《四川省宜賓市第三中學2020高一數(shù)學教學論文 抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用（通用）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《四川省宜賓市第三中學2020高一數(shù)學教學論文 抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用（通用）.doc（12頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、四川省宜賓市第三中學2020高一教學論文 抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用內(nèi)容摘要：抽屜原理是國際國內(nèi)高中數(shù)學競賽中的重要內(nèi)容，本文目的是探討抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造及其應(yīng)用。首先介紹了抽屜原理及其一些相關(guān)推論，從而對原理實質(zhì)有了一定了解，再在此基礎(chǔ)上研究了抽屜原理常用的八種構(gòu)造方法：利用幾何圖形做抽屜、利用區(qū)間構(gòu)造抽屜、利用整數(shù)分組做抽屜、用狀態(tài)制作抽屜、利用染色體造抽屜、以集合作抽屜、以元素對作抽屜、按同余類造抽屜，并結(jié)合高中數(shù)學競賽中的具體例子進行了詳細分析。本文展現(xiàn)了抽屜原理在高中數(shù)

2、學競賽中的作用，對高中數(shù)學的教學等具有重要意義。關(guān)鍵詞：抽屜原理 構(gòu)造方法 應(yīng)用 數(shù)學競賽目錄1 引言22 抽屜原理簡介22.1 抽屜原理22.2 抽屜原理的性質(zhì)22.3 抽屜原理的幾種形式23 抽屜原理相關(guān)推論23.1 平均值原理23.2 面積重疊原理24 構(gòu)造抽屜的方法24.1 利用區(qū)間構(gòu)造抽屜24.2 利用幾何圖形作抽屜24.3 利用整數(shù)分組作抽屜24.4 用狀態(tài)制作抽屜24.5 利用染色體構(gòu)造抽屜24.6 以集合作抽屜24.7 以元素對作抽屜24.8 按同余類構(gòu)造抽屜25 抽屜原理的應(yīng)用25.1 解決問題的步驟25.2 應(yīng)用舉例26 結(jié)論2參考文獻：2抽屜原理在高中數(shù)學競賽中的一些構(gòu)造

3、及其應(yīng)用1 引言“抽屜原理”最先是由19世紀的德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)運用于解決數(shù)學問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也有稱“鴿籠原理”的。簡地說就是：把3個蘋果放入兩個抽屜中，必有一個抽中至少有兩個蘋果；把3個蘋果放入4個抽屜中，必有個抽屜中沒有蘋果。這個道理是非常明顯的，但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問題，并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果。中學生在應(yīng)用抽屜原理解決問題時，往往不能進行系統(tǒng)總結(jié)，從而對問題的實質(zhì)看不穿?！俺閷显怼笔且粋€重要而又基本的組合原理，是非常規(guī)解題的的重要類型，例如文獻1-3主要敘述了抽屜原理的一些基本形式及其性質(zhì)。文獻4的衡陽技師學院的趙晶老師著重研討了

4、運用抽屜原理時構(gòu)造抽屜的技巧，并歸納抽屜原理的適用范圍和運用時的注意事項。而文獻5中廣東三水廣播電視大學的鐘穎老師從所給出的通俗表述形式出發(fā)，細分下去，得出了鴿籠原理更全面、更廣泛的通俗表述形式。文獻6-9從實際例子出發(fā)，介紹了抽屜原理在實際生活中的應(yīng)用。文獻10-12則從抽屜原理的一些細節(jié)問題上出發(fā)進行了深入討論。文獻14是從高觀點下中學數(shù)學的角度分析了抽屜原理。最后文獻13-15介紹了抽屜原理在應(yīng)用時的一些方法。2 抽屜原理簡介2.1 抽屜原理一般組合數(shù)學的教材關(guān)于鴿籠原理的簡單形式為：設(shè)是有限集，且，則必有正整數(shù)()，使得。其通俗表述為：如果只鴿子飛進個籠子， 則必有一個籠子，該籠子里至

5、少有2只鴿子。關(guān)于鴿籠原理的一般形式為：設(shè)是()元集，且，則必有正整數(shù)()，使得。其通俗表述為：如果()只鴿子飛進個籠子，則必有一個籠子，該籠子至少有只鴿子。2.2 抽屜原理的性質(zhì)通俗表述形式并沒有指出這個籠子的性質(zhì)，要強調(diào)這個籠子的互不相干性。假定問題為：7個皮球放進6個抽屜里，則必有一個抽屜，該抽屜至少有2個皮球。這種表述形式合理的前提條件為這6個抽屜互不相干。試分析一下，如果這個6抽屜有一大套一小的情形出現(xiàn)，則此結(jié)論就有問題了。另外，在應(yīng)用鴿籠原理的通俗形式解決實際問題時，要注意放入對象的完整性(即不可分割性)。若假設(shè)問題為7對鞋放進6個互不相干的抽屜里，則必有1個抽屜，該抽屜里至少有2

