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1、第二十一章第二十一章 二次根式二次根式21.1 21.1 二次根式二次根式1課堂講解課堂講解二次根式的定義、二次根式的定義、二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件 二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)：2課時(shí)流程課時(shí)流程逐點(diǎn)逐點(diǎn)導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升人造地球衛(wèi)星要沖出地球，圍繞地球運(yùn)行，發(fā)射時(shí)就必人造地球衛(wèi)星要沖出地球，圍繞地球運(yùn)行，發(fā)射時(shí)就必須達(dá)到一定的速度，這個(gè)速度稱為第一宇宙速度計(jì)算第須達(dá)到一定的速度，這個(gè)速度稱為第一宇宙速度計(jì)算第一宇宙速度的公式是：一宇宙速度的公式是：其中其中g(shù)為重力加速度，為重力加速度，R為地球半徑為地球半徑在第在第11章我章我們們學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)了平方根

2、和算了平方根和算術(shù)術(shù)平方根的意平方根的意義義，引引進(jìn)進(jìn)了一個(gè)了一個(gè)記記號(hào)號(hào)表示什么？表示什么？a應(yīng)滿應(yīng)滿足什么足什么條件？條件？1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二次根式的定義二次根式的定義回回 顧顧當(dāng)當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，是正數(shù)時(shí)，表示表示a的算術(shù)平方根，即正的算術(shù)平方根，即正數(shù)數(shù)a的正的平方根的正的平方根當(dāng)當(dāng)a是零時(shí)，是零時(shí)，等于等于0，它表示零的平方根，它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根也叫做零的算術(shù)平方根當(dāng)當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，是負(fù)數(shù)時(shí)，沒(méi)有意義沒(méi)有意義知知1 1導(dǎo)導(dǎo) 1.定義：形如定義：形如(a0)的式子叫做二次根式；其中的式子叫做二次根式；其中“”稱為稱為二次根號(hào)，二次根號(hào)，a稱為被開(kāi)方數(shù)稱為被開(kāi)方數(shù)(式式).2

3、.要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式上界定的，二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式上界定的，必須含有二次根號(hào)必須含有二次根號(hào)“”；“”的根指數(shù)為的根指數(shù)為2，即，即，“2”一般省略不寫一般省略不寫(2)被開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子；但前可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子；但前提是提是a必須大于或等于必須大于或等于0.(3)形如形如(a0)的式子也是二次根式的式子也是二次根式知知1 1講講 例例1判斷下列各式是否為二次根式，并說(shuō)明理由判斷下列各式是否為二次根式，并說(shuō)明理由.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.

4、知知1 1講講導(dǎo)引：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，實(shí)質(zhì)是看它是否導(dǎo)引：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，實(shí)質(zhì)是看它是否 具備二次根式定義的條件，緊扣定義進(jìn)行具備二次根式定義的條件，緊扣定義進(jìn)行識(shí)別識(shí)別知知1 1講講解：解：(1)的根指數(shù)是的根指數(shù)是3，不是二次根式不是二次根式(2)不論不論x為何值，都有為何值，都有x210，是二次根式是二次根式(3)當(dāng)當(dāng)5a0，即，即a0時(shí)，時(shí)，是二次根式；是二次根式；當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，5a0，則，則不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(4)只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，不能稱為二次根式不能稱為二次根式知知1 1講講(5

5、)當(dāng)當(dāng)x3時(shí)，時(shí)，無(wú)意義，無(wú)意義，也無(wú)意義；也無(wú)意義；當(dāng)當(dāng)x3時(shí)，時(shí)，是二次根式是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(6)當(dāng)當(dāng)a4，即，即a40時(shí)，時(shí)，是二次根式；是二次根式；當(dāng)當(dāng)a4時(shí)，時(shí)，(a4)20，不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式 知知1 1講講(7)x22x2x22x11(x1)210，是二次根式是二次根式(8)|x|0，是二次根式是二次根式知知1 1講講總 結(jié)二次根式的識(shí)別方法：二次根式的識(shí)別方法：判斷一個(gè)式子是否為二次根式，一定要緊扣判斷一個(gè)式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時(shí)具備二二次根式的定義，看所給的式子是否同時(shí)具

