《高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)ppt課件_最優(yōu)化.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)ppt課件_最優(yōu)化.ppt（53頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、A2微積分與最優(yōu)化2023/3/31A2.1微積分2023/3/32n設(shè)D是一個非退化的實值區(qū)間在此區(qū)間上,f是二次可微的.如下的1至3闡述是等價的:n1.f是凹的.n2.f(x)0,xD.n3.對于一切x0D,nf(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)n4.如果f(x)0 (P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii=)()()()()(P.3)2023/3/322由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定會等于(P.3),因此有:用t除兩邊得到:對于i=1,n,并且t0,證明完畢.2023/3/323定理A2.7 歐拉定理歐拉定理證明:定義t的函數(shù)是十分有用的

2、,g(t)f(tx),固定x,對t微分,有xxxixfxkfkxfnii對所有次齊次性的：是，當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立,)()()(1=(p.2)在t=1時:(p.3)2023/3/324證明必要性設(shè)f(x)是k次齊次,使得對一切t0與任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我們有g(shù)(t)=tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1處取值.我們得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到(P.4)證明充分性為證明充分性,設(shè)(P.4)成立,在tx處取值得到:(P.5)給(P.2)式兩邊同乘t,同(P.5)相比較,發(fā)現(xiàn)tg(t)=kg(t)(P.6)2023/3/32

3、5考慮函數(shù)t-kg(t).如果對此求關(guān)于t的微分,得到:從(p.6)來看,它的導(dǎo)數(shù)必為零,因此,我們可以得出這樣結(jié)論,即對于一些常數(shù)c,t-kg(t)=c.為找到c,在t=1處求值并注意到g(1)=c.利用定義(P.1),得到c=f(x).我們知道,g(t)=tkf(x).再次把(P.1)代入,我們得到,對于所有x,則有f(tx)=tkf(x).2023/3/326A2.2 最優(yōu)化2023/3/327設(shè)f(x)是一個二次可微的單變量函數(shù),那么f(x)將會獲得一個局部內(nèi)點最優(yōu)值.1.在 x*處有最大值f(x)=0(FONC)f(x)0(SONC)2.在 x*處有最小值f(x)=0(FONC)f(

4、x)0(SONC)定理A2.8 單變量情形中局部內(nèi)點最優(yōu)化的必要條件2023/3/328定理2.9 實值函數(shù)局部內(nèi)點最優(yōu)化的一階必要條件n如果可微函數(shù)f(x)在點x*處達(dá)到了一個局部內(nèi)點極大值或極小值,那么,x*為如下聯(lián)立方程組的解:2023/3/329證明:n證明思路:我們設(shè)f(x)在x*處獲得了一個局部內(nèi)部極值,并設(shè)法證明f(x*)=0.證明:選擇任意向量zRn,那么,對于任意標(biāo)量t,我們有:g(t)=f(x*+tz)(P.1)從(P.1)我們知道,g(t)不過是f(x)的另一種表現(xiàn)形式.t0時,x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,

5、因此,g(0)正好是f在x*處的值.已經(jīng)假設(shè) f在x*處取得極值,那么g(t)必定在t=0處獲得一個局部極值.那么,g(0)=02023/3/3302023/3/331A2.2.2 二階條件n實值函數(shù)局部內(nèi)點最優(yōu)化的二階必要條件n設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的.n1.如果在點x*處f(x)達(dá)到了一個局部內(nèi)點極大值,那么,H(X*)是負(fù)半定的.n2.如果f(x)在點x處達(dá)到了一個局部內(nèi)點極小值,那么,H(X)是負(fù)正定的.定理A2.102023/3/332或者H(X*)0,由于z是任意取的,這以為著H(X*)是負(fù)半定的.同理,如果在點x=x處f被最小化,那么,g(0)0,使得,H(X)是半正定的.定理

