《微積分上：2.1 數(shù)列的極限.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微積分上：2.1 數(shù)列的極限.ppt（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列的定義二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)第二章一、數(shù)列的定義例如例如定義定義:自變量取自然數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,或其中 為數(shù)列的第n項(xiàng)，稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng).記作按自然數(shù)順序可將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值排列起來(lái)：說(shuō)明：說(shuō)明：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取二、數(shù)列的極限問(wèn)題問(wèn)題:當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?問(wèn)題問(wèn)題:“無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它？言刻劃它？此時(shí)也稱數(shù)列為收斂數(shù)列，否則稱

2、數(shù)列為發(fā)散數(shù)列此時(shí)也稱數(shù)列為收斂數(shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列.說(shuō)明：說(shuō)明：幾何解釋幾何解釋:因此數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)因此數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān).所以，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)不改變其收斂性和極限所以，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)不改變其收斂性和極限.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1證證所以所以,注意：注意：例例2證證所以所以,說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3證證例例4證

3、證證證:用反證法.及且取因故存在 N1,從而同理,因故存在 N2,使當(dāng) n N2 時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一使當(dāng) n N1 時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí),故假設(shè)不真.滿足的不等式三、數(shù)列極限的性質(zhì)2.有界性有界性例如例如,有界有界無(wú)界無(wú)界定理定理 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界.證證由定義由定義,注意：注意：推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為的子數(shù)列（或子列）原數(shù)列設(shè)在數(shù)列 中，第一次抽取 ，第二次

4、在 后抽取 ，第三次在 后抽取 ，這樣無(wú)休止地抽取下去，得到一個(gè)數(shù)列這個(gè)數(shù)列 就是數(shù)列 的一個(gè)子數(shù)列.注意：注意：在子數(shù)列 中，一般項(xiàng) 是第k項(xiàng)，而在原數(shù)列中卻是第 項(xiàng).3.收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系顯然，.定理：收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng) 時(shí),有現(xiàn)取則當(dāng)時(shí),有從而有由此證明 由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，發(fā)散 則原數(shù)列一定發(fā)散.說(shuō)明說(shuō)明:說(shuō)明：一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“N”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;任一子數(shù)列收斂于同一極限思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列;方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.