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1、21.2.321.2.3因式分解法因式分解法知識點知識點因式分解法先因式分解,使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名師解讀:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:將方程的右邊化為零;將方程的左邊分解為兩個關(guān)于未知數(shù)的一次因式的積;令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;解這兩個一元一次方程,得出它們的解,它們的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也適合于一元“高次”(次數(shù)大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.知識點例1方程x2-5x+6=0的兩個根是()A.-1,-6B.

2、2,3C.-2,-3D.1,6解析:觀察方程的特點,可以用配方法和公式法求解,但是發(fā)現(xiàn)方程的右端為0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進行分解,表示成兩個一次式的乘積,因此可以使用因式分解法求解.x2-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,x1=2,x2=3.答案:B知識點因式分解法解一元二次方程的理論根據(jù)是如果兩個因式的積等于零,那么,這兩個因式至少要有一個等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來說,能用因式分解法求解的一元二次方程應盡量用因式分解法,這種方法快速、方便,準確率高,當使用因式分解法比較困難時,再考慮運用公式法等.知識點

3、例2解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程變形后,提取公因式可化為積的形式,然后利用“兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0”轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解;(2)方程左邊能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進行因式分解.知識點解:(1)方程變形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知識點利用因式分解法解一元二次方程時,先考慮提公因式法,再考慮公式法,只要能把方程的右邊化為0,左邊變成兩個一

4、次式的乘積即可.同時特別注意方程兩邊不能同除以含有未知數(shù)的式子(有可能為零).拓展點一拓展點二拓展點一靈活地選擇方法解一元二次方程例1解方程:3x(x-1)=1-x.分析:觀察方程,方程右邊的“1-x”如果移到方程左邊,則變?yōu)椤皒-1”,此時有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移項,得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,x-1=0或3x+1=0,x1=1,拓展點一拓展點二當一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,或方程的各項中有含有未知數(shù)的一次式的公因式時,應選用因式分解法求解.由于因式分解法是把一個一元二次方程化為兩個

5、一元一次方程,它充分體現(xiàn)“降次”在解題中的作用.拓展點一拓展點二例2方程(x+3)2=25的根是()A.5,-5B.2,-2C.8,2D.-8,2解析:觀察原方程,方程的左邊是(x+3)的完全平方式,右邊是一個非零常數(shù)25,宜選用直接開平方法.兩邊開平方,得x+3=5,x=5-3,x1=-8,x2=2.答案:D拓展點一拓展點二形如(x+m)2=n(n0)的一元二次方程,一般適宜用直接開平方法求解.拓展點一拓展點二例3解方程:x2-2x-11=0.分析:本題若用因式分解法或直接開平方法都有一定的困難,但仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)是“1”,一次項系數(shù)是偶數(shù),可選用配方法求解.解:移項,得x2-2x

6、=11,方程兩邊都加上12(一次項系數(shù)一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,拓展點一拓展點二配方法適合于解任何一元二次方程,特別適合于一次項系數(shù)的絕對值是二次項系數(shù)的絕對值的2倍的方程.拓展點一拓展點二例4解方程:4x2-6x-3=0.分析:本題的各項系數(shù)沒有什么明顯的特點,利用上述三種方法解都比較麻煩,所以考慮使用公式法求解.解:a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-44(-3)=84,拓展點一拓展點二 當所求解的一元二次方程沒有明顯的簡便解法時,就選擇公式法,公式法適用于求解任何一元二次方程.綜上所述,因式分解法和直接開平方法雖然簡便,但并非所有的

7、方程都可使用;配方法適用于任何一個一元二次方程,但過程比較麻煩;而公式法是在配方法的基礎(chǔ)上,利用其導出的求根公式直接求解,比配方法簡單得多,但又不如直接開平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程時,要注意方法的選擇,可參考如下原則:拓展點一拓展點二(1)當一元二次方程的左邊為完全平方式,右邊為非負數(shù)或者左右兩邊都是完全平方式時,可利用直接開平方法;(2)當一個方程的二次項系數(shù)為“1”,一次項系數(shù)為偶數(shù)時,適合用配方法;(3)當一元二次方程的兩邊有公因式或易于寫成左邊是兩個因式的積,右邊是0的形式時,易采用因式分解法來解;(4)在上述三種方法都不易求解的情況下,可利用公式法求解.拓展點一拓展點

8、二拓展點二利用“換元法”解可化為一元二次方程的方程例5解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:設x2-3x=y,則原方程可化為y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.當y=-2時,x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;當y=4時,x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根據(jù)以上材料,請解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通過閱讀可知,根據(jù)整體思想,利用“換元法”能解“可化為一元二次方程的一元高次方程”,此問題中,可以把“(2x2-3x)”看做一個整體,令(2x2-3x)=y,則原方程變?yōu)閥2+5y+4=0,先求得y的值,再進一步可求得原方程的解.拓展點一拓展點二解:設2x2-3x=y,原方程轉(zhuǎn)化為y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.當y1=-4時,2x2-3x+4=0,此方程無實數(shù)根.拓展點一拓展點二當所給出的方程比較“復雜”,或者不易直接求解時,可以利用“換元法”求解,利用換元法解方程的基本步驟為:(1)先選取換元的“基本單元”,將方程換元成“新方程”,注意換元后,僅含有新設的未知數(shù);(2)解新方程,得出新未知數(shù)的值;(3)將新未知數(shù)還原成“基本單元”,即還原成含原未知數(shù)的方程;(4)解所還原后的幾個方程,得到原方程的解.