6、備二次根式的兩個(gè)特征：次根式的兩個(gè)特征：(1)含根號(hào)且根指數(shù)為含根號(hào)且根指數(shù)為2(通常省略不寫通常省略不寫)；(2)被開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)(式式)為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù)下列式子一定是二次根式的是下列式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.下列式子不一定是二次根式的是下列式子不一定是二次根式的是()A.B.C.D.知知1 1練練 122知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件知知2 2講講1.二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)(式式)為非負(fù)數(shù)；為非負(fù)數(shù)；2.反之也成立，即：反之也成立，即：有意義有意義a0.3.2二次根式無(wú)意義的條件是被開(kāi)方數(shù)二次根式無(wú)意義的條件是被開(kāi)

7、方數(shù)(式式)為負(fù)數(shù)；為負(fù)數(shù)；4.反之也成立，即：反之也成立，即：無(wú)意義無(wú)意義a0.5.要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)如果一個(gè)式子含有多個(gè)二次根式，如果一個(gè)式子含有多個(gè)二次根式，那么那么6.它有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)它有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果一個(gè)式子中既含有二次根式又含有分式，那么如果一個(gè)式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意義的條件是：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)它有意義的條件是：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)；分式的分母不等于數(shù)；分式的分母不等于0；(3)如果一個(gè)式子中含有零指數(shù)或負(fù)整數(shù)指數(shù)，那么它如果一個(gè)式子中含有零指數(shù)

8、或負(fù)整數(shù)指數(shù)，那么它有意義的條件是：底數(shù)不為有意義的條件是：底數(shù)不為0.知知2 2講講例例2當(dāng)當(dāng)x取怎樣的數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有取怎樣的數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？意義？(1)；(2)；(3)；(4)；知知2 2講講導(dǎo)引：要使二次根式有意義，則被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，導(dǎo)引：要使二次根式有意義，則被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，如果同時(shí)有分式，那么分式中的分母不能為零如果同時(shí)有分式，那么分式中的分母不能為零解：解：（1）欲使）欲使有意義，有意義，則必有則必有x3，且，且x5.（2）欲使）欲使有意義，則必有有意義，則必有x.知知2 2講講（3）欲使）欲使有意義，有意義，則必有則必有2x5.（4）欲使）欲使

9、有意義，有意義，則必有則必有x4且且x2.知知2 2講講1x是怎是怎樣樣的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，下列二次根式有意，下列二次根式有意義義？（1）（2）（3）（4）若代數(shù)式若代數(shù)式在在實(shí)實(shí)數(shù)范數(shù)范圍圍內(nèi)有意內(nèi)有意義義，則則x的取的取值值范范圍圍是是()Ax2Bx2Cx2Dx2知知2 2練練 3函數(shù)函數(shù)中自中自變變量量x的取的取值值范范圍圍是是()Ax1Bx3Cx1且且x3Dx1知知2 2練練知知3 3講講3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)：1.性質(zhì)性質(zhì)1：中中a0，0，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)；一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.性質(zhì)性質(zhì)2：a(a0)，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

10、，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；方根的平方等于它本身；3.性質(zhì)性質(zhì)3：（1）思考：）思考：等于什么？等于什么？知知3 3講講我們不妨取我們不妨取a的一些值，如的一些值，如2、2、3、3等，分等，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的的別計(jì)算對(duì)應(yīng)的的值，看看有什么規(guī)律：值，看看有什么規(guī)律：（2）|a|即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它的絕對(duì)值根等于它的絕對(duì)值這里這里a a的取值有沒(méi)的取值有沒(méi)有限制？取有限制？取a a的一的一些值，分別計(jì)算些值，分別計(jì)算 的值從中你的值從中你能發(fā)現(xiàn)什么？能發(fā)現(xiàn)什么？知知3 3講講4.要點(diǎn)精析：（要點(diǎn)精析：（1）具有雙重非負(fù)性：具有雙重非負(fù)性：a0;0.(

