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1、(完整word)余數(shù)問(wèn)題(ABC級(jí)).學(xué)生版余數(shù)問(wèn)題知識(shí)框架一、 帶余除法的定義及性質(zhì)1、 定義:一般地,如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b0），若有ab=qr，也就是abqr，0rb；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里:（1)當(dāng)時(shí):我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包,那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了c捆,那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù).這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)

2、系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小.2、 余數(shù)的性質(zhì) 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù);除數(shù)（被除數(shù)余數(shù))商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)； 余數(shù)小于除數(shù)二、 三大余數(shù)定理：1. 余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí),所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù).例如:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22. 余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23,

3、16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個(gè)余數(shù)差3 12.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4,兩個(gè)余數(shù)差為35443. 余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù),等于a，b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù).例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于313.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如:23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2.乘方:如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么與除以m的余

4、數(shù)也相同三、 棄九法原理在公元前9世紀(jì),有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米,寫有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行,由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的:例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理,即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余

5、數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí),常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了,在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所 以這種方法被稱作“棄九法。所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù),只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和,再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加,對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確.例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算

6、式是錯(cuò)誤的。但是反過(guò)來(lái),如果一個(gè)算式一定是正確的,那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式謎問(wèn)題。四、 同余定理1、 定義:若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余,用式子表示為:ab （ mod m ）,左邊的式子叫做同余式.同余式讀作:a同余于b，模m。2、 重要性質(zhì)及推論：(1)若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除例如：與除以的余數(shù)都是，所以能被整除（2)用式子表示為：如果有ab ( mod m ），那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m(ab）3、 余數(shù)判別法當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)

7、，雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很麻煩的建立余數(shù)判別法的基本思想是:為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)R，使得:N與R對(duì)于除數(shù)m同余由于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可以通過(guò)計(jì)算R被m除的余數(shù)來(lái)求得N被m除的余數(shù)1) 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)；2) 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；3) 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù);4) 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；5) 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù);（不夠減的

8、話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）;6) 整數(shù)N被7,11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié),奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)重難點(diǎn)理解余數(shù)性質(zhì)時(shí)，要與整除性聯(lián)系起來(lái)，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了在一些題目中因?yàn)橛鄶?shù)的存在,不便于我們計(jì)算，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問(wèn)題,那么問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了例題精講【例 1】 除以一個(gè)兩位數(shù),余數(shù)是求出符合條件的所有的兩位數(shù)【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)?！纠?2】 有一個(gè)三位數(shù)，其中個(gè)位上的數(shù)是百位上的數(shù)的3倍。且這個(gè)三位數(shù)除以

9、5余4,除以11余3.這個(gè)三位數(shù)是_ 【鞏固】 一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍,這個(gè)自然數(shù)是_?！纠?3】 甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)【鞏固】 當(dāng)1991和1769除以某個(gè)自然數(shù)n，余數(shù)分別為2和1那么，n最小是多少?【例 4】 除以13所得余數(shù)是_?！眷柟獭?除以41的余數(shù)是多少？【例 5】 著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？【鞏固】 有一列數(shù)：1，3，9，25，69,189，517，其中第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是3,從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面

10、兩個(gè)數(shù)之和的2倍再加上1，那么這列數(shù)中的第2008個(gè)數(shù)除以6，得到的余數(shù)是 【例 6】 將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次寫成一個(gè)多位數(shù)：A135791113151719219799101103。則數(shù)a共有_位，數(shù)a除以9的余數(shù)是_.【鞏固】 將依次寫到第1997個(gè)數(shù)字,組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _【例 7】 有一個(gè)整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50，那么這個(gè)整數(shù)是_【鞏固】 用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個(gè)余數(shù)之和為25，那么n=_【例 8】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個(gè)數(shù),使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3【鞏

11、固】 求除以17的余數(shù)【例 9】 求的所有自然數(shù)中,有多少個(gè)整數(shù)a使與被7除余數(shù)相同？【鞏固】 今天是星期四，天之后將是星期幾?【例 10】 除以7的余數(shù)是多少？【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【例 11】 3個(gè)三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對(duì)時(shí),發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤,但是知道最后一位6是正確的，問(wèn)原式中的是多少？【鞏固】 有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù),積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10,第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8，求兩個(gè)三位數(shù)的和?！纠?12】 某個(gè)兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，這個(gè)兩位數(shù)是_. 【鞏固】 有一個(gè)自然數(shù)

12、，除345和543所得的余數(shù)相同,且商相差33求這個(gè)數(shù)是多少？【例 13】 有一個(gè)大于1的整數(shù),除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【鞏固】 有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問(wèn)這個(gè)整數(shù)是幾？【例 14】 一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個(gè)自然數(shù)和的值. 【鞏固】 有3個(gè)吉利數(shù)888,518，666,用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a，a+7,a+10,則這個(gè)自然數(shù)是_.【例 15】 一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？【鞏固】 一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1,除以5余2,除以11余7,問(wèn)滿足條

13、件的最小自然數(shù)是多少？課堂檢測(cè)【隨練1】 除以某個(gè)整數(shù)后所得的商恰好是余數(shù)的倍，那么除數(shù)最小可能是 .【隨練2】 的余數(shù)是多少？【隨練3】 有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是10，從第三個(gè)數(shù)開始,每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和,那么第1997個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少?【隨練4】 商店里有六箱貨物，分別重15，16,18，19，20，31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克【隨練5】 求的最后兩位數(shù)家庭作業(yè)【作業(yè)1】 在大于2009的自然數(shù)中，被57除后，商與余數(shù)相等的數(shù)共有_個(gè)?！咀鳂I(yè)2】 有三個(gè)自然數(shù),已知除以，得商3余3；除以，得商9余11.則除以,得到的余數(shù)是 .【作業(yè)3】 有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【作業(yè)4】 已知,問(wèn)：除以13所得的余數(shù)是多少？【作業(yè)5】 有48本書分給