高中數(shù)學知識點總結引言1.課程內容：必修課程由5個模塊組成：必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、冪函數(shù)）必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個高中學生所必須學習的。上述內容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。 此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內容。選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用。選修12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)、框圖系列2：由3個模塊組成。選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修22：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)選修23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。系列3：由6個專題組成。選修31：數(shù)學史選講。選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對稱與群。選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴充。系列4：由10個專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)列與差分。選修44：坐標系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。選修47：優(yōu)選法與試驗設計初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風險與決策。選修410：開關電路與布爾代數(shù)。2重難點及考點：重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)難點：函數(shù)、圓錐曲線高考相關考點：集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的應用平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用復數(shù)：復數(shù)的概念與運算高中數(shù)學 必修1知識點 第一章 集合與函數(shù)概念1.1集合【1.1.1】集合的含義與表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.（3）集合與元素間的關系對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.描述法：|具有的性質，其中為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的基本關系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本運算（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補集1 2 【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根（其中無實根的解集或的解集1.2函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念設、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數(shù)，記作函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)（2）區(qū)間的概念及表示法設是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：是整式時，定義域是全體實數(shù)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1中，零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調性法【1.2.2】函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（6）映射的概念設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作給定一個集合到集合的映射，且如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函數(shù)的基本性質【1.3.1】單調性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調性定義及判定方法函數(shù)的性 質定義圖象判定方法函數(shù)的單調性如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1 x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖 象上升為增）（4）利用復合函數(shù)如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復合函數(shù)在公共定義域內，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)對于復合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減yxo（2）打“”函數(shù)的圖象與性質分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)（3）最大（?。┲刀x 一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作【1.3.2】奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則奇函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補充知識函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域； 化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調性）； 畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換伸縮變換 對稱變換 （2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系（3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數(shù)形結合解題的思想方法第二章 基本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，根式的性質：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， （2）分數(shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質 【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低2.2對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算（1） 對數(shù)的定義 若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個重要的對數(shù)恒等式，（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中）（4）對數(shù)的運算性質 如果，那么加法： 減法：數(shù)乘： 換底公式：【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù)2.3冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當（其中互質，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方補充知識二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：頂點式：兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便（3）二次函數(shù)圖象的性質二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 設一元二次方程的兩實根為，且令，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： 對稱軸位置： 判別式： 端點函數(shù)值符號 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結論可直接由推出 （5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令（）當時（開口向上）若，則 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()當時(開口向下)若，則 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)第三章 函數(shù)的應用一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)的零點： （代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點），方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點高中數(shù)學 必修2知識點第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結構特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側面是梯形 側棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點；側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖： 正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則： 長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和