11、2)與與的區(qū)別與聯(lián)系：的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：區(qū)別：取值范圍不同：取值范圍不同：中中a為全體實(shí)數(shù)，為全體實(shí)數(shù)，中中a0；運(yùn)算順序不同：運(yùn)算順序不同：是先平方后開(kāi)方，是先平方后開(kāi)方，是先開(kāi)方后平方；是先開(kāi)方后平方；運(yùn)算結(jié)果不同：運(yùn)算結(jié)果不同：|a|聯(lián)系：聯(lián)系：與與均為非負(fù)數(shù)，且當(dāng)均為非負(fù)數(shù)，且當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，1要使等式要使等式成立，成立，則則x_當(dāng)當(dāng)1a2時(shí)時(shí)，代數(shù)式，代數(shù)式的的值值是是()A1B1C2a3D32a知知3 3練練 21.2 21.2 二次根式的乘除二次根式的乘除第第1 1課時(shí)課時(shí) 二次根式的二次根式的 乘法乘法第第2121章章 二次根式二次根式1課堂講解課堂講解二次根式的乘法法則二次根

12、式的乘法法則 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)2課時(shí)流程課時(shí)流程逐點(diǎn)逐點(diǎn)導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升計(jì)算：計(jì)算：(1)(2)觀察計(jì)算觀察計(jì)算的結(jié)果，你的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么能發(fā)現(xiàn)什么？試試 一一 試試1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則思思 考考從計(jì)算的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：從計(jì)算的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：這是什么道理呢？這是什么道理呢？知知1 1導(dǎo)導(dǎo) 用計(jì)算器分用計(jì)算器分別計(jì)算一下，別計(jì)算一下，看看兩者是看看兩者是否相等，你否相等，你能說(shuō)出道理能說(shuō)出道理嗎？嗎？事實(shí)上，根據(jù)積的乘方法則，有事實(shí)上，根據(jù)積的乘方法則，有并且并且所以所以是是23的算術(shù)平方根，即的算術(shù)平方根，即知

13、知1 1導(dǎo)導(dǎo) 1.法則：一般地，有法則：一般地，有這就是說(shuō)，兩這就是說(shuō)，兩2.個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根根3.2.要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)法則中被開(kāi)方數(shù)法則中被開(kāi)方數(shù)a、b既可以是數(shù)，也可以既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但都必須是非負(fù)數(shù)；是代數(shù)式，但都必須是非負(fù)數(shù)；4.(2)當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)(式式)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，即根號(hào)外因數(shù)的法則進(jìn)行運(yùn)算，即根號(hào)外因數(shù)(式式)之積作為根號(hào)外因數(shù)之積作為根號(hào)外因數(shù)(式式)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)；，被開(kāi)方數(shù)之積作

14、為被開(kāi)方數(shù)；5.(3)二次根式相乘的結(jié)果是一個(gè)二次根式或一個(gè)有理式；二次根式相乘的結(jié)果是一個(gè)二次根式或一個(gè)有理式；6.(4)如果沒(méi)有特別說(shuō)明，本章中的所有字母都表示正數(shù)如果沒(méi)有特別說(shuō)明，本章中的所有字母都表示正數(shù)知知1 1講講3.拓展：拓展：(1)幾個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，幾個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即：即：(2)幾個(gè)二次根式相乘，可利用交換律、結(jié)合律使運(yùn)算簡(jiǎn)便幾個(gè)二次根式相乘，可利用交換律、結(jié)合律使運(yùn)算簡(jiǎn)便知知1 1講講注注意意：在在上上式式中中，a a、b b都都表表示示非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù).在在本本章章中中，如如果果沒(méi)沒(méi)有有特特別別說(shuō)說(shuō)明明，字字母母都都表表

