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1、2021屆全國(guó)新高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)空間向量的應(yīng)用考法2 證明垂直考法1 證明平行 考法3 線面角 專題綜合考法訓(xùn)練考法4 二面角 u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 n專題綜合 考法訓(xùn)練考法1 證明平行1利用向量證明線面平行，主要有兩條途徑：(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(2)利用向量平行的條件證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量是平行向量2利用向量證明面面平行，主要有兩條途徑：(1)證明兩個(gè)平面的法向量互相平行；(2)轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行問題u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 遼寧沈陽2019模擬如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，B

2、ECF，BCF90，AD ，BE3，CF4，EF2.求證：AE平面DCF.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 【證明】平面ABCD平面BEFC，DC平面ABCD，且DCBC，DC平面BEFC.以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF，CD所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)ABa，則C(0，0，0)，A(，0，a)，B(，0，0)，E(，3，0)，F(xiàn)(0，4，0)，D(0，0，a)，又CDCFC，CB平面CDF.CBAE.又AE平面CDF，AE平面DCF.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 廣西南市2019模擬如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1

3、中，ACBC，AC1，BC2，AA14，M為側(cè)面AA1C1C的對(duì)角線的交點(diǎn)，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)求證：平面MDE平面A1BC1.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 【證明】根據(jù)題意以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則C(0，0，0)，A1(1，0，4)，B(0，2，0)，C1(0，0，4)，E(0，1，0)，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 1黑龍江哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2019期中如圖，在四棱錐SABCD中，側(cè)棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，且SAABBC2，AD1，M是棱S

4、B的中點(diǎn)求證：AM平面SCD.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 【證明】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，M(0，1，1)，(1，2，0)設(shè)平面SCD的法向量為n n(x，y，z)，得n n(2，1，1)，n n0，即 n n.AM平面SCD，AM平面SCD.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 2四川攀枝花2019第二次統(tǒng)考如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BAD90，ABCD，ADCD2AB，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)證明：平面APD平面BEF.u專題

5、專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 【證明】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB1，PA2t(t0)，則B(1，0，0)，E(1，1，t)，F(xiàn)(1，2，0)，設(shè)平面BEF的法向量為n n(x，y，z)，取x2，可得n n(2，0，0)又平面APD的一個(gè)法向量為m m(1，0，0)，m mn n，平面APD平面BEF.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 考法2 證明垂直1證明線線垂直首先找出兩條直線的方向向量，然后利用向量垂直的充要條件證明2證明直線與平面垂直(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；(2)轉(zhuǎn)化為證明直

6、線的方向向量與平面的法向量共線3證明平面與平面垂直(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量與另一個(gè)平面的法向量平行；(2)轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 江西南昌外國(guó)語學(xué)校2019適應(yīng)性考試如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB2，AD1，M為DC的中點(diǎn)將ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.求證：ADBM.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 【證明】取AM的中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)N，則ON，OA，OD兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系根據(jù)已知條件，得u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 安徽

7、蕪湖2019模擬如圖，已知圓柱OO1，底面半徑為1，高為2，ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D，其路徑最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線記為.將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(00)，則A(0，0，0)，B(2t，0，0)，C(2t，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，N(t，1，1)設(shè)n n(x1，y1，z1)為平面PCD的法向量，則取y11，則n n(0，1，1)設(shè)m m(x2，y2，z2)為平面ANB的法向量，則取y21，則m m(0，1，1)，所以m mn n0，所以平面ANB平面PCD.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 考法3 線面角利

8、用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 江西九江2019模擬如圖，已知四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為 的菱形，BAD60，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，DEACO，點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為O，F(xiàn)為棱PA上一點(diǎn)(1)求證：平面PED平面BCF；(2)若F為棱PA的中點(diǎn)，PO2，求直線CF與平面PAB所成角的正弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】PO平面A

9、BCD，BC平面ABCD，POBC.連接BD，依題意得BCD為等邊三角形，又E為棱BC的中點(diǎn)，BCDE.又PODEO，PO，DE平面PED，BC平面PED.又BC平面BCF，平面PED平面BCF.(2)【解】設(shè)ACBDQ，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QB，QC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，3，0)，P(0，1，2)，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m m(x，y，z)，令z2，得m m(，1，2)故直線CF與平面PAB所成角的正弦值為 .u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 湖南常德2019檢測(cè)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1

10、2，CC12 ，BAC120，O為線段B1C1的中點(diǎn)，P為線段CC1上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)C，C1)，Q為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且QPOP.(1)求證：平面A1PQ平面A1OP；(2)若BOPQ，求直線OP與平面A1PQ所成角的正弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】A1B1A1C12，O為線段B1C1的中點(diǎn)，A1OB1C1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知CC1平面A1B1C1，A1OCC1，而CC1B1C1C1，A1O平面CBB1C1，QPA1O.又QPOP，A1OOPO，QP平面A1OP.又QP平面A1PQ，平面A1PQ平面A1OP.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間

11、向量的應(yīng)用 (2)【解】過點(diǎn)O作O1OC1C交BC于O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1O，OC1，O1O所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，BAC120，OB1OC1 ，則O(0，0，0)，C1(0，0)，B1(0，0)，B(0，2 )，A1(1，0，0)，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 5河北衡水2019聯(lián)考如圖，三棱錐ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，ABD為等邊三角形，DB2，DC1，BC ，平面ABD平面BCD.(1)求證：DCBE；(2)求直線BE與平面ABC所成角的正弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量

