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1、空間點、直線、平面的位置關系1、平面的概念及空間點、直線、平面的位置關系（1）平面 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。 點與平面的關系：點A在平面內(nèi)，記作；點不在平面內(nèi)，記作點與直線的關系：點A的直線l上，記作：Al； 點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l不在平面內(nèi)，記作l。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是

2、否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1：（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是a，記作a。符號語言：公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的

3、位置關系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，

4、可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點三種位置關系的符號表示：a aA a（9）平面與平面之間的位置關系：平行沒有公共點；相交有一條公共直線。b2、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平

5、面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）3、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面

6、直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么

7、在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題（1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一

8、作，二證，三求”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，

9、如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標系（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點，分別以OD,O,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1）O叫做坐標原點 2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標軸. 3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，有序?qū)崝?shù)組 叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）（4）空間兩點距離坐標公式：