15、示示正正數(shù)數(shù).例例1計(jì)算：計(jì)算：(1)(2)知知1 1講講解：解：例例2計(jì)算：計(jì)算：(1)(2)(3)(4)知知1 1講講導(dǎo)引：導(dǎo)引：(1)(2)兩題直接利用公式兩題直接利用公式計(jì)算；計(jì)算；(3)(4)兩題要利用乘法交換律和結(jié)合律，將二兩題要利用乘法交換律和結(jié)合律，將二次根式根號(hào)外的因數(shù)次根式根號(hào)外的因數(shù)(式式)和兩個(gè)二次根式分別相乘，和兩個(gè)二次根式分別相乘，同時(shí)注意確定積的符號(hào)同時(shí)注意確定積的符號(hào)知知1 1講講(1)(2)(3)(4)解：解：知知1 1講講總 結(jié)(1)兩個(gè)二次根式相乘，被開(kāi)方數(shù)的積中有開(kāi)得盡方兩個(gè)二次根式相乘，被開(kāi)方數(shù)的積中有開(kāi)得盡方的一定要開(kāi)方；的一定要開(kāi)方；(2)當(dāng)二次根

16、式根號(hào)外有因數(shù)當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)(式式)時(shí)，可類比單項(xiàng)式時(shí)，可類比單項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，如相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，如（b0,d0）即將根號(hào)外的因數(shù)）即將根號(hào)外的因數(shù)(式式)a、c相乘，相乘，被開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)b、d相相乘乘1_2等式等式成立的條件是成立的條件是()3Ax1B1x14Cx1Dx1或或x1知知1 1練練 2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)知知2 2導(dǎo)導(dǎo)上面得到的等式上面得到的等式也可也可以寫成以寫成1.性質(zhì)：性質(zhì)：這就是說(shuō)，這就是說(shuō)，積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積知知2 2講講2.要點(diǎn)精講：要點(diǎn)精講：（1）積的

17、算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用3.二次根式的乘法法則，它對(duì)兩個(gè)以上的積的算術(shù)平二次根式的乘法法則，它對(duì)兩個(gè)以上的積的算術(shù)平方方4.根同樣適用；根同樣適用；5.（2）應(yīng)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的前提條件是乘積中）應(yīng)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的前提條件是乘積中的每的每6.個(gè)因數(shù)個(gè)因數(shù)(式式)必須是非負(fù)數(shù)；應(yīng)用此性質(zhì)的作用是化必須是非負(fù)數(shù)；應(yīng)用此性質(zhì)的作用是化簡(jiǎn)簡(jiǎn)7.二次根式；二次根式；8.（3）在進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因數(shù)）在進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因數(shù)(式式)分分解，解，9.然后將能開(kāi)得盡方的因數(shù)然后將能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式式)開(kāi)方后移到根號(hào)外開(kāi)方后移到

18、根號(hào)外 例例3 3 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 使被開(kāi)方數(shù)不含完全平方的因使被開(kāi)方數(shù)不含完全平方的因數(shù)數(shù).知知2 2講講解：解：這這里里，被被開(kāi)開(kāi)方方數(shù)數(shù)12223，含含有有完完全全平平方方的的因因數(shù)數(shù)22，通通常?？煽筛鶕?jù)據(jù)積積的的算算術(shù)術(shù)平平方方根根的的性性質(zhì)質(zhì)，并并利利用用(a0)，將將這這個(gè)個(gè)因數(shù)因數(shù)“開(kāi)方開(kāi)方”出來(lái)出來(lái) 例例4化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：知知2 2講講導(dǎo)引：二次根式乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)的目的：轉(zhuǎn)化為沒(méi)有二導(dǎo)引：二次根式乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)的目的：轉(zhuǎn)化為沒(méi)有二次根式的乘法運(yùn)算，且將二次根式被開(kāi)方數(shù)中次根式的乘法運(yùn)算，且將二次根式被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式式)從根號(hào)中開(kāi)出來(lái)從根號(hào)中開(kāi)出來(lái)解：解：(1