6、A2.10證明設(shè)有(p.1)設(shè)f(x)在x=x*處取得最大值,根據(jù)定理A2.8 必定有g(shù)(0)0.在點x*處或者在t=0處給(p.1)取值,2023/3/333定理A2.11 海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件n設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,并設(shè)Di(x)是海賽矩陣H(x)的第i階的主子式.n1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是負(fù)定的.n2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.n如果在定義域內(nèi),對所有x,條件1成立,那么f是嚴(yán)格凹的.如果在定義域內(nèi),對所有x,條件2成立,那么f是嚴(yán)格凸的.2023/3/334定理定理A2.11A2.11海賽矩陣負(fù)定與正定的充分

7、條件海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件證明證明證明思路:借助定理A2.4的第四條(如果對于D中所有x,H(x)是負(fù)定的,那么,f是嚴(yán)格凹的.)將定理A2.12轉(zhuǎn)化為矩陣的主子式改變符號是負(fù)定的,全為正為正定的.(P.2)2023/3/3352023/3/336定理A2.12 實值函數(shù)局部內(nèi)點最優(yōu)化的充分條件n設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,則:n1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x*處將會獲得一個局部極大值n2.如果fi(x)=0 并且Di(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x處將會獲得一個局部極小值2023/3/3372023/3/338定理A2.13(無

8、約束的)局部與全局最優(yōu)化n設(shè)f(x)是D上一個二次連續(xù)可微的實值凹函數(shù).這里,點x*是D的一個內(nèi)部點,那么如下三個命題等價:n1.f(x*)=0n2.在x*處f獲得一個局部極大值.n3.在x*處f獲得一個全局極大值.n證明:顯然,32,并依A2.9,21,因此,只需證明13n由1.假設(shè),f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蘊涵對于定義域的所有x,f(x)f(x*)+f(x*)(x-x*)n結(jié)合假設(shè):f(x)f(x*)n所以,f在x*處達(dá)到全局最大值.2023/3/339定理A2.14 嚴(yán)格凹性/凸性與全局最優(yōu)化的唯一性n1.如果x*最大化了嚴(yán)格凹函數(shù)f,那么,x*是唯一全局最大化值點.例

9、如,設(shè)f(x*)f(x),xD,xx*.n2.如果x最小化了嚴(yán)格凹函數(shù)f,那么,x是唯一全局最小化值點.例如,設(shè)f(x)tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1)n 由于,f(x)=f(x*),f(xt)tf(x)+(1-t)f(x),n即f(xt)f(x),這與假設(shè)x是f的一個全局最大值的假設(shè)矛盾,因此,嚴(yán)格凹函數(shù)的任何全局最大值必是唯一的.2023/3/340定理A2.15 唯一全局最優(yōu)化的充分條件n設(shè)f(x)是D上一個二次連續(xù)可微的.n1.如果f(x)是嚴(yán)格凹的,并且fi(x*)=0,i=1,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值點.n2.如果f(x)是嚴(yán)格凸的,并且fi(x)=

10、0,i=1,n;那么,x是f(x)的唯一全局最小化值點.2023/3/341A2.3 約束最優(yōu)化Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)=0 x1,x2目標(biāo)函數(shù)選擇變量約束集或者可行集求解方法:代入法1.x2=g(x1)2.Maxf(x1,g(x1)2023/3/342A2.4 拉格朗日方法x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)=0L(x1,x2,)f(x1,x2)+g(x1,x2)定理A2.16 拉格朗日定理2023/3/343A2.3.6 庫恩塔克條件x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于 g(x1,x2)0L(x1,x2,)f(x1,x2)+g(x1,

11、x2)非線性規(guī)劃問題庫恩塔克條件:f1+g1=0f2+g2=0g(x1,x2)=0g0,g(x1,x2)02023/3/344A2.20 受不等式條件約束的實值函數(shù)最優(yōu)化的(庫恩塔克)必要條件2023/3/345A2.4 值函數(shù)xMaxf(x1,x2),受約束于 g(x,a)=0,且x0M(a)=maxf(x,a),受約束于g(x,a)=0,x0 x2(a)x1(a)x2x1L(y*):y*=f(x(a)a)L(y*):y*=f(x(a)a)圖A2.10:在約束條件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值2023/3/346A2.21 包絡(luò)定理2023/3/347集合論的基本概念和基本結(jié)論