6、對鞋的結(jié)論并不正確。原因是一對鞋并不是一個不可分割的整體，而是可分離的對象。所以可以出現(xiàn)有2個抽屜放入一對半鞋，其余個4抽屜放入一對鞋的情形。除了要指出放進對象與被放進對象性質(zhì)之外，還存在至多與至少問題。由前知：7只白鴿飛進3個互不相干的籠子里，至少有一個籠子里至少有3只白鴿，這個結(jié)論是很顯然的。如假定問題：7為只白鴿飛進3個互不相干的籠子里，至少有一個最大籠里至少有幾只白鴿？至少有一個最小籠里至多有幾只？分析其結(jié)果為：7只白鴿飛進3個互不相干的籠子里，至少有一個最大籠里至少有只，至少有一只最小籠里至多有只。推廣到只白鴿到個籠子的情形：只白鴿飛進個互不相干的籠子里，至少有一個最大籠里至少有只白

7、鴿，至少有一個最小籠里至多有只白鴿。當然，鴿籠原理本身就有一定的局限性，它對于一些更加復雜的有關(guān)存在性的組合問題，顯得無能為力。但有了這些關(guān)于鴿籠原理相對的通俗表述形式之后，就更清楚了應(yīng)用此原理的相對條件。2.3 抽屜原理的幾種形式其中是指不小于的最小整數(shù)。其中是指不大于的最大整數(shù)。1）第一抽屜原理(少的抽屜原理)：設(shè)有個元素分屬于個集合(其兩兩的交集可以非空)，且(均為正整數(shù))，則必有一個集合中至少有個元素。2）第二抽屜原理(多的抽屜原理)：設(shè)有個元素分屬于個兩兩不相交的集合，且(均為正整數(shù))，則必有一個集合中至多有個元素。3）無限的抽屜原理：設(shè)有無窮多個元素分屬于個集合，則必有一個集合中含

8、有無窮多個元素。3 抽屜原理相關(guān)推論3.1 平均值原理設(shè)，且，則中有一個不大與，亦有一個不小于；有一個不大與，亦有一個不小于。3.2 面積重疊原理個平面圖形的面積分別為，見他們以任意方式放入一個面積為的平面圖形內(nèi)。1）若，則存在，使圖形與有公共內(nèi)點。2）若，則內(nèi)存在一點，不屬于圖形中的任意一個。4 構(gòu)造抽屜的方法4.1 利用區(qū)間構(gòu)造抽屜在遇到證明不等式的問題時，一般先利用區(qū)間構(gòu)造抽屜，再利用任意區(qū)間里兩數(shù)之差小于區(qū)間端點之差來構(gòu)造出不等式。例1任給7個實數(shù)，證明必存在兩個實數(shù)滿足。證明：設(shè)7個實數(shù)為作，顯然，把分成6個區(qū)間：，依抽屜原理，必有兩個屬于同一區(qū)間，不妨設(shè)為，且，而不論屬于哪個小區(qū)間

9、，都有，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知： （1）不妨記，則，而由（1）知，又()，從而有。4.2 利用幾何圖形作抽屜 利用幾何圖形做抽屜，關(guān)鍵在于分割，分割出符合題意的圖形，即滿足了題意，又使“鴿子”的個數(shù)大于“籠子”的個數(shù)，再利用抽屜原理及其它的一些推論解題。例2有直徑為5的圓中放入10個點，求證：其中必有某兩點的距離小于2。圖1 例2圖分析：如果此題直接以半徑分割，平均分為9塊，在每一塊中沿半徑方向的長都為2.5，雖然“鴿子”的個數(shù)大于“籠子”的個數(shù)，但不符合題意兩點的距離小于2，所以，要用另外方法進行分割。證明：先把圓分成8個相等的傘形，再以圓的中心為中心，0.9為半徑作圓，以該小圓做一抽屜，八

10、個扇形切下的部分做八個抽屜，共計九個抽屜，而原來每個扇形的弧長，從而即同一抽屜內(nèi)任二點間距離均小于2，又10個點放入九個抽屜內(nèi)，由抽屜原理，必有兩點在同一個抽屜內(nèi)，這兩點距離就小于2。4.3 利用整數(shù)分組作抽屜利用整數(shù)分組關(guān)鍵在于構(gòu)造“鴿子”，抽屜一般都事先明確給出，所以，應(yīng)該怎么構(gòu)造“鴿子”是難點。好的構(gòu)造可以一眼看出思路，得出結(jié)論。例3對于個不同的自然數(shù)，若每一數(shù)都小于，那么可以從中選取三個數(shù)，使其中兩數(shù)之和等于第三數(shù)。分析：此題要應(yīng)用抽屜原理，還差至少只“鴿子”，再根據(jù)證明的結(jié)論，分析出可以用作差法構(gòu)造出剩下的“鴿子”。證明：把這個自然數(shù)排成單調(diào)增序列：，作，。則,現(xiàn)考察，這個小于的自然