19、)方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2講講 知知2 2講講知知2 2講講總 結(jié)二次根式的乘法運(yùn)算二次根式的乘法運(yùn)算過(guò)過(guò)程的程的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是二次根式的乘法法是二次根式的乘法法則則的正用與逆用的一個(gè)的正用與逆用的一個(gè)綜綜合合過(guò)過(guò)程，程，它不它不僅僅是是簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單地將兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)相乘，而且更重要的是將地將兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)相乘，而且更重要的是將所得的所得的積積化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，因此解形如，因此解形如的的過(guò)過(guò)程如下：程如下：方法一：方法一：方法二：方法二：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是數(shù)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是數(shù)時(shí)時(shí)，用方法二更，用方法二更簡(jiǎn)簡(jiǎn)便便 1下列下列計(jì)計(jì)算正確的是算正確的是()A.B.C.D.計(jì)計(jì)算：算：知知2 2練練 1.運(yùn)用二次

20、根式的乘法法運(yùn)用二次根式的乘法法則時(shí)則時(shí)注意被開(kāi)方數(shù)都必注意被開(kāi)方數(shù)都必須須是非是非負(fù)負(fù)數(shù)，數(shù)，否否則則公式不成立公式不成立2.逆用公式逆用公式時(shí)時(shí)必必須須將被開(kāi)方數(shù)將被開(kāi)方數(shù)(式式)進(jìn)進(jìn)行因數(shù)行因數(shù)(式式)分解，再分解，再進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)算，將開(kāi)得盡方的因數(shù)算，將開(kāi)得盡方的因數(shù)(式式)移到根號(hào)外化移到根號(hào)外化簡(jiǎn)時(shí)簡(jiǎn)時(shí)注意注意題題目中目中隱隱含的條件含的條件3把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)的方法：先要根據(jù)把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)的方法：先要根據(jù)題題意確定根意確定根號(hào)外因式的符號(hào)，當(dāng)根號(hào)外因式的符號(hào)號(hào)外因式的符號(hào)，當(dāng)根號(hào)外因式的符號(hào)為為正正時(shí)時(shí)，直接平方后移，直接平方后移到根號(hào)內(nèi)，當(dāng)根號(hào)外因式的符號(hào)到根號(hào)

21、內(nèi)，當(dāng)根號(hào)外因式的符號(hào)為負(fù)時(shí)為負(fù)時(shí)，只能將正因式平方后，只能將正因式平方后移到根號(hào)內(nèi)，移到根號(hào)內(nèi)，負(fù)負(fù)號(hào)留在根號(hào)外號(hào)留在根號(hào)外21.2 21.2 二次根式的乘除二次根式的乘除第第2 2課時(shí)課時(shí) 二次根式的二次根式的 除法除法第第2121章章 二次根式二次根式1課堂講解課堂講解二次根式的除法法則二次根式的除法法則 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)商的算術(shù)平方根的性質(zhì) 最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式2課時(shí)流程課時(shí)流程逐點(diǎn)逐點(diǎn)導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升 兩個(gè)二次根式相除，怎樣進(jìn)行運(yùn)算呢？?jī)蓚€(gè)二次根式相除，怎樣進(jìn)行運(yùn)算呢？商的算術(shù)平方根又等于什么？試參考上面商的算術(shù)平方根又等于什么？試參考上面 的研究

