《《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解.doc（61頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場是電磁場的一種特珠形式。當(dāng)場源（電荷、電流）不隨時間變化時，所激發(fā)的電場、磁場也不隨時間變化，稱為靜態(tài)電磁場。靜止電荷產(chǎn)生的靜電場、在導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定運(yùn)動電荷形成的恒定電場以及恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場都屬于靜態(tài)電磁場。由麥克斯韋方程組可以看出，當(dāng)場量不隨時間變化時，電場矢量滿足的方程和磁場矢量滿足的方程是相互獨立的，也就是說在靜態(tài)情況下，電場和磁場是各自存在的，我們可以分別討論。本章將分別介紹靜電場、恒定電場和恒定磁場的分析方法，最后介紹靜電場邊值問題的解法。3.1 靜電場分析靜電場是靜止電荷激發(fā)的，是電磁場的一種重要的和特珠的形式。3.1.1 靜電場的

2、基本方程和邊界條件1 基本方程考慮到電磁場的源量（靜止電荷q）和場量（E、D）不隨時間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出靜電場的基本方程為積分形式微分形式以及 （3.1.5）基本方程表明靜電場是有源（通量源）無旋場，靜止電荷是產(chǎn)生靜電場通量源；電力線（E線）從正的靜止電荷發(fā)出，終于負(fù)的靜止電荷。2. 邊界條件在兩種電介質(zhì)的分界面上，電場強(qiáng)度滿足以下關(guān)系式 或 （3.1.6）表明電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。電位移矢量滿足的關(guān)系式是 或 （3.1.7）表明在兩種媒質(zhì)的分界面上存在自由面電荷分布時，電位移矢量的法向分量是不連續(xù)的。若分界面上不存在面電荷，即，則 或 （3.1.8）此時，在分界面上，D

3、的法向分量是連續(xù)的。式（3.1.8）可改寫為可見，當(dāng)時E的法向分量是不連續(xù)的，這是因為分界面上存在束縛電荷密度。3.1.2 電位函數(shù)1. 電位和電位差由靜電場的基本方程和矢量恒等式可知，電場強(qiáng)度矢量E可以表示為標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 （3.1.9）式中的標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的電位函數(shù)，簡稱為電位，單位為V（伏特）。此式適用于任何靜止電荷產(chǎn)生的靜電場，即靜電場的電場強(qiáng)度矢量等于負(fù)的電位梯度。對于點電荷的電場考慮到以下梯度運(yùn)算結(jié)果則有與式（3.1.9）比較，可得到點電荷q產(chǎn)生的電場的電位函數(shù)為 （3.1.10）式中為任意常數(shù)。應(yīng)用疊加原理，根據(jù)式（3.1.10）可得到點電荷系、線電荷、面電荷以及體電荷產(chǎn)

4、生的電場的電位函數(shù)分別為 （3.1.11） （3.1.12） （3.1.13） （3.1.14）通常用等位面形象地描述電位的空間分布。例如，點電荷電場的等位面是同心球面族。根據(jù)和標(biāo)量函數(shù)梯度的性質(zhì)可知，E線垂直于等位面，且總是指向電位下降最快的方向。若已知電荷分布，則可利用式（3.1.11）（3.1.14）求得電位函數(shù)，再利用求得電場強(qiáng)度。這樣做比直接求要簡單些。在的兩端點乘，得對上式兩端從點P到點Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得可見，點P、Q之間的電位差的物理意義是把一個單位正電荷從點P沿任意路徑移動到點Q的過程中，電場力所做的功。為了使電場中每一點電位具有確定的值，必須選定場中某一固定點作為電位參

5、考點，即規(guī)定該固定點的電位為零。例如，若選定Q點為電位參考點，即規(guī)定，則P點的電位為 （3.1.15）若場源電荷分布在有限區(qū)域，通常選定無限遠(yuǎn)處為電位參考點，此時 （3.1.16）2. 靜電位的微分方程在均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中，是一個常數(shù)。因此將代入中，得故得 （3.1.17）即靜電位滿足標(biāo)量泊松方程。若空間內(nèi)無自由電荷分布，即，則滿足拉普拉斯方程 （3.1.18）在通過解泊松方程或拉普拉斯方程求時，需應(yīng)用邊界條件來確定常數(shù)。下面介紹電位的邊界條件。設(shè)和是介質(zhì)分界面兩側(cè)、緊貼分界面的相鄰兩點，其電位分別為和。由于在兩種介質(zhì)中E均為有限值，當(dāng)和都無限貼近分界面，即其間距時，。因此，分界面兩

6、側(cè)的電位是相等的，即 （3.1.19）又由可導(dǎo)出 （3.1.20）若分界面上不存在自由面電荷，即，則上式變?yōu)?（3.1.21）若第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，因達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)體內(nèi)部的電場為零，導(dǎo)體為等位體，故導(dǎo)體表面上，電位的邊界條件為 （3.1.22）例3.1.1 求如圖2.2.3所示電偶極子的電位解 空間任一點處的電位等于兩個點電荷的電位疊加，即式中，對遠(yuǎn)離電偶極子的場點，則 故得 （3.1.23）應(yīng)用球面坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度 （3.1.24）顯然，此處的運(yùn)算要比例2.2.1中直接計算電場強(qiáng)度E要簡單得多。例3.1.2 求均勻電場的電位分布。解 選定均勻電場空間中的一點o

