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1、第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 根據(jù)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題，關(guān)鍵在于如何求得二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解. 本節(jié)和下一節(jié)討論二階線性方程的一個(gè)特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其解法. 本節(jié)先討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法.分布圖示 二階常數(shù)系數(shù)齊次線性方程的解法 例1 例2 例3 階常數(shù)系數(shù)線性微分方程的解法 例4 例5 例6 例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題76 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法 (6.1)特征方程 (6.2)稱特征方程的兩個(gè)根為特征根.這種根據(jù)二階常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根直接確定其通解的方法

2、稱為特征方程法.二、 n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為 (6.6)其特征方程為 (6.7) 根據(jù)特征方程的根，可按下表方式直接寫出其對(duì)應(yīng)的微分方程的解:注: n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù). 這樣就得到階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為例題選講二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法例1（E01）求方程的通解.解 所給微分方程的特征方程為其根是兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此所求通解為例2（E02）求方程的通解.解 特征方程為解得故所求通解為例3（E03）求方程的通解.解 特征方程為解得故所求通解為n階常系數(shù)齊次線

3、性微分方程的解法例4（E04）求方程的通解.解 特征方程為即特征根是和因此所給微分方程的通解為例5求方程的通解, 其中解 特征方程為由于特征方程為特征根為因此所給方程的通解為例6 求下列微分方程的通解. (1) (2)解 特征方程為即特征根通解為 (2) 特征方程為即特征根通解為例7（E05）已知一個(gè)四階常系數(shù)齊次線性微分方程的四個(gè)線性無關(guān)的特解為求這個(gè)四階微分方程及其通解.解 由與可知，它們對(duì)應(yīng)的特征根為二重根由與可知，它們對(duì)應(yīng)的特征根為一對(duì)共軛復(fù)根所以特征方程為即它所對(duì)應(yīng)的微分方程為其通解為課堂練習(xí)1.求解下列二階常系數(shù)齊次線性微分方程：(1) ；(2) ；(3) 2.求方程的通解.3.求微分方程的通解.