22、，和同伴討論，提出你的見(jiàn)解的研究，和同伴討論，提出你的見(jiàn)解 討論討論1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二次根式的除法法則二次根式的除法法則概概 括括一般的，有一般的，有_知知1 1導(dǎo)導(dǎo)這就是說(shuō)，兩個(gè)算術(shù)平方根的商，等于這就是說(shuō)，兩個(gè)算術(shù)平方根的商，等于_ 這里為什么要這里為什么要求求1.法法則則：一般地，有：一般地，有(a0，b0)這這就是就是說(shuō)說(shuō)，兩個(gè)，兩個(gè)算算術(shù)術(shù)平方根的商，等于它平方根的商，等于它們們被開(kāi)方數(shù)的商的算被開(kāi)方數(shù)的商的算術(shù)術(shù)平方根平方根2.2.要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)法法則則中的被開(kāi)方數(shù)中的被開(kāi)方數(shù)a、b既可以是數(shù)，也既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但都必可以是代數(shù)式，但都必須須是非是非負(fù)負(fù)的且的

23、且b不不為為0；3.(2)當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)當(dāng)二次根式根號(hào)外有因數(shù)(式式)時(shí)時(shí)，可，可類類比比單項(xiàng)單項(xiàng)式除以式除以單項(xiàng)單項(xiàng)式的法式的法則進(jìn)則進(jìn)行運(yùn)算；將根號(hào)外因數(shù)行運(yùn)算；將根號(hào)外因數(shù)(式式)之商作之商作為為根號(hào)外商的根號(hào)外商的因數(shù)因數(shù)(式式)；被開(kāi)方數(shù)之商作；被開(kāi)方數(shù)之商作為為被開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)4.易易錯(cuò)錯(cuò)警示：警示：(1)在在(a0，b0)中，特中，特別別注意注意b0，5.若若b0，則則代數(shù)式無(wú)意代數(shù)式無(wú)意義義；知知1 1講講(2)二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化到最簡(jiǎn)；二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化到最簡(jiǎn)；(3)如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將它化成假分?jǐn)?shù)；如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將它化成假分?jǐn)?shù)；以

24、免出現(xiàn)類似以免出現(xiàn)類似這樣的錯(cuò)誤；這樣的錯(cuò)誤；(4)如果是幾個(gè)二次根式相除，應(yīng)按除法法則依次如果是幾個(gè)二次根式相除，應(yīng)按除法法則依次計(jì)算；也可以把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算來(lái)計(jì)計(jì)算；也可以把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算來(lái)計(jì)算算知知1 1講講 例例1計(jì)算：計(jì)算：(1)(2)知知1 1講講解：解：題題(2)也也可可先先將將分分子子化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)為為從從而而容容易易算得算得結(jié)結(jié)果果例例2計(jì)算：計(jì)算：(1)(2)(3)(4)知知1 1講講導(dǎo)引：導(dǎo)引：(1)直接利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算；直接利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算；(2)(4)要注意根號(hào)外的因數(shù)與因數(shù)相除，同時(shí)要注意根號(hào)外的因數(shù)與因數(shù)相除，同時(shí)要注意結(jié)果的

25、符號(hào)；要注意結(jié)果的符號(hào)；(3)進(jìn)行計(jì)算時(shí)需先把帶進(jìn)行計(jì)算時(shí)需先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)知知1 1講講解：解：(1)(2)(3)(4)知知1 1講講歸 納利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，被開(kāi)方數(shù)利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，被開(kāi)方數(shù)相除時(shí)，可以用相除時(shí)，可以用“除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘這個(gè)除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分、化簡(jiǎn)進(jìn)行約分、化簡(jiǎn)1計(jì)計(jì)算算的的結(jié)結(jié)果是果是_2成立的條件是成立的條件是()3Aa1Ba1且且a34Ca1Da3知知1 1練練 1.性質(zhì)：性質(zhì)：這就是說(shuō)，商的算術(shù)這就是說(shuō)，商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的平方根，等于被除式的算術(shù)平

