《22曉千老師基礎(chǔ)通關(guān)班 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) (2).pdf》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《22曉千老師基礎(chǔ)通關(guān)班 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) (2).pdf（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師1第第三三章章 一一元元函函數(shù)數(shù)積積分分學(xué)學(xué)第第一一節(jié)節(jié) 不不定定積積分分整體替代換萬(wàn)能代換倒代換指數(shù)代換根式代換三角代換換元法分部積分法湊微分法不定積分的計(jì)算一、不定積分的概念1、原函數(shù)的定義：若對(duì)Ix，都有)()(xfxF，則稱(chēng))(xF為)(xf的原函數(shù)。2、不定積分的定義：若)(xF為)(xf的原函數(shù)，則CxFdxxf)()(。3、不定積分的性質(zhì)：（1）dxfkdxfkdxfkfk22112211)(；（2）Cxfdxxfxdf)()()(；例如：Cedexx。（3）)()(xfdxxf，dxxfdxxfd)()(。例 1：求dxex。二、基本積

2、分公式（1）冪函數(shù)：Cxdxx111（特別地，當(dāng)-1時(shí)，Cxxdxln）。（2）指數(shù)函數(shù)：Caadxaxxln（特別地，當(dāng)ea 時(shí)，Cedxexx）。（3）三角函數(shù)：1、；Cxxdxcossin2、；Cxxdxsincos3、；Cxxxddxxxxdxcoslncoscoscossintan4、；Cxxxddxxxxdxsinlnsinsinsincoscot考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師25、；Cxxdxxxxxxxdxtanseclntansec)tan(secsecsec。、Cxxxxxxddxxxxxxxdxcotcsclncotcsc)cot(csc)cot(csc)co

3、t(csccsccsc6（4）原函數(shù)為三角函數(shù)：。；CxxdxxCxxdxxCxxdxCxxdxcsccotcscsectanseccotcsctansec22（5）原函數(shù)為反三角函數(shù)：Cxxdxarcsin12。*推廣：Caxaxdaxdxaxadxarcsin)(1)0(222。例如：Cxxdx2arcsin22；Cxxdxarctan12。*推廣：Caxaaxdaxaaxdxaxadxarctan1)()(111)(1122222。例如：Cxxdx2arctan2122。（6）。CxxCxxdxxxxdx11ln211ln1ln21)1111(2112*推廣：。CxaxaaCxaxaad

4、xxaxaaxadxln21lnln21)11(2122例如：。Cxxxdx22ln22122Caxxaxdx)ln(72222）（?？伎佳醒袛?shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師3證明：由于，222222221)221(1)ln(axaxxaxxaxx故Caxxaxdx2222-ln-三、湊微分（適用情況：u 的函數(shù)與 u 的導(dǎo)數(shù)的乘積）定理：)(uF為)(uf的原函數(shù)，)(xuu 可導(dǎo)，則。CxuFxudxufdxxuxuf)()()()()(證明：。)()()(xuxufxuF例如：Cedeedxeedxexxxxexexexe（反過(guò)來(lái)可證，xexeexxxeeee)(）。例 2：求 dxx

5、x132。提示：Cuduuduu232132。例 3：求dxexx121。例 4：求dxxex3。例 5：求)4(xxdx。例 6：求)ln21(xxdx。例 7：求xdx3sin例 8：求xdx4cos。注：降冪公式：。22cos1cos,22cos1sin22xxxx二倍角公式：。xxxxx2222sin211cos2sincos2cos推廣：xdxnsin，xdxncos。若 n 為奇數(shù)時(shí)，直接用湊微分法：n 為偶數(shù)時(shí)，先降冪。例 9：求xdx4csc?？伎佳醒袛?shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師4四、分部積分法1、若)(),(xvxu可導(dǎo)，則vduuvudv。證明：Cxvxudxxvxu