7、為坐標(biāo)原點，而任意點P的位置矢量為r，則若選擇點o為電位參考點，即，則在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有在圓柱面坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，則有例3.1.3 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為的均勻電荷分布，如圖3.1.1所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程obaxy圖3.1.1 兩塊無限大平行板方程的解為利用邊界條件，得處，處，于是有由此解得最后得3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，它是描述導(dǎo)體系

8、統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。我們定義兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為任一導(dǎo)體上的總電荷與兩導(dǎo)體之間的電位差之比，即 （3.1.25）電容的單位是F（法拉）。電容的大小與電荷量、電位差無關(guān)，因為該比值為常數(shù)。電容的大小只是導(dǎo)體系統(tǒng)的物理尺度及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)的函數(shù)。本節(jié)介紹雙導(dǎo)體系統(tǒng)的電容計算及多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容的概念。1雙導(dǎo)體的電容計算在電子與電氣工程中常用的傳輸線，例如平行板線、平行雙線、同軸線都屬于雙導(dǎo)體系統(tǒng)。通常，這類傳輸線的縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸。因而可作為平行平面電場（二維場）來研究，只需計算傳輸線單位長度的電容。其計算步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適的坐標(biāo)系；（2）假定兩導(dǎo)體上分別

9、帶電荷+q和-q；（3）根據(jù)假定的電荷求出E；（4）由求得電位差；（5）求出比值。圖3.1.2 平行雙線傳輸線例3.1.4 平行雙線傳輸線的結(jié)構(gòu)如圖3.1.2所示，導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線軸線相距為D，且，設(shè)周圍介質(zhì)為空氣。試求傳輸線單位長度的電容。解：設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間德平面上任一點P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故得平行雙線傳輸線單位長度的電容為 （3.1.26）圖3.1.3 同軸線b例3.1.5 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，如圖3.1.

10、3所示。試求同軸線單位長度的電容。解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定律求得內(nèi)外導(dǎo)體間任意點電場強(qiáng)度為內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為同軸線單位長度的電容 （3.1.27）2. 部分電容在工程應(yīng)用中，經(jīng)常遇到由三個或更多的導(dǎo)體系統(tǒng)組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)。譬如，計及大地作用的架空平行雙線傳輸線、耦合帶狀線、屏蔽多芯電纜等。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須將電容的概念推廣，引入部分電容的概念。所謂部分電容，是指多導(dǎo)體系統(tǒng)中，一個導(dǎo)體在其余導(dǎo)體的影響下，與另一個導(dǎo)體構(gòu)成的電容。圖3.1.4 多導(dǎo)體系統(tǒng)大地12N（1）電位系數(shù)圖3.1.

11、4表示N個導(dǎo)體和大地構(gòu)成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，各導(dǎo)體的位置、形狀及周圍介質(zhì)均是固定的，取大地為電位參考點（零電位點）。當(dāng)這個導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個導(dǎo)體上充以一電荷時，它將以一定的方式使所有導(dǎo)體（包括充以電荷的導(dǎo)體本身）具有一定的電位。由于電位與各導(dǎo)體所帶電荷量之間成線性關(guān)系，所以各導(dǎo)體的電位為 （3.1.28a）或表示為 （3.1.28b）式中的稱為電位系數(shù)。下標(biāo)相同的稱為自電位系數(shù)；下標(biāo)不同的稱為互電位系數(shù)。電位系數(shù)有以下特點：（a）在數(shù)值上等于第j個導(dǎo)體上的總電量為一個單位，而其余導(dǎo)體上的總電量都為零時，第i個導(dǎo)體上的電位。即（b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)

12、體的電位和帶電量無關(guān)；（c）所有電位系數(shù)，且具有對稱性，即。（2）電容系數(shù)對方程（3.1.28a）求解，可得各導(dǎo)體上的電荷量 （3.1.29a）或表示為 （3.1.29b）式中稱為電容系數(shù)或感應(yīng)系數(shù)。下標(biāo)相同的系數(shù)稱為自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)，下標(biāo)不同的系數(shù)稱為互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)。電容系數(shù)具有以下特點：（a）在數(shù)值上等于第j個導(dǎo)體的電位為一個單位、而其余導(dǎo)體接地時，第i個導(dǎo)體上的電量，即（b）只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；（c）具有對稱性，即；互電容系數(shù)，自電容系數(shù)；（d）電容系數(shù)與電位系數(shù)的關(guān)系為：式中是方程組（3.1.28）的電

13、位系數(shù)組成的行列式，是行列式的余子式。（3）部分電容引入符號和，則方程組（3.1.29）可改寫為 （3.1.30a）或表示為 （3.1.30b）上式表明多導(dǎo)體系統(tǒng)中的任何一個導(dǎo)體的電荷是由N部分電荷組成。例如，導(dǎo)體1的電荷的第一部分與導(dǎo)體1的電位（即導(dǎo)體1與地之間的電壓）成正比，比值是導(dǎo)體與地之間的部分電容；第二部分與導(dǎo)體1、2間的電壓成正比，比值則為導(dǎo)體1、2間的部分電容；。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體與地之間以及與其它導(dǎo)體之間都存在部分電容。是導(dǎo)體i與地之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i的自有部分電容。是導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間互有部分電容。部分電容有以下特點：（a）在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時，第個導(dǎo)體上總電荷量的值；（b）在數(shù)值上等于第個導(dǎo)體上的電位為一個單位、其余導(dǎo)體都接地時，第個導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的大??；（c）所有部分電容都大于零，即；（d）部分電容具有對稱性，即。大地1