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1、導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)16.3 角的平分線第十六章 軸對(duì)稱和中心對(duì)稱學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.（難點(diǎn)）2.能利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論并應(yīng)用.(重點(diǎn)）3.能利用尺規(guī)作出一個(gè)已知角的角平分線.導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.角平分線的概念 一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OBCA122.下圖中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是 .線段PC的長PlABCD3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點(diǎn)P到直線l2 2的距離的是 .AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1講授新課講授新課角平分線的性質(zhì)定理一如圖，任意作一個(gè)角AOB，作

2、出AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.PAOBCDEPD=PE作圖探究驗(yàn)證結(jié)論已知：如圖，AOC=BOC,點(diǎn)P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：PDOA,PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和和PEO中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP，PDO PEO(AAS).PD=PE.u 性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證

3、明線段相等.u應(yīng)用格式：OP 是AOB的平分線，PD=PE（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).知識(shí)要點(diǎn)PDOA,PEOB，BADOPEC判一判：（1）如圖，AD平分BAC（已知），=，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BD CDBADC(2)如圖，DCAC，DBAB （已知）.=,()在角內(nèi)任意一條線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BD CDBADC典例精析例1 已知：如圖，在ABC中，AD是它的角平分線且BD=CDB=C,DEAB,DFAC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到

4、DE=DF，再利用全等證明RtBDE RtCDF.ABCDEF證明：AD是BAC的角平分線，DEAB,DFAC，DE=DF,DEB=DFC=90.在RtBDE 和 RtCDF中，RtBDE RtCDF.EB=FC.BD=CD，B=C，DEB=DFC，角平分線性質(zhì)定理的逆定理二u角平分線性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.u應(yīng)用格式：PDOA,PEOB，PD=PE.點(diǎn)點(diǎn)P 在AOB的平分線上.典例精析 例2 如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易

5、市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為120000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O典例精析例3 已知：如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A B C P N M D E F A B C P N M 證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.想一想：點(diǎn)P在A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平

6、分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在A的平分線上.這說明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.用尺規(guī)作已知角的角平分線三 如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.ABMN NCO已知:AOB.求作：AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!動(dòng)手畫一畫作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB

7、于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .ABCD31.如圖，DEAB，DFBG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，EDB=60，則 EBF=度，BE=.60BFEBDFACG3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明AOC=BOC的依據(jù)是（）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMN NCOA4.如圖所示，已知ABC中，PEAB交BC于點(diǎn)E，PFAC交BC于

8、點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分BAC，并說明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距離與到PF的距離相等，點(diǎn)D在EPF的平分線上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 5.如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在DAE的平分線上 證明：過點(diǎn)F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于M.點(diǎn)F在BCE的平分線上，F(xiàn)GAE，F(xiàn)MBC.FGFM.又點(diǎn)F在CBD的平分線上，F(xiàn)HAD，F(xiàn)MBC，F(xiàn)MFH，F(xiàn)GFH.點(diǎn)F在DAE的平分線上.GHMABCFED課堂小結(jié)課堂小結(jié)角的平分線性 質(zhì)定 理一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等性質(zhì)定理的逆定理內(nèi) 容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上作 用判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上輔助線添加過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段見本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)課后作業(yè)