6、dxxvxuxvxudxxvxudxxvxu)()()()()()()()()()()()(。注：分部積分法用于反、對(duì)、冪、指、三（三、指）兩類(lèi)函數(shù)乘積，用排列靠后的去湊微分看做v，其余看做u。例 10：求。dxexx2例 11：求xdx3sec。例 12：求。xdxexsin備注：當(dāng)做同一道題需要用多次分部積分法時(shí)，每次用來(lái)湊微分的函數(shù)必須同一個(gè)，中途不能換，如剛開(kāi)始選三角函數(shù)就一直用三角函數(shù)，剛開(kāi)始選指數(shù)函數(shù)就一直用指數(shù)函數(shù)。推廣：形如xdxexdxexxcos,sin求解是用的方法和需要注意的都與例題一樣，這類(lèi)積分叫做循環(huán)積分。五、換元法若)(tx可導(dǎo)，)0(0)(或t，且CtFdttt

7、f)()()(，則CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1。注：換元法找的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)樽詈笫且蠓春瘮?shù)的，只有單調(diào)函有才有反函數(shù)。（一）三角代換（適合根號(hào)下平方和、差的形式）（1）22xa，令taxsin；（2）22xa，令taxtan；（3）22ax，令taxsec。例 13：求。dxxx251備注：由xt tan畫(huà)出三角形很容易得到2211cos,1sinxtxxt。（二）根式代換（適用于根號(hào)下一次方的形式）考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師5（1）tbaxn；（2）；tdcxbaxn（3）nbax與mbax，令tbaxl，其中l(wèi)為nm,的最小公倍數(shù)。例 1

8、4：求。dxxx1ln（三）指數(shù)代換（適用于指數(shù)有理式的形式）令tax，則txalog，特別地，令tex，則txln。例 15：求。xedx1（四）倒代換（適用于分母次數(shù)比較高的時(shí)候）令tx1。例 16：求)2(7xxdx。（三）萬(wàn)能代換（三角有理式）令tx2tan，則txarctan2。萬(wàn)能公式：xxxxxx222tan1tan12cos,tan1tan22sin，從而22211cos,12sinttxttx。例 17：求xdxsin1。（四）整體代換（適用于復(fù)雜函數(shù)）令（1）texarcsin；（2）texarctan。備注：這兩種代換形式是真題里出現(xiàn)過(guò)的。例 18：dxeexxarcsi

9、n。六、有理函數(shù)的不定積分定義：形如被積函數(shù))()()(xQxPxfnm，即dxxQxPnm)()(?？伎佳醒袛?shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師6其中分子是 x 的 m 次多項(xiàng)式，分母是 x 的 n 次多項(xiàng)式，m,n 為自然數(shù)且 mn，（方法：高幾次，提出幾次）例如：Cxxxxddxxdxxxxxdxxx)1ln(21211)1(211)1(122222223。有理函數(shù)的不定積分：方法：分母因式分解，分子待定系數(shù)例如：求)32()1(22xxxdx。解：)32()1(122xxx32)1(132)1(22221xxDCxxBxAxxDCxxBAx。例 19：求dxxxx13652例 20：求2

10、)1(xxdx。第二節(jié) 定積分定積分的計(jì)算討論以下幾方面的內(nèi)容幾何意義三角公式周期性奇偶性換元法分部積分湊微分定積分計(jì)算一、定積分概念1、定積分定義：將區(qū)間a,b任意分成n個(gè)子區(qū)間，各區(qū)間的長(zhǎng)度依次是),2,1(nixi，在每個(gè)子區(qū)間中任取一點(diǎn)),2,1(nii，作和式niiixf1)(。設(shè)是最大的區(qū)間長(zhǎng)度，如果當(dāng)0時(shí)，積分和的極限存在，則這個(gè)極限niiixf10)(lim叫做函數(shù))(xf在區(qū)間a,b的定積分。2、幾何意義：考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師73、定積分性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：dxfkdxfkdxfkfkbababa22112211)(。（2）區(qū)間可加性：為任意常數(shù)。，c

