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1、1第 2 講概率高考定位1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型及相互獨立事件的概率；2.二項分布的應用是考查的熱點；3.以選擇題、填空題的形式考查離散型隨機變量的期望與方差，難度為中檔真 題 感 悟 1(2018浙江卷)設 0p1，隨機變量 的分布列是012 P 1p212p2則當p在(0，1)內增大時()AD()減小BD()增大CD()先減小后增大DD()先增大后減小解析由題可得E()12p，所以D()p2p14p12212，所以當p在(0，1)內增大時，D()先增大后減小故選D.答案D 2(2018全國卷)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2

2、 的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30723.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30 的概率是()A.112B.114C.115D.118解析不超過 30 的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 個，從中隨機選取兩個不同的數有C210種不同的取法，這10 個數中兩個不同的數的和等于30 的有 3 對，所以所求概率P3C210115，故選 C.答案C 3(2018全國卷)若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為()A0.3 B0.4 C0.6 D 0.7 解析設“只用現金支付

3、”為事件A，“既用現金支付也用非現金支付”為事件B，“不用現金支付”為事件C，則P(C)1P(A)P(B)10.45 0.15 0.4.故選 B.2答案B 4(2018江蘇卷)某興趣小組有2 名男生和3 名女生，現從中任選2 名學生去參加活動，則恰好選中2 名女生的概率為_解析記 2 名男生分別為A，B，3 名女生分別為a，b，c，則從中任選2 名學生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共 10 種情況，其中恰好選中2 名女生有ab，ac，bc，共 3 種情況，故所求概率為310.答案310考 點 整 合1古典概型的概率P(A)mnA中所含的基本事件數基本事件總數.2

4、相互獨立事件和獨立重復試驗(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)(2)獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Cknpk(1p)nk，k 0，1，2，n.一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cknpkqn k，其中 0p1，pq1，k0，1，2，n，稱X服從參數為n，p的二項分布，記作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1 p)3離散型隨機變量的分布列(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.(2)

5、期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)期望的性質E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，則E(X)np.(4)方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2 xnE(X)2pn，標準差為D（X）.(5)方差的性質D(aXb)a2D(X)；3若XB(n，p)，則D(X)np(1 p).熱點一古典概型【例 1】(1)(2018 寧波十校聯考)在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7 門學科中任選3 門若同學甲必選物理，則甲的不同的選法種數為_，乙、丙兩名同學都選物理的概率是_(2)2位男生和3 位女生共5 位同學站成一排，則3 位女生中有且只有兩位女生相鄰的概率是()A.3

6、10B.35C.25D.15解析(1)在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7 門學科中任選3 門，同學甲必選物理，則甲的不同選法種數為：C11C2615；乙、丙兩名同學7 門學科中任選3 門，基本事件總數nC37C37，乙、丙兩名同學都選物理，包含的基本事件個數mC26C26，乙、丙兩名同學都選物理的概率是pmnC26C26C37C37949.(2)依題意，要使3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，需先將兩名女生捆綁，然后排兩名男生，最后將捆綁的兩名女生與剩下的一名女生去插空，共有(C23A22)A22A23種排法，所以求概率P（C23A22）A22A23A5535，故選 B.答案(1)15

7、 949(2)B 探究提高(1)解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數原理與排列、組合的相關知識(2)在求基本事件的個數時，要準確理解基本事件的構成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個數的求法與基本事件總數的求法的一致性【訓練 1】(1)從分別標有1，2，9 的 9 張卡片中不放回地隨機抽取2 次，每次抽取1張，則抽到的2 張卡片上的數奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59 D.79(2)(2018 杭州高級中學模擬)4 封不同信件放入4 個寫好地址的信封中，其中全裝錯的概率為()A.14B.38C.1124D.2324解析

8、(1)由題意得，所求概率p5429859，故選 C.(2)將 4封不同信件放入4個寫好地址的信封中有A44 24(種)不同的放法 其中全裝錯有3349(種)不同的放法，所以由古典概型可知，全裝錯的概率為P92438，故選 B.答案(1)C(2)B 熱點二相互獨立事件和獨立重復試驗【例 2】(2018全國卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立 設X為該群體的10 位成員中使用移動支付的人數，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，則p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 解析由題意知，該群體的10 位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以D(X)10p

9、(1 p)2.4，所以p0.6 或p 0.4.由P(X4)P(X6)，得 C410p4(1 p)6C610p6(1p)4，即(1 p)20.5，所以p0.6.答案B 探究提高求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點(1)求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，分析復雜事件能轉化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解(2)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同【訓練 2】將一枚均勻的硬幣投擲6 次，則正面出現的次數比反面出現的次數多的概率為_解析正面 4 次，反面