11、數(shù)。則必有，即。4.4 用狀態(tài)制作抽屜所謂狀態(tài)，可以理解為某物在某一時刻的情況，狀態(tài)雖可以變，但變化的情況分析出不乏就只有幾種，從而可利用這幾種情況作為抽屜，再利用抽屜原理解決問題。例4世界上任意6個人中，一定有3個人或者相互認識，或者不相互認識。圖2 例4圖證明：將6個人用平面上的無三點共線的6個點表示，兩個人互相認識，就把代表這兩個人的兩點用實線連接起來，兩個人不互相認識，就把代表這兩個人的兩點用虛線連起來，于是問題就歸結(jié)為：設(shè)平面上有六個點(任意三點不共線)，每兩點之間都用線相連，且每條線段是實線、虛線色之一，那么圖中必有一個是三邊同線的三角形，已知六點，先取點與其它各點聯(lián)成5條線段，由

12、抽屜原理知，這5條線段中至少有3條同線，不失一般性，取為，都為實線。再看由構(gòu)成的的線的情況：的三條邊中，至少有一邊是實線，不妨設(shè)為，則是一個實線三角形。同理，的三邊都是虛線，這時就是一個虛線三角形，由此命題得證。4.5 利用染色體構(gòu)造抽屜利用染色體構(gòu)造抽屜嚴格說來是屬于用狀態(tài)制作抽屜的特殊情形，即有兩個抽屜時。之所以把它單獨拿出來討論，因為在遇到只有兩種排斥情形的抽屜原則問題時，利用染色方法解決問題，比較形象、簡便。而這也包含到了這類問題的大部分情況。例5將平面上每一點都以紅、藍色之一著色。證明，存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為2000，并且每一個三角形的三個頂點同色。圖3 例5圖證明

13、：在平面上取任意一點，從出發(fā)，在同側(cè)引9條射線，以為圓心，以半徑畫弧交9條射線于9個點，由于這9個點染有兩種顏色，根據(jù)抽屜原理，至少有5個點同色，不妨取為。再以為圓心，以為半徑畫弧，交射線依次于。再根據(jù)抽屜原理，其中必有3點同色，不妨取為，連結(jié)及，得兩，可知，相似比為2000，且，每一個的三個頂點都同色。4.6 以集合作抽屜以集合作抽屜關(guān)鍵在于分組構(gòu)造“籠子”，與利用整數(shù)分組關(guān)鍵在于構(gòu)造“鴿子”恰好相反。所以要分清這兩種方法的異同，才能更好的解題。例6證明：在小于100的27個不同的奇自然數(shù)中，必定可找到兩個數(shù)，它們的和等于102。分析：小于100的奇數(shù)有1，3，5，99共50個數(shù)，現(xiàn)在要用它

14、做成26個抽屜，而且至少有一抽屜不少于兩個數(shù)，這兩個數(shù)之和恰為102就解決了。證明：全，除，外，每個抽屜均有和為102的兩個奇數(shù)。由小于100的奇數(shù)中任取27個奇數(shù)，這27個奇數(shù)必取自這26個集合，依抽屜原理，至少有2個不同的奇數(shù)來源于同一抽屜。顯然這個抽屜只能屬于之一，這兩個數(shù)之和等于102。4.7 以元素對作抽屜以元素對作抽屜關(guān)鍵在于構(gòu)造出抽屜的前一步，即先找出元素出現(xiàn)的規(guī)律，再找到元素對中每個位置元素的個數(shù)，隨后便可構(gòu)造出抽屜，應(yīng)用抽屜原理問題便迎刃而解。例7有一無窮小數(shù)，其中是0，1，2，9中的一個數(shù)字，且為奇數(shù)，為偶數(shù)，的個位數(shù)字，的個位數(shù)字。求證：是有理數(shù)。證明：為證為有理數(shù)，只須

15、證為循環(huán)小數(shù)即可。由的構(gòu)成規(guī)律知，從第三位起每位數(shù)字由前兩位數(shù)字來決定，因此，只要證前兩位數(shù)字重復出現(xiàn)，即此小數(shù)就開始循環(huán)，要注意到一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之和為奇數(shù)，兩個奇數(shù)之和的個位數(shù)一定為偶數(shù)，則=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇。今考察非負整數(shù)對()，由已知其中為奇數(shù)，為偶數(shù)，則=1，3，5，7，9。=0，2，4，6，8。這樣的()最多只有對，因此在的前26對這樣的數(shù)中，必有兩對完全相同，故為循環(huán)小數(shù)。4.8 按同余類構(gòu)造抽屜同余類構(gòu)造抽屜是抽屜原理應(yīng)用中最常見的類型之一，一般對模的同余分類來構(gòu)造個抽屜，主要解決有關(guān)整除的存在性問題。例8為四個任意給定的整數(shù)，求證：差，的乘積能被12整除。證明：設(shè)。我們先證明3整除。(1)把按被3除的余數(shù)0，1，2分為三類(抽屜)。由抽屜原則,、四個數(shù)中必有兩個數(shù)對模3同余(即被3除的余數(shù)相同)，不妨設(shè)對模3同余。這時3可整除，從而3可整除。(2)把按被4除的余數(shù)0，1，2，3分為四類(抽屜)。如果、中有兩個數(shù)被4除的余數(shù)相同，那么它們的差必能被4整除，從而4可整除。