26、方根除以除式的算術(shù)平方根算術(shù)平方根2.要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的除法法則；是逆用二次根式的除法法則；3.(2)應(yīng)用商的算術(shù)平方根的前提條件是商中應(yīng)用商的算術(shù)平方根的前提條件是商中被除式是非負(fù)數(shù)，除式是正數(shù)；被除式是非負(fù)數(shù)，除式是正數(shù)；4.(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的作用是化簡(jiǎn)二次商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的作用是化簡(jiǎn)二次根式，將分母中的根號(hào)化去根式，將分母中的根號(hào)化去2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)知知2 2導(dǎo)導(dǎo)知知2 2講講2.分母有理化：分母有理化：3.(1)定定義義：要化去分母中的根號(hào)，只要將分子、分母：

27、要化去分母中的根號(hào)，只要將分子、分母同乘同乘4.以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃骄涂梢粤?，通常以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃骄涂梢粤?，通常這這種化種化簡(jiǎn)簡(jiǎn)過(guò)過(guò)程程5.稱稱為為分母有理化；分母有理化；6.(2)依據(jù)：分式的基本性依據(jù)：分式的基本性質(zhì)質(zhì)及及7.(3)方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式8.拓展：拓展：(1)有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，9.如果它如果它們們的的積積不含有二次根式，那么不含有二次根式，那么這這兩個(gè)代數(shù)式兩個(gè)代數(shù)式互互為為10.有理化因式；有理化因式；(2)常用的有理化因式：常用的有理化因式：例例3

28、化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)使分母中不含二次根式，并且被開(kāi)方使分母中不含二次根式，并且被開(kāi)方數(shù)中不含分母數(shù)中不含分母知知2 2講講解：解：這里，二次根式這里，二次根式 的被開(kāi)方數(shù)中含有分的被開(kāi)方數(shù)中含有分母，通常可利用分?jǐn)?shù)母，通?？衫梅?jǐn)?shù)(或分式或分式)的基本性質(zhì)將分的基本性質(zhì)將分母母“配配”成完全平方，再成完全平方，再“開(kāi)方開(kāi)方”出來(lái)出來(lái)例例4將下列各式化簡(jiǎn)：將下列各式化簡(jiǎn)：知知2 2講講導(dǎo)引：導(dǎo)引：(1)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后應(yīng)用性質(zhì)化簡(jiǎn)；先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后應(yīng)用性質(zhì)化簡(jiǎn)；(2)需要將分子、分母同時(shí)乘以需要將分子、分母同時(shí)乘以2，將分母化成一個(gè)，將分母化成一個(gè)完全平方數(shù)，然后應(yīng)用性質(zhì)化簡(jiǎn)；完全平方

29、數(shù)，然后應(yīng)用性質(zhì)化簡(jiǎn)；(3)方法一，先用性質(zhì)方法一，先用性質(zhì)化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)，再分母有理化；方法二，先將被開(kāi)方數(shù)的分子、分母分母有理化；方法二，先將被開(kāi)方數(shù)的分子、分母同乘以同乘以a，再應(yīng)用，再應(yīng)用進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)解：解：知知2 2講講(3)方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2講講總 結(jié)利用商的算利用商的算術(shù)術(shù)平方根化平方根化簡(jiǎn)簡(jiǎn)二次根式的方法：二次根式的方法：（1）若被開(kāi)方數(shù)的分母是一個(gè)完全平方數(shù)）若被開(kāi)方數(shù)的分母是一個(gè)完全平方數(shù)(式式)，則則可以直接可以直接利用商的算利用商的算術(shù)術(shù)平方根的性平方根的性質(zhì)質(zhì)，先將分子、分母分，先將分子、分母分別別開(kāi)平開(kāi)平方，然后求商；方，然后求商；（2）若