12、的應(yīng)用 (1)【證明】DB2，DC1，BC ，DB2DC2BC2，BDDC.平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，DC平面ABD.又BE平面ABD.DCBE.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (2)【解】取BD中點(diǎn)F，連接AF，ABD為等邊三角形，AFBD.平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AF平面BCD.由BD2，知AF .過F點(diǎn)作FHCD，則FHBD，F(xiàn)H平面ABD.分別以FB，F(xiàn)H，F(xiàn)A所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz，則F(0，0，0)，B(1，0，0)，D(1，0，0)，A(0，0，)，C(1，1，0)設(shè)平面ABC的法

13、向量為n n(x，y，z)，設(shè)直線BE與平面ABC所成角為，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 6江西吉安2019模擬如圖，棱長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且BEBF ，將AED，DCF沿DE，DF折起，使得A，C兩點(diǎn)重合于P，設(shè)EF與BD交于M點(diǎn)，過點(diǎn)P作POBD于O點(diǎn)(1)求證：PO平面BFDE；(2)求直線MD與平面PDF所成角的正弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】在正方形ABCD中，BEBF，DEDF，B，D在EF的垂直平分線上，EFBD.PDPF，PDPE，PEPFP，PD平面PEF，EFPD.又EFBD，PDBD

14、D，EF平面PBD，EFPO.又POBD，EFBDM，PO平面BFDE.(2)【解】連接PM，由題可知M為EF的中點(diǎn)，PEPF，PMEF.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 如圖所示，過點(diǎn)O作與EF平行的直線為x軸，BD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 記直線MD與平面PDF所成角為，則u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 考法4 二面角利用向量法計(jì)算二面角的大小(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小(2

15、)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 湖南永州2019三模在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1底面ABC，ABC90，且側(cè)面ABB1A1為菱形(1)證明：A1B平面AB1C1；(2)若A1AB60，AB2，直線AC1與底面ABC所成角的正弦值為 ，求二面角A1AC1B1的余弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】四邊形ABB1A1是菱形，A1BAB1.平面ABB1A1平面ABC，平面ABB1A1平面ABCAB，BCAB，BC平

16、面ABB1A1，BCA1B.BCB1C1，A1BB1C1.又AB1B1C1B1，A1B平面AB1C1.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (2)【解】取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，易證BM平面ABC，且ABBC，以BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BM所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BCt，則A(2，0，0)，A1(1，0，)，C(0，t，0)u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 設(shè)平面AA1C1的法向量為n n1 1(x1，y1，z1)，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 四川2019第二次質(zhì)量檢測(cè)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側(cè)面B

17、CC1B1，ACAB1.(1)求證：平面ABC1平面AB1C；(2)若ABBC2，BCC160，求二面角BAC1B1的余弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】如圖，設(shè)BC1B1CG，連接AG.因?yàn)槿庵膫?cè)面BCC1B1為平行四邊形，所以G為B1C的中點(diǎn)，因?yàn)锳CAB1，所以AB1C為等腰三角形，所以B1CAG.又因?yàn)锳B側(cè)面BCC1B1，且B1C平面BCC1B1，所以ABB1C.又因?yàn)锳BAGA，所以B1C平面ABC1，又因?yàn)锽1C平面AB1C，所以平面ABC1平面AB1C.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (2)【解】由(1)知B1C平面ABC1，所以

18、B1CBC1.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 的方向?yàn)閤軸正方向，以 的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由B1CBC1易知四邊形BCC1B1為菱形，因?yàn)锳BBC2，BCC160，所以GBGC11，GCB1G .則可得G(0，0，0)，C1(1，0，0)，B1(0，0)，A(1，0，2)，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 7吉林長(zhǎng)春2019質(zhì)量檢測(cè)如圖所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E為CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置(P平面ABCE)(1)證明：平面POB平面ABCE；(2)若直線PB與平面ABCE所成

19、的角為 ，求二面角APEC的余弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】在等腰梯形ABCD中，易知DAE為等邊三角形，ODAE，OBAE，即在PAE中，OPAE，AE平面POB.又AE平面ABCE，平面POB平面ABCE.u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (2)在平面POB內(nèi)作PQOB，PQ平面ABCE.直線PB與平面ABCE的夾角為PBQ .OPOB，易知OPOB，即O，Q兩點(diǎn)重合，OP平面ABCE.以O(shè)為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 設(shè)平面PCE的法向量為n n1 1(x，y，z)，由題意得平面P

20、AE的法向量為n n2 2(0，1，0)，設(shè)二面角APEC的大小為，則由圖可知為鈍角，u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 8安徽六校2020屆聯(lián)考已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，側(cè)面ABB1A1底面ABC，D是BC的中點(diǎn)，B1BA60，B1DAB.(1)求證：ABC為直角三角形；(2)求二面角C1ADB的余弦值u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (1)【證明】取AB的中點(diǎn)O，連接OD，B1O，AB1.在ABB1中，ABB1B，B1BA60，ABB1是等邊三角形又O為AB的中點(diǎn)，B1OAB.又B1DAB，B1OB1DB1，且B1O，B1D平面B1OD，AB平面B1OD.OD平面B1OD，ABOD.又ODAC，ABAC，ABC為直角三角形u專題專題4 4空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 (2)【解】由(1)可知，OB，OD，OB1兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令A(yù)BACAA12，則C(1，2，0)，A(1，0，0)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，B1(0，0，)，二面角C1ADB為鈍二面角，二面角C1ADB的余弦值為 .敬請(qǐng)期待下一節(jié)!