTT 221()41nnnITTT+2221()41nnnISSS+2231()41nnnICCC+應(yīng)用步長應(yīng)用步長逐次減

24、半逐次減半得到的復(fù)化得到的復(fù)化梯形梯形值、復(fù)化值、復(fù)化Simpson值、復(fù)化值、復(fù)化Cotes值值nS=nC=nR=加速加速收斂收斂4.2.3.2 Romberg積分法積分法?Romberg積分思想積分思想由上節(jié)分析知，用復(fù)化由上節(jié)分析知，用復(fù)化梯形梯形公式計(jì)算積分值公式計(jì)算積分值I2nT的的誤差誤差大約為：大約為：21()3nnTT 令令221()3nnnITTT+243nnTT=由復(fù)化由復(fù)化梯形梯形公式知公式知121021()22nnnkkbaTTf xn+=+=+11121102()2()2()()2nnnkkkkhTf af xf xf b+=+=+12102412()()333nnn

25、nkkTTbaTf xn+=+=+=+11()2()()2nnkkbaTf afxf bn=+=+11102()2()()4()6nnkkkkbaf af xf bf xn+=+=+nS=111012()()4()2()()6nnnkkkkhSff af xf xf b+=+=+梯形梯形加速加速公式：公式：2244134141nnnnnTTSTT=利用復(fù)化利用復(fù)化梯形梯形公式前后兩次積分近似值公式前后兩次積分近似值和和，按按2nTnT照上式作出的照上式作出的線性組合線性組合得到了具有得到了具有更高精度更高精度的積分值的積分值上述公式說明：上述公式說明：Romberg積分公式正是由此產(chǎn)生積分公式

26、正是由此產(chǎn)生Romberg值序列值序列Simpson加速加速公式：公式：222441nnSS=Cotes加速加速公式：公式：323441nnnCCR=類似于梯形類似于梯形加速加速公式的處理方法，得到：公式的處理方法，得到：2221()41nnnISSS+222441nnnSSC=2231()41nnnICCC+323441nnCC=21611515nnnCSS26416363nnnRCC=通過上述通過上述3個(gè)積分值序列求積分近似值的方法，個(gè)積分值序列求積分近似值的方法，稱之為稱之為Romberg積分法積分法4個(gè)積分值序列：個(gè)積分值序列：2kT梯形值序列梯形值序列Simpson值序列值序列Rom

27、berg值序列值序列Cotes值序列值序列 2kS 2kC 2kR1222441kkkTTS+=122222441kkkSSC+=132232441kkkCCR+=龍貝格積分算法龍貝格積分算法：1()()2baTf af b=+=+12+kk,hh第二步：做第二步：做計(jì)算準(zhǔn)備初值，并第一步計(jì)算準(zhǔn)備初值，并第一步,k,abh:0=1213134)2(TTS=121021()22nnnkkbaTTf xn+=+=+=+)(2)1(12hahfTT+=+=并依次計(jì)算，第三步：做并依次計(jì)算，第三步：做12+kk,hh)3()(2)1(24hafhafhTT+=+=1423134)2(TTS=12115

28、11516)3(SSC=并依次計(jì)算，第四步：做并依次計(jì)算，第四步：做12+kk,hh=+=+=4148)12(2)1(ihiafhTT4843134)2(TTS=2421511516)3(SSC=1216316364)4(CCR=并依次計(jì)算，第五步：做并依次計(jì)算，第五步：做12+kk,hh323212111122222222221226316364)4(1511516)3(3134)2()12(2)1(=+=+=kkkkkkkkkkkkCCRSSCTTShiafhTTi算，否則轉(zhuǎn)第五步為積分近似值，終止計(jì)取若判斷第六步：算，否則轉(zhuǎn)第五步為積分近似值，終止計(jì)取若判斷第六步：343222kkkRR

29、R 例：例：利用利用Romberg 積分法計(jì)算積分要求誤差小于積分法計(jì)算積分要求誤差小于dxxI+=+=1021461021=解：解：311401421)1(221=+=+=T1350142123)2(22.T=+=+=1333333333113341.S=1()()2baTf af b=+=+1213134TTS=)(212hahfTT+=+=131176537501425014411321)3(224.T=+=+=141568633134242.TTS=142117731511516121.SSC=)3()(224hafhafhTT+=+=1423134TTS=1211511516SSC=

30、13898853)87(14)85(14)83(14)81(148121)4(222248.TT=+=+=141592533134484.TTS=141594131511516242.SSC=141585836316364121.CCR=)7()5()3()(2148hafhafhafhafhTT+=+=14094163)161-2(1416121)5(812816.iTTi=+=+=1415927331348168.TTS=141592731511516484.SSC=14159263936316364242.CCR=14142993)321-2i(143212116121632.TTi=+

31、=+=141592633134163216.TTS=1415926315115168168.SSC=14159264436316364484.CCR=1415926443102110050(7)446724.RIR,.RR=繼續(xù)計(jì)算=,.RR651210211068390(6)Q4.2.4 反常積分的計(jì)算反常積分的計(jì)算設(shè)設(shè)x0為可去奇點(diǎn)，且已知被積函數(shù)在為可去奇點(diǎn)，且已知被積函數(shù)在x0點(diǎn)的極限，則在計(jì)算積分時(shí)，在點(diǎn)的極限，則在計(jì)算積分時(shí)，在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)用極限取代函數(shù)值即可的一個(gè)鄰域內(nèi)用極限取代函數(shù)值即可(sin)/xx?反常積分分為兩類：?反常積分分為兩類：（1）積分區(qū)間有限，在積分區(qū)間內(nèi)

32、被積函數(shù)有奇點(diǎn)（2）積分區(qū)間為無限（1）積分區(qū)間有限，在積分區(qū)間內(nèi)被積函數(shù)有奇點(diǎn)（2）積分區(qū)間為無限2sin16xxx+L1.可去奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)(1)積分區(qū)間為有限的積分(1)積分區(qū)間為有限的積分例：例：0 x 在在x=0 是可去奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是可去奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，2.極限的方法2.極限的方法00()lim()bbxrrxf x dxf x dx=定義一個(gè)收斂于定義一個(gè)收斂于x0的序列:的序列:120nbrrrx=L02nnrx=+=+120123()()()()bbrrxrrrf x dxf x dxf x dxf x dx=+L式中每一項(xiàng)積分都是正常積分，當(dāng)式中每一項(xiàng)積分都是正常積分，當(dāng)時(shí)積分

33、終止時(shí)積分終止1()nnrrf x dx+如果上式不收斂，則原積分不存在如果上式不收斂，則原積分不存在3 3.變量變換消除奇點(diǎn)：.變量變換消除奇點(diǎn)：dttdxxxtdtdxtx=1022,10)cos(2)cos(2(2)積分區(qū)間為無限的積分(2)積分區(qū)間為無限的積分0()If x dx=1 1.變量替換法.變量替換法：通過變量替換，可把無窮區(qū)間的通過變量替換，可把無窮區(qū)間的積分化為有限區(qū)間上的積分積分化為有限區(qū)間上的積分ln,/xt dxdt t=11000(ln)()()ftf x dxdtg t dtt=010txtxtex=2.極限法：2.極限法：00()lim()rrf x dxf x dx=120rr L2nnr=1231200()()()()rrrrrf x dxf x dxf x dxf x dx=+=+L1()nnrrf x dx+定義一個(gè)趨于的序列可取則上述積分可寫為一