30、被開(kāi)方數(shù)的分母不是完全平方數(shù)）若被開(kāi)方數(shù)的分母不是完全平方數(shù)(式式)，可根據(jù)分式的，可根據(jù)分式的基本性基本性質(zhì)質(zhì)，先將分式的分子、分母同，先將分式的分子、分母同時(shí)時(shí)乘以一個(gè)不等于乘以一個(gè)不等于0的數(shù)或整式，使分母的數(shù)或整式，使分母變變成一個(gè)完全平方數(shù)成一個(gè)完全平方數(shù)(式式)，然后利用，然后利用商的算商的算術(shù)術(shù)平方根平方根進(jìn)進(jìn)行化行化簡(jiǎn)簡(jiǎn) 1下列各式下列各式計(jì)計(jì)算正確的是算正確的是()知知2 2練練 2下列下列結(jié)結(jié)果正確的有果正確的有()A1個(gè)個(gè)B2個(gè)個(gè)C3個(gè)個(gè)D4個(gè)個(gè)1.定義：二次根式被開(kāi)方數(shù)中不含分母，并且被開(kāi)方定義：二次根式被開(kāi)方數(shù)中不含分母，并且被開(kāi)方數(shù)中所有因數(shù)數(shù)中所有因數(shù)(或因式或因

31、式)的冪的指數(shù)都小于的冪的指數(shù)都小于2，像，像這樣這樣的二次根式稱為最簡(jiǎn)二次根式的二次根式稱為最簡(jiǎn)二次根式要點(diǎn)精析：最簡(jiǎn)二次根式必須滿足：要點(diǎn)精析：最簡(jiǎn)二次根式必須滿足：(1)被開(kāi)方數(shù)不被開(kāi)方數(shù)不含分母，也就是被開(kāi)方數(shù)必須是整數(shù)含分母，也就是被開(kāi)方數(shù)必須是整數(shù)(式式)；(2)被開(kāi)被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因數(shù)方數(shù)中每個(gè)因數(shù)(式式)的指數(shù)都小于根指數(shù)的指數(shù)都小于根指數(shù)2；即每個(gè)因；即每個(gè)因數(shù)數(shù)(式式)的指數(shù)都是的指數(shù)都是1.3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式知知3 3講講知知3 3講講2.將一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法步驟：將一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法步驟：(1)“一分一分”，即利用因

32、數(shù)，即利用因數(shù)(式式)分解的方法把被開(kāi)方數(shù)分解的方法把被開(kāi)方數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)(式式)的冪的乘積形式；的冪的乘積形式；(2)“二移二移”，即把能開(kāi)得盡方的因數(shù)，即把能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式式)用它的算術(shù)用它的算術(shù)平平方根代替，移到根號(hào)外，其中把根號(hào)內(nèi)的分母中方根代替，移到根號(hào)外，其中把根號(hào)內(nèi)的分母中的因式移到根號(hào)外時(shí)，要注意應(yīng)寫在分母的位置的因式移到根號(hào)外時(shí)，要注意應(yīng)寫在分母的位置上；上；(3)“三化三化”，即將分母有理化，即將分母有理化化去被開(kāi)方數(shù)中的化去被開(kāi)方數(shù)中的分母分母 例例5下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是是最

33、最簡(jiǎn)二次根式？不是最簡(jiǎn)二次根式的，請(qǐng)說(shuō)明理由簡(jiǎn)二次根式？不是最簡(jiǎn)二次根式的，請(qǐng)說(shuō)明理由知知3 3講講導(dǎo)引：導(dǎo)引：根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷解：解：(1)不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)中含有分母不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)中含有分母(2)是最簡(jiǎn)二次根式是最簡(jiǎn)二次根式(3)不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)是小數(shù)不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)是小數(shù)(即含有即含有分母分母)知知3 3講講（4）不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)）不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)24x中含有能開(kāi)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)得盡方的因數(shù)4，422.（5）不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)椋┎皇亲詈?jiǎn)二次根式，因?yàn)閤36x29xx(x26x9)x(x3)2，被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因，被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因式式 知知3 3講講歸 納判斷一個(gè)二次根式是最判斷一個(gè)二次根式是最簡(jiǎn)簡(jiǎn)二次根式的方法：二次根式的方法