4空間圖形的基本關系與公理4.1空間圖形基本關系的認識4.2空間圖形的公理(公理1、2、3)線段線段有且只有有且只有垂線段垂線段主題主題1 1空間圖形基本關系的認識空間圖形基本關系的認識1.1.觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體有多少個頂點？多少觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體有多少個頂點？多少條棱？多少個面？棱所在的直線與這些面之間的位置條棱？多少個面？棱所在的直線與這些面之間的位置關系如何？關系如何？提示：提示：長方體有長方體有8 8個頂點、個頂點、1212條棱、條棱、6 6個面?zhèn)€面.有些面是有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直線與面平行，平行的，有些面是相交的；有些棱所在直線與面平行，有些棱所在直線與面相交，有些棱所在直線在平面內(nèi)有些棱所在直線與面相交，有些棱所在直線在平面內(nèi).2.2.觀察下面圖形，并回答問題觀察下面圖形，并回答問題.空間中點空間中點A A與直線與直線a a的位置關系是什么？點的位置關系是什么？點B B與直線與直線b b的的位置關系是什么？位置關系是什么？提示：提示：點點A A在直線在直線a a上，其位置關系可記作上，其位置關系可記作AaAa；點；點B B不在直線不在直線b b上，其位置關系可記作上，其位置關系可記作B B b.b.3.3.觀察下面圖形，并回答空間中點觀察下面圖形，并回答空間中點P P與平面與平面的位置的位置關系是什么？點關系是什么？點O O與平面與平面的位置關系是什么？的位置關系是什么？提示：提示：點點P P不在平面不在平面內(nèi)，可表示為內(nèi)，可表示為P P；點；點O O在平面在平面內(nèi)，可表示為內(nèi)，可表示為O.O.結(jié)論：結(jié)論：1.1.點與直線的位置關系點與直線的位置關系(1)(1)點點B B在直線在直線l上：上：_._.(2)(2)點點B B不在直線不在直線l上：上：_._.BBlB B l2.2.點與平面的位置關系點與平面的位置關系(1)(1)點點B B在平面在平面內(nèi)：內(nèi)：_._.(2)(2)點點B B不在平面不在平面內(nèi)：內(nèi)：_._.BBB B【對點訓練對點訓練】1.1.點點P P在直線在直線l上，而直線上，而直線l在平面在平面內(nèi)，用符號表示內(nèi)，用符號表示為為()A.PA.P l B.PB.PlC.PC.P lD.PD.Pl 【解析解析】選選D.D.直線和平面可看作點的集合，點是基本直線和平面可看作點的集合，點是基本元素元素.故選故選D.D.2.2.“直線直線a a經(jīng)過平面經(jīng)過平面外一點外一點M M”用符號語言可表示為用符號語言可表示為_._.【解析解析】用符號語言表示為用符號語言表示為MaMa，M M.答案：答案：MaMa，M M 主題主題2 2空間圖形的公理空間圖形的公理1.1.我們要畫一條直線只需找到幾個點就可確定這條直我們要畫一條直線只需找到幾個點就可確定這條直線？線？提示：提示：由于兩點確定一條直線，所以只需找兩點由于兩點確定一條直線，所以只需找兩點.2.2.生活中經(jīng)?？吹綔y量員用三角架支撐測量用的平板生活中經(jīng)?？吹綔y量員用三角架支撐測量用的平板儀；有的自行車后輪旁只安裝一只撐腳儀；有的自行車后輪旁只安裝一只撐腳.借助這些事借助這些事例歸納要確定一個平面需什么條件？例歸納要確定一個平面需什么條件？提示：提示：確定一個平面需經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個平面需經(jīng)過不在同一條直線上的三點.3.3.實際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：把一根直尺邊緣實際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：把一根直尺邊緣上的任意兩點放到桌面上，可以看到，直尺的整個邊上的任意兩點放到桌面上，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上緣就落在了桌面上.借助這一事例要說明直線在平面內(nèi)，借助這一事例要說明直線在平面內(nèi)，只需找直線上幾個點就可以？只需找直線上幾個點就可以？提示：提示：要說明直線在平面內(nèi)，只需找直線上兩個點在要說明直線在平面內(nèi)，只需找直線上兩個點在平面內(nèi)就可以平面內(nèi)就可以.4.4.我們看到各種棱柱、棱錐的每兩個相交的面之間的我們看到各種棱柱、棱錐的每兩個相交的面之間的交線都是直線段，試問如果兩個不重合的平面有一個交線都是直線段，試問如果兩個不重合的平面有一個公共點，是否有且只有一條通過這個點的公共直線呢公共點，是否有且只有一條通過這個點的公共直線呢？