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1、資料內(nèi)容僅供您學習參考，如有不當或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。第三篇 線性代數(shù)第1章 行列式 (不作為考試內(nèi)容)第2章 矩 陣1 矩陣的概念 我們知道, 線性方程組的系數(shù)及常數(shù)項組成一張數(shù)表, 線性方程組的解取決于這張數(shù)表。定義 由個數(shù)排成行列的矩形陣表, 稱為矩陣, 記為當時, 稱為方陣, 如, 等; 當時, 稱為行矩陣; 當時, 稱為列矩陣; 當時, 稱為零矩陣; 記為, 如, 等。矩陣只是一張數(shù)表, 不是一個數(shù), 因此, 不能展開, 不能求值, 也不能比較大小。如 =1, , 等都是錯誤的。定義 設(shè), 是兩個矩陣, 若( 1) 、 、 同階; ( 2) 、 則稱。例 設(shè), 若, 則, ,

2、 , , , 。例 設(shè), , 且, 則 。2 矩陣的運算設(shè), 是兩個同階矩陣。一、 加法: , ( 對應(yīng)元素相加) 例 設(shè) 則=二、 減法: , ( 對應(yīng)元素相減) 例 設(shè) 則三、 數(shù)乘: , ( 用遍乘中所有元素) 例 設(shè), 則 例 設(shè), , 且, 求矩陣。解 由, 得 四、 乘法: 設(shè), ,則,其中的第行的第列。相乘條件: 的列數(shù)的行數(shù)。相乘結(jié)果: 是一個矩陣, 即: ( m) (相乘結(jié)果相乘條件 例 設(shè), , 求。解 = 例 設(shè), , 求, 。解 = =從而 例 設(shè), , 求, 。 解 =, = 矩陣乘法滿足: ( 1) 、 結(jié)合律 ( 2) 、 分配律 , 不滿足: ( 1) 、 交換

3、律 ( 2) 、 消去律 即若, 且, 則( 3) 、 若, 則或 一般地, 若、 是同階方陣, 且, 則稱與是可交換矩陣五、 乘冪: 設(shè)是階方陣, 定義( 個) 例 設(shè), 則= =等等,一般地 =。例 設(shè)、 是同階方陣, 計算 ,。解 一般地, 一般地, 六、 轉(zhuǎn)置: 設(shè), 則稱為的轉(zhuǎn)置矩陣。結(jié)論: (1)、 的行變成的列, 的列變成的行; ( 2) 、 設(shè)是矩陣, 則是矩陣。例 設(shè), 求, 。解 性質(zhì): (1)、 (2)、 ( 3) 、 ( 4) 、 例 設(shè)、 都是矩陣, 則下面運算可進行的是( ) 。 、 、 、 、 例 設(shè)為矩陣, 為矩陣, 且乘積有意義, 則是( ) 矩陣。 、 、

4、、 、 練習 設(shè), , 則 。3 幾類特殊矩陣 一、 對角形矩陣 對角矩陣: 性質(zhì): 同階對角矩陣的和差、 數(shù)乘、 積、 轉(zhuǎn)置仍為對角矩陣; 數(shù)量矩陣: 性質(zhì): 同階數(shù)量矩陣的和差、 數(shù)乘、 積、 轉(zhuǎn)置仍為數(shù)量矩陣; 單位矩陣: 記為, 如, , 等等。例 設(shè), 求, 。解 =, 同樣可得一般地, 對任意方陣, 有( 類似于數(shù)1) 對于單位矩陣, 有, 等等。 例 下面式子是否成立? ( 1) ( 2) 二、 三角形矩陣 上三角矩陣: 下三角矩陣: 性質(zhì): 同階上( 下) 三角矩陣的和差、 數(shù)乘、 積仍為上( 下) 三角矩陣。三、 對稱矩陣 定義 若方陣滿足, 則稱為對稱矩陣 例 是對稱矩陣

5、若矩陣對稱 (即主對角線對稱位置上的元素必對應(yīng)相等) 性質(zhì): 同階對稱矩陣和、 差、 數(shù)乘仍為對稱矩陣。 注意: 兩個對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣。 例 設(shè), 都是對稱矩陣。 而=卻不是對稱矩陣。 例 試證對任意方陣, , 均是對稱矩陣。 證 是對稱矩陣; 是對稱矩陣。 例 若、 均為階對稱矩陣, 則也是對稱矩陣。( 自己證明) 例 設(shè)、 均為方陣, 則下列結(jié)論正確的有( ) 。 、 、 若, 則 、 、 若,則 4 矩陣的初等行變換一、 矩陣的初等行變換( 1) 、 非齊次線性方程; ( 2) 、 齊次線性方程, 現(xiàn)討論方程組的的解法。例 求解方程組 設(shè)稱為系數(shù)矩陣, 稱為增廣矩陣, 。則