11、dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(證明：假設(shè)cba,則。babccbbabccadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()()(（3）比較定理：對(duì)于任意,bax，若有)()(xgxf，則babadxxgdxxf)()(。推論：,bax，若有0)(xf，則0)(badxxf。babadxxfdxxf)()(，例如：。2020sinsinxdxdxx（4）估值定理：)(xf在a,b上連續(xù)，且最大值為 M，最小值為 m，則。)()()(abMdxxfabmba（5）中值定理：I）一般形式積分中值定理：若)(xf在a,b上連續(xù)，則,ba，使得)()(abfdxxf

12、ba。幾何意義：II）加強(qiáng)形式積分中值定理：若)(xf在a,b上連續(xù)，則),(ba，使得。)()(abfdxxfba考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師8證明：令xadttfxF)()(，由拉氏定理知，),(ba，使得)()()(abFaFbF，即)()()(abfdxxfdxxfaaba，則結(jié)論成立。（6）廣義積分中值定理若)(),(xgxf在a,b上連續(xù)，)(xg不變號(hào)，則,ba，使得。babadxxgfdxxgxf)()()()(證 明：由 最 值 定 理，)(xf存 在 最 大 值 為 M，最 小 值 為 m。不 妨 設(shè)0)(xg，則)()()()(xgMxgxfxgm。由比較定

13、理，知，bababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(從而Mdxxfdxxgxfmbaba)()()(。再由介值定理，知,ba，使babadxxgdxxgxff)()()()(，故。babadxxgfdxxgxf)()()()(例1：求。1021limdxxxnn例2：求1sinlimnnndxxx。二、Newton-Leibniz 公式)(xf在a,b上連續(xù)，)(xF為)(xf的原函數(shù)，則。)()()()(aFbFxFdxxfbaba證明：CdttfxFxa)()(，則。babaaabadxxfdttfCdttfCdttfaFbF)()()()()()(三、湊微分若)(uF為)

14、(uf的原函數(shù)，)(xuu 在,ba上可導(dǎo)，則。)()()()()()()(auFbuFxuFxduxufdxxuxufbababa考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千千老老師師9四、分部積分法)(),(xvxu在,ba上可導(dǎo)，則bababavduvuudv。五、換元法)(xf在a,b上連續(xù)，)(tx在),(,或上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且ba)(,)(，)(t的值域,baR，則dtttfdxxfba)()()(。證明：設(shè))(xF為)(xf的原函數(shù)，由 N-L 公式知)()()(aFbFdxxfba，且，)()()()()()()()()(aFbFFFtFtdtft dttf故dtttfdxxfba)()(

15、)(。例3（2008）：求定積分1021arcsindxxxx六、奇偶性。為奇函數(shù)，為偶函數(shù))(0)(,)(2)(0 xfxfdxxfdxxfaaa例4：求定積分112211sin2dxxxx。例5：求定積分1022dxxx。七、周期性若)(xf以 T 為周期，則a，有TTaadxxfdxxf0)()(。證明：aTTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00aaadxxfdttfdttTftTx000)()()(。例6：求定積分。ndxx02sin1例7：若2sinsin)(xxttdtexF，則)(xF為八、三角公式（1）Wallis 公式考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)主主講講：曉曉千

16、千老老師師10為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnnnnnnnxdxxdxnn,32231,221231cossin2020證明：202022022202220120120sin)1(sin)1(sin)sin1()1(sincos)1(cossincossinsinxdxnxdxndxxxndxxxnxxxxdxdxInnnnnnnn得2)1(nnInnI，故。為奇數(shù)為偶數(shù)nInnnnnInnnnInnnnInnInnn,32231,2123123111042其中，。1sin,2201200 xdxIdxI（2）。2000)(sin)(sin2)(sindxxfdxxfdxxxf證明：補(bǔ)充區(qū)間再現(xiàn)換元法。bababaabtbaxbadxxbafxfdxxbafdttbafdttbafdxxf)()(21)()()()(，00000)(sin)(sin)(sin)()(sin()()(sindxxxfdxxfdttftdttftdxxxftx故。00)(sin2)(sindxxfdxxxf例8：求定積分04sin xdxx。第三節(jié) 變限積分一、變限積分（函數(shù)）定義：設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上且x為,