提示：提示：是是.結(jié)論：結(jié)論：1.1.公理公理1 1：過不在一條直線上的三點，：過不在一條直線上的三點，_一個平面一個平面(即可以確定一個平面即可以確定一個平面).).(1)(1)推論推論1 1：_確定一個平面確定一個平面.(2)(2)推論推論2 2：兩條：兩條_直線確定一個平面直線確定一個平面.(3)(3)推論推論3 3：兩條：兩條_確定一個平面確定一個平面.有且只有有且只有一條直線和直線外一點一條直線和直線外一點相交相交平行直線平行直線2.2.公理公理2 2：如果一條直線上的：如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)，在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)那么這條直線在此平面內(nèi).3.3.公理公理3 3：如果兩個不重合的平面有：如果兩個不重合的平面有_個公共點，個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線那么它們有且只有一條過該點的公共直線.兩點兩點一一【對點訓練對點訓練】1.1.下列命題：下列命題：書桌面是平面；書桌面是平面；有一個平面的長是有一個平面的長是50 m50 m，寬是，寬是20 m20 m；平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數(shù)平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數(shù)學概念學概念.其中正確命題的個數(shù)為其中正確命題的個數(shù)為 ()A.1A.1個個B.2B.2個個 C.3C.3個個 D.0D.0個個【解析解析】選選A.A.由平面的概念，可知只有由平面的概念，可知只有正確正確.2.2.下列圖形中，不一定是平面圖形的是下列圖形中，不一定是平面圖形的是 ()A.A.三角形三角形 B.B.菱形菱形C.C.梯形梯形 D.D.四邊相等的四邊形四邊相等的四邊形【解析解析】選選D.D.四邊相等的四邊形可能是空間四邊形，四邊相等的四邊形可能是空間四邊形，不一定是平面圖形不一定是平面圖形.類型一點、線共面問題類型一點、線共面問題【典例典例1 1】(1)(1)如果空間四點如果空間四點A A，B B，C C，D D不共面，那么不共面，那么下列判斷中正確的是下列判斷中正確的是()A.AA.A，B B，C C，D D四點中必有三點共線四點中必有三點共線B.AB.A，B B，C C，D D四點中不存在三點共線四點中不存在三點共線C.C.直線直線ABAB與與CDCD相交相交D.D.直線直線ABAB與與CDCD平行平行(2)(2)證明：兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平證明：兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面面.【解題指南解題指南】(1)(1)根據(jù)公理根據(jù)公理1 1進行判斷進行判斷.(2)(2)利用公理利用公理1 1及其推論證明及其推論證明.【解析解析】(1)(1)選選B.B.若若A A，B B，C C，D D四點中有三點共線，四點中有三點共線，則則A A，B B，C C，D D四點共面，若四點共面，若ABAB與與CDCD相交相交(或平行或平行)，則，則ABAB與與CDCD共面，即得共面，即得A A，B B，C C，D D四點共面四點共面.(2)(2)設這兩兩相交且不共點的三條直線分別為設這兩兩相交且不共點的三條直線分別為l1 1，l2 2，l3 3，且，且l1 1l2 2=A=A，l2 2l3 3=B=B，l1 1l3 3=C(=C(如圖所示如圖所示).).因為因為l1 1與與l2 2相交，所以相交，所以l1 1與與l2 2確定一平面確定一平面.因為因為BBl2 2，CCl1 1，所以，所以BB，CC，又又BBl3 3，CCl3 3，所以，所以l3 3 ，即兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面即兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面.【方法總結(jié)方法總結(jié)】證明點、線共面的方法證明點、線共面的方法(1)(1)定面：先由有關元素確定一個基本平面，再證明定面：先由有關元素確定一個基本平面，再證明其他的點其他的點(或線或線)在這個平面內(nèi)在這個平面內(nèi).(2)(2)證明兩面重合：先由部分點線確定平面，再由其證明兩面重合：先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然后證明這些平面重合他點線確定平面，然后證明這些平面重合.