10、2 次的概率為P1C46124122；正面 5 次反面 1 次的概率為P2C5612512；正面 6 次，反面0 次的概率為P3C66126，則所求概率PP1P2P31132.答案1132熱點三離散型隨機變量的分布列【例 3】(1)(2018 臺州模擬)已知隨機變量X的分布列如表所示，則E(6X8)_，D(X)_.X 123 P 0.20.40.4(2)設隨機變量X的分布列為X 123 P 1215a則a_，E(X)_5解析(1)E(X)10.2 20.4 30.4 2.2，E(6X8)6E(X)862.2 821.21065，D(X)0.2(1 2.2)20.4(2 2.2)20.4(3 2

11、.2)20.56 1425.(2)根據所給分布列，可得a11215310，E(X)112215331095.答案(1)10651425(2)31095探究提高求解隨機變量分布列問題的兩個關鍵點(1)求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類概率公式求概率(2)求隨機變量的期望與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解【訓練 3】(1)隨機變量 的分布列如下：101 P a 0.25b若E()14，則D()_(2)(2018 麗水調研)已知隨機變量 滿足E(1)5，D(1)5，則下列說法正確的是()AE()

12、5，D()5 BE()4，D()4 CE()5，D()5 DE()4，D()5 解析(1)由題設可知ab34，ab14，解得a14，b12，所以D()114214 014214 1142121116.(2)隨機變量 滿足E(1)5，D(1 )5，1E()5，D()5，E()4，D()5.故選 D.答案(1)1116(2)D 1運用公式P(AB)P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件A，B相互獨立時，公式才成立62注意二項分布與超幾何分布的聯系與區(qū)別有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理3求離散型隨機變量的分布

13、列，首先要根據具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率4要會根據分布列的兩個性質來檢驗求得的分布列的正誤5超幾何分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布模型，要會根據問題特征去判斷隨機變量是否服從超幾何分布，然后利用相關公式進行計算.一、選擇題1現有編號為A，B，C，D的四本書，將這4 本書平均分給甲、乙兩位同學，則A，B兩本書不被同一位同學分到的概率為()A.14B.13C.23D.12解析將 4 本書平均分給甲、乙兩位同學，共有C24 6(種)不同的分法，A，B兩本書不被同一位同學分到，則有A22A224(種)分法，所以所求概率為4623，故選 C.答案C

14、 2小王同學有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時小王都將筆和筆帽套在一起，但偶爾會將筆和筆帽搭配成不同色將筆和筆帽隨機套在一起，請問小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是()A.16B.13C.12D.56解析設三只筆的筆筒與筆帽的搭配方式分別有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共 6 種情形，其中恰有兩只筆和筆帽的顏色混搭的可能有(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)共 3 種情形，故所求事件的概率P3612，故選 C.答案C 3投

15、籃測試中，每人投3 次，至少投中2 次才能通過測試已知某同學每次投籃投中的概率為 0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 解析該同學通過測試的概率為0.63C230.62(1 0.6)0.648，故選 A.答案A 74(2018稽陽聯誼學校聯考)隨機變量 的分布列如下，且滿足E()2，則E(ab)的值為()123 P a b cA.0 B1 C2 D無法確定，與a，b有關解析由題意得，abc1，a2b3c 2，3，得2ab1，所以E(ab)aE()b 2ab 1，故選 B.答案B 5某游戲中一個珠子從圖中的通道(圖中

16、實線表示通道)由上至下滑下，從最下面的六個出口(如圖所示1，2，3，4，5，6)出來，規(guī)定猜中出口者為勝如果你在該游戲中，猜得珠子從3 號出口出來，那么你取勝的概率為()A.516B.532C.16D以上都不對解析我們把從A到 3 的路線圖單獨畫出來：分析可得，從A到 3 共有 C2510(種)走法，每一種走法的概率都是125，所以珠子從出口3 出來的概率是C25125516.故選 A.答案A 6從 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 這 10 個數中任取3 個不同的數，每個數被取到的可能性相同，則這3 個數的和恰好能被3 整除的概率是()A.120B.110 C.310 D.720解析從 10 個數中任取3 個共有 C310120(種)取法，若所取的3 個數的和恰能被3 整除，則第一類：這3 個數從 1，4，7，10 中取，共有C344(種)取法；第二類：這3 個數從 2，5，8 中取，共有C331(種)取法；第三類：這3 個數從 3，6，9 中取，共有C331(種)取法；第四類：從 1，4，7，10 中取 1 個數，從 2，5，8 中取 1 個數，從3，6，9 中取 1 個數