《高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第四節(jié)定積分的換元法積分法和分部積分法.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第四節(jié)定積分的換元法積分法和分部積分法.doc（7頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié) 定積分的換元法積分法和分部積分法 從上節(jié)微積分學(xué)的基本公式知道,求定積分的問題可以轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在區(qū)間上的增量問題. 從而在求不定積分時(shí)應(yīng)用的換元法和分部積分法在求定積分時(shí)仍適用,本節(jié)將具體討論之,請讀者注意其與不定積分的差異.分布圖示 定積分換元積分法 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 定積分的分部積分法 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 例18 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題5-4 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、定積分換元積分法定理1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件：（1） 且；（2）在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有. (4.1)公式(4.1)稱為

2、定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似. 但是,在應(yīng)用定積分的換元公式時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）用把變量x換成新變量t時(shí), 積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限,且上限對應(yīng)于上限,下限對應(yīng)于下限；（2） 求出的一個(gè)原函數(shù)后,不必象計(jì)算不定積分那樣再把變換成原變量x的函數(shù),而只要把新變量t的上、下限分別代入然后相減就行了. 二、定積分的分部積分法 或 .例題選講定積分換元積分法例1(E01) 計(jì)算 .解 令則注: 本例中，如果不明顯寫出新變量則定積分的上、下限就不要變，重新計(jì)算如下:例2(E02) 求定積分解 令則00由換元積分公式得 注: 在第一節(jié)的課堂練習(xí)中，我們曾利用定積

3、分的幾何意義解本題并得到相同的結(jié)果.例3 (E03) 求定積分.解 例4 (E04) 求定積分.解 令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而例5 (E05) 當(dāng)在上連續(xù), 則(1) 當(dāng)為偶函數(shù),有 ;(2) 當(dāng)為奇函數(shù),有 .證 在上式右端第一項(xiàng)中令則(1)當(dāng)為偶函數(shù)，即(2)當(dāng)為奇函數(shù)，即例6 (E06) 計(jì)算 .解 因?yàn)榉e分區(qū)間對稱于原點(diǎn)，且為偶函數(shù),為奇函數(shù)，所以例7 計(jì)算解 原式偶函數(shù) 奇函數(shù) 單位圓的面積例8 (E07) 若在0, 1上連續(xù), 證明(1) (2) 由此計(jì)算 證 (1) 設(shè) (2) 設(shè)定積分的分部積分法例9 (E08) 計(jì)算解 令則例10 (E09) 計(jì)算定積分.解 例11 求解 由分部積

4、分公式得再用一次分部積分公式得從而例12 (E10) 計(jì)算 .解 令則當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 于是有再使用分部積分法，令則從而例13 (E11) 計(jì)算定積分 .解 因?yàn)樵谏显谏纤詰?yīng)分兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分，于是例14 已知 求.解 令則故所以例15 (E12) 已知滿足方程求.解 設(shè)則有積分得或所以或例16 (E13) 導(dǎo)出(為非負(fù)整數(shù))的遞推公式.解 易見當(dāng)時(shí)從而得到遞推公式反復(fù)用此公式直到下標(biāo)為 0 或 1，得其中為自然數(shù).注: 根據(jù)例8的結(jié)果，有例17 利用上題結(jié)論計(jì)算00解 令則于是 例18 求函數(shù)在上的最大值與最小值.解 令得駐點(diǎn)且在是恒大于0,故在上單調(diào)增加.當(dāng)時(shí), 取最小值，最小值為 當(dāng)時(shí), 取最大值，最大值為即最大值最小值課堂練習(xí)1.計(jì)算定積分.2.設(shè)在0, 1上連續(xù), 且求