【跟蹤訓練跟蹤訓練】求證：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平求證：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi)面內(nèi).【證明證明】(1)(1)如圖所示，設直線如圖所示，設直線a a，b b，c c相交于點相交于點O O，直線直線d d和和a a，b b，c c分別相交于分別相交于A A，B B，C C三點，直線三點，直線d d和點和點O O確定平面確定平面，由，由OO平面平面，AA平面平面，OO直線直線a a，AA直線直線a a，知直線，知直線a a 平面平面.同理，同理，b b 平面平面，c c 平面平面，故直線，故直線a a，b b，c c，d d共面于共面于.(2)(2)如圖所示，設直線如圖所示，設直線a a，b b，c c，d d兩兩相交，且任兩兩相交，且任何三線不共點，交點分別是何三線不共點，交點分別是M M，N N，P P，Q Q，R R，G.G.由直線由直線ab=Mab=M，知直線，知直線a a和和b b確定平面確定平面.由由ac=ac=N N，bc=Qbc=Q，知點，知點N N，Q Q都在平面都在平面內(nèi)內(nèi).故故c c ，同理可證，同理可證d .d .所以直線所以直線a a，b b，c c，d d共面于共面于.【補償訓練補償訓練】判斷下列說法是否正確，并說明理由：判斷下列說法是否正確，并說明理由：一點和一條直線可確定一個平面；一點和一條直線可確定一個平面；經(jīng)過同一點的兩條直線可確定一個平面；經(jīng)過同一點的兩條直線可確定一個平面；兩兩相交的三條直線可確定一個平面；兩兩相交的三條直線可確定一個平面；首尾依次相接的四條線段在同一平面內(nèi)首尾依次相接的四條線段在同一平面內(nèi).【解析解析】不正確不正確.如果點在直線上，這時有無數(shù)個如果點在直線上，這時有無數(shù)個平面經(jīng)過該直線；如果點不在直線上，在已知直線上平面經(jīng)過該直線；如果點不在直線上，在已知直線上任取兩個不同的點，由公理任取兩個不同的點，由公理1 1知，有且只有一個平面知，有且只有一個平面經(jīng)過該點和直線，或直接由公理經(jīng)過該點和直線，或直接由公理1 1的推論的推論1 1知，有且只知，有且只有一個平面經(jīng)過該點和直線有一個平面經(jīng)過該點和直線.正確正確.經(jīng)過同一點的兩條直線是相交直線，由公理經(jīng)過同一點的兩條直線是相交直線，由公理1 1的推論的推論2 2知，有且只有一個平面知，有且只有一個平面.不正確不正確.三條直線可能交于同一點，也可能有三個三條直線可能交于同一點，也可能有三個不同的交點，如圖不同的交點，如圖(1)(1)、(2)(2)所示所示.前者，由公理前者，由公理1 1的推的推論論2 2知，可以確定一個或三個平面；后者，由公理知，可以確定一個或三個平面；后者，由公理1 1的的推論推論2 2及公理及公理2 2知，能確定一個平面知，能確定一個平面.不正確不正確.四邊形中三點可確定一個平面，而第四點四邊形中三點可確定一個平面，而第四點不一定在此平面內(nèi)，如圖不一定在此平面內(nèi)，如圖(3).(3).因此，這四條線段不一因此，這四條線段不一定在同一平面內(nèi)定在同一平面內(nèi).類型二點共線、線共點問題類型二點共線、線共點問題【典例典例2 2】如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E為為ABAB的中點，的中點，F(xiàn) F為為AAAA1 1的中點的中點.求證：求證：CECE，D D1 1F F，DADA三線交三線交于一點于一點.【解題指南解題指南】先證明其中兩條線交于一點，再說明該先證明其中兩條線交于一點，再說明該點在第三條直線上點在第三條直線上.【證明證明】連接連接EFEF，D D1 1C C，A A1 1B B，因為因為E E為為ABAB的中點，的中點，F(xiàn) F為為AAAA1 1的中點，的中點，所以所以EFEF A A1 1B.B.又因為又因為A A1 1B B D D1 1C C，所以所以EFEF D D1 1C C，所以所以E E，F(xiàn) F，D D1 1，C C四點共面，四點共面，可設可設D D1 1FCE=P.FCE=P.又又D D1 1F F 平面平面A A1 1D D1 1DADA，CE CE 平面平面ABCDABCD，所以點所以點P P為平面為平面A A1 1D D1 1DADA與平面與平面ABCDABCD的公共點的公共點.又因為平面又因為平面A A1 1D D1 1DADA平面平面ABCD=DAABCD=DA，所以根據(jù)公理所以根據(jù)公理3 3可得可得PDAPDA，即，即CECE，D D1 1F F，DADA三線交于三線交于一點一點.【方法總結(jié)方法總結(jié)】1.1.證明點共線問題常用方法證明點共線問題常用方法(1)(1)先確定兩個平面，再證明這些點分別在這兩個平先確定兩個平面，再證明這些點分別在這兩個平面內(nèi)，根據(jù)公理面內(nèi)，根據(jù)公理3 3從而判定它們都在交線上從而判定它們都在交線上.