6、線性方程組的矩陣形式為: 現(xiàn)討論方程組的的解法。 解 方程組 即方程組的解為,另解增廣矩陣 方程組的解為,矩陣的初等行變換: ( 1) 、 用一個非零數(shù)乘矩陣某行,記為 ( 2) 、 把某行的倍數(shù)加到另一行中去,記為 ( 3) 、 互換任意兩行的位置, 記為定義 若距陣滿足: ( 1) 、 零行在矩陣最下方; ( 2) 、 首非零元的列標隨行標的增大而增大, 則稱是階梯矩陣。例 、 都是階梯矩陣, 、 不是階梯矩陣。定義 若階梯矩陣滿足: ( 1) 、 非零行的首非零元都是1; ( 2) 、 首非零元所在列的其余元素都是0, 則稱是行簡化階梯矩陣。 例 、 是行簡化階梯矩陣, 、 不是行簡化階

7、梯矩陣。定理: 矩陣階梯矩陣行簡化階梯矩陣二、 矩陣的秩 定義 矩陣的階梯矩陣中非零行的行數(shù)稱為的秩, 記為秩( ) 。 求法 階梯矩陣 , 則秩( ) =階梯矩陣中非零行的行數(shù) 例 求矩陣的秩。 解 秩( ) 例 求矩陣的秩。 解: 秩( ) 練習1 矩陣的秩是 ; 矩陣的秩是 ; 矩陣的秩是 ; 階單位矩陣的秩是 。 練習2 矩陣的秩是 。定義: 設(shè)的階方陣, 若秩, 則稱為滿秩矩陣; 若秩, 則稱為降秩矩陣; 定理: ( ) 、 對任何方陣, 有秩( ) 秩( ) ( ) 、 設(shè)為滿秩矩陣, 則5 逆矩陣 大家知道, 數(shù)的運算, 除法是乘法的逆運算, 那么, 矩陣是否也有除法運算呢? 例

8、 求() ()= 或 ()= 定義: 對于方陣, 若存在同階方陣, 使得, 則稱是的逆矩陣, 記為, 可稱為可逆矩陣。 一般地, 若, 則=, = 例 設(shè) , =, , 均可逆, 且=, = 定理: 矩陣可逆的充分必要條件是是滿秩矩陣, 而且逆矩陣是唯一的。 例 矩陣不可逆 矩陣不可逆 矩陣可逆 例 設(shè)矩陣, 求。 解 =, = 一般地, = ( 其中) = (其中) 性質(zhì): ( 1) 、 ()= ( 2) 、 ()= (3)、 ()=( ) 例 試證若=, 且=, 則為對稱矩陣。 證 =, 可逆, 即存在 又 = = , 即= 用左乘上式得: = = = 是對稱矩陣 例 設(shè)為階方陣, 且=,

9、 證明可逆, 并求。 證 =, 即從而 可逆, 且 6 逆矩陣的求法 例 設(shè)( 其中) 則有 = 。于是有下面公式: 公式: 設(shè), 若,則可逆, 且= 例 設(shè), 求 解 可逆, = 例 設(shè), 則= 。 一般地, 設(shè)是可逆矩陣, 對施行若干次初等行變換化為, 能夠證明對施行同樣的初等行變換化為, 于是能夠得到求逆矩陣方法如下: 逆矩陣求法: 作一個矩陣,則 例 設(shè), 求。解 =例 解矩陣方程( 1) 、 , 其中 , ( 2) 、 , 其中, 解 ( 1) 、 , =( 2) 、 = 一般地: 若( 1) 、 ( 可逆) , 則 ( 2) 、 ( 可逆) , 則第2章 綜合練習題一、 填空題1、

10、 設(shè), , 則 , 。 、 設(shè), , 則 。 、 當 時, 矩陣可逆。 、 設(shè), 當 , 時, 是對稱矩陣。 、 設(shè), 則 。 、 設(shè), 則秩( ) 。 、 設(shè)矩陣方程, 如果可逆, 則 。 、 若, 且, 則= 。二、 單項選擇題、 設(shè)、 是兩個階方陣, 下列結(jié)論正確的是( ) 。、 , 則, 、 、 若秩, 秩, 則秩、 、 若秩, 秩, 則秩 、 設(shè)是矩陣,是矩陣, 則下列運算有意義的是( ) 。、 、 、 、 、 下列矩陣中, 可逆的矩陣是因為( ) 。、 、 、 、 4、 設(shè)矩陣, 則( ) 、 4 、 3 、 2 、 1 5、 設(shè)、 是同階方陣, 若滿足條件( ) , 則可逆。 、 、 、 、 6、 設(shè)、 是同階對稱矩陣, 則是( ) 。 、 零矩陣、 對角矩陣、 可逆矩陣、 對稱矩陣7、 設(shè)下面矩陣能