12、定義域：凸集連續(xù)函數(shù) f關(guān)系二元關(guān)系完備性傳遞性D是開集，f-1(B)是開集偏好關(guān)系拓?fù)淇臻g度量空間歐氏空間值域：逆象f-1(S)開集閉集緊集緊集的象是緊集Brouwer fixed point TheoremsS是緊切且凸，f 連續(xù)，則 f(x*)=x*A是一個凸集 擬凹函數(shù) f是凹函數(shù) 2023/3/348微微積積分分與與最最優(yōu)優(yōu)化化單變量函數(shù)單變量函數(shù)凹性與一、凹性與一、二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等價命題：等價命題：f是凹的是凹的f(x)0f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)若若f是嚴(yán)格凹的是嚴(yán)格凹的嚴(yán)格不等式成立嚴(yán)格不等式成立多變量函數(shù)多變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)梯度f(x)=(f1(x

13、),fn(x)f11(x),f1n(x)f21(x),f2n(x).fn1(x),fnn(x)H(x)=海賽矩陣對稱性Young Theorem2f(x)/xi xj=2f(x)/xj xi海海賽賽矩矩陣陣齊齊次次函函數(shù)數(shù)凸集、斜率與凹性的等價命題D是凸的H(x)是半負(fù)定的f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)歐拉定理Kf(x)=f(x)*xi/xi2023/3/349X*=f(x*1,x*2,x*n)是一個穩(wěn)定點一階條件X*是一個相對極大值X*是一個絕對極大值d2 x在x*為負(fù)定二階充分條件d2 x在x*為負(fù)定二階必要條件X*是唯一的絕對極大值f是凹的f是嚴(yán)格凹的d2 x在x*為半負(fù)定d

14、2 x處處為負(fù)定2023/3/350最最優(yōu)優(yōu)化化無無約約束束最最優(yōu)優(yōu)化化有有約約束束最最優(yōu)優(yōu)化化單變量單變量X*處最大值處最大值 f(x)=0(FONC)f (x)0(SONC)多變量多變量一階條件一階條件X*處最大值處最大值 f(x*)=0(FONC)二階條件二階條件必要條件：必要條件：X*處局部最大值處局部最大值 H(x)是半負(fù)定的。是半負(fù)定的。充分條件：充分條件：f(X)是二次可微，是二次可微，1、若、若fi(X*)=0,且（且（-1）nD(X*)0,那么，那么，f(x)在在 X*處局部極大。處局部極大。若若f(X)是嚴(yán)格凹的，則是嚴(yán)格凹的，則fi(X*)f(x),對對于任意于任意 X

15、x*.2023/3/351有有約約束束最最優(yōu)優(yōu)化化等式約束等式約束Maxf(x1,x2)S.t g(x1,x2)=0Maxf(x1,g(x1)x2=g(x1)轉(zhuǎn)化成非約束問題轉(zhuǎn)化成非約束問題Lagrange方法方法不等式約束不等式約束Maxf(x)，x 0必要條件：必要條件：F連續(xù)可微，若連續(xù)可微，若x 0，x最大化最大化f，那么，那么，x*滿足滿足1）f(x*)/xi 02）xi*f(x*)=03）xi*0。庫恩庫恩-塔克條件塔克條件2023/3/352微微積積分分與與最最優(yōu)優(yōu)化化單變量函數(shù)單變量函數(shù)凹性與一、凹性與一、二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等價命題：等價命題：f是凹的是凹的f(x)0f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)若若f是嚴(yán)格凹的是嚴(yán)格凹的嚴(yán)格不等式成立嚴(yán)格不等式成立多變量函數(shù)多變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)梯度f(x)=(f1(x),fn(x)f11(x),f1n(x)f21(x),f2n(x).fn1(x),fnn(x)H(x)=海賽矩陣對稱性Young Theorem2f(x)/xi xj=2f(x)/xj xi海海賽賽矩矩陣陣齊齊次次函函數(shù)數(shù)凸集、斜率與凹性的等價命題D是凸的H(x)是半負(fù)定的f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)歐拉定理Kf(x)=f(x)*xi/xi2023/3/353