(2)(2)定直線：選擇兩點確定一條直線，再證另一點在定直線：選擇兩點確定一條直線，再證另一點在這條直線上這條直線上.2.2.證空間中三線共點的兩種方法證空間中三線共點的兩種方法方法一：先確定兩直線交于一點，再證該點是這兩條方法一：先確定兩直線交于一點，再證該點是這兩條直線所在兩個平面的公共點，第三條直線是這兩個平直線所在兩個平面的公共點，第三條直線是這兩個平面的交線，由公理面的交線，由公理3 3得該點在它們的交線上，從而得得該點在它們的交線上，從而得三線共點；三線共點；方法二：先將其中一條直線看作是某兩個平面的交線，方法二：先將其中一條直線看作是某兩個平面的交線，證明該交線與另兩直線分別交于兩點，再證這兩點重證明該交線與另兩直線分別交于兩點，再證這兩點重合，從而得三線共點合，從而得三線共點.【補償訓練補償訓練】如圖，已知平面如圖，已知平面，且，且=l.設梯形設梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，且，且ABAB ，CDCD ，求證：求證：ABAB，CDCD，l共點共點(相交于一點相交于一點).).【證明證明】因為梯形因為梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，所以所以ABAB，CDCD是梯形是梯形ABCDABCD的兩腰，的兩腰，所以所以ABAB，CDCD必相交于一點必相交于一點.設設ABCD=MABCD=M，又又ABAB ，CD CD ，所以，所以MM，MM，所以所以M M在在與與的交線上的交線上.又因為又因為=l，所以，所以MMl，即，即ABAB，CDCD，l共點共點.類型三空間圖形的位置關系類型三空間圖形的位置關系【典例典例3 3】(1)(2018(1)(2018信陽高一檢測信陽高一檢測)平面平面，的公的公共點多于兩個，則共點多于兩個，則，重合；重合；，至少有一條公共直線；至少有一條公共直線；，至多有一條公共直線；至多有一條公共直線；以上判斷中一定成立的個數(shù)為以上判斷中一定成立的個數(shù)為n n，則，則n n等于等于()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2)設平面設平面與平面與平面相交于直線相交于直線l，直線，直線a a ，直線直線b b ，ab=Mab=M，則點，則點M M與與l的位置關系為的位置關系為_._.【解題指南解題指南】借助實物、圖形及公理進行判斷借助實物、圖形及公理進行判斷.【解析解析】(1)(1)選選B.B.由條件知當平面由條件知當平面，的公共點多的公共點多于兩個時，若所有公共點共線，則于兩個時，若所有公共點共線，則，相交；若公相交；若公共點不共線，則共點不共線，則，重合重合.故故不一定成立；不一定成立；成成立；立；不成立不成立.(2)(2)因為因為ab=Mab=M，a a ，b b ，所以，所以MM，M.M.又平面又平面與平面與平面相交于直線相交于直線l，所以點，所以點M M在直線在直線l上，即上，即MMl.答案：答案：MMl【方法總結(jié)方法總結(jié)】點、直線、平面之間關系的表示點、直線、平面之間關系的表示(1)(1)基本原則：通常借助集合中的符號語言來表示基本原則：通常借助集合中的符號語言來表示.點點為元素，直線與平面都是點構成的集合，幾何中的很為元素，直線與平面都是點構成的集合，幾何中的很多符號規(guī)定都是源于將圖形視為點集多符號規(guī)定都是源于將圖形視為點集.(2)(2)表示方法：點與直線之間的關系，點與平面之間表示方法：點與直線之間的關系，點與平面之間的關系用符號的關系用符號，表示，直線與平面之間的關系用表示，直線與平面之間的關系用 ，表示表示.(3)(3)公理公理1 1，2 2，3 3是判斷空間點、線、面位置關系的是判斷空間點、線、面位置關系的重要依據(jù)重要依據(jù).【跟蹤訓練跟蹤訓練】有以下判斷：有以下判斷：平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；直線直線l在平面在平面內(nèi)，可以用符號內(nèi)，可以用符號“l(fā)”表示；表示；已知平面已知平面與與不重合，若平面不重合，若平面內(nèi)的一條直線內(nèi)的一條直線a a與平面與平面內(nèi)的一條直線內(nèi)的一條直線b b相交，則相交，則與與相交相交.其中正確的序號是其中正確的序號是_._.【解析解析】若直線與平面有兩個公共點，則這條直線一若直線與平面有兩個公共點，則這條直線一定在這個平面內(nèi)，故定在這個平面內(nèi)，故正確；直線正確；直線l在平面在平面內(nèi)用符內(nèi)用符號號“”表示，即表示，即l ，錯誤；由錯誤；由a a與與b b相交，相交，說明兩個平面有公共點，因此一定相交，故說明兩個平面有公共點，因此一定相交，故正確正確.答案：答案：【知識思維導圖知識思維導圖】