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1、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及制造圖形幾何變換,計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及制造圖形幾何變換計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及制造圖形幾何變換計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造 圖形幾何變換,計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造,圖形幾何變換,一、圖形的基本要素及其表示方法 體是由若干面構(gòu)成，而面則由曲線組成，線是點(diǎn)的軌跡。因此構(gòu)成圖形的基本要素是點(diǎn)。,第一節(jié) 幾何變換的方法,在解析幾何中，點(diǎn)可以用向量表示。在二維空間中可以用（x，y）表示平面上的一點(diǎn)，在三維空間中則用（x，y，z）表示空間一點(diǎn)。因此，可以用點(diǎn)的集合（點(diǎn)集）來表示一個(gè)平面圖形或三維立體，寫成矩陣的形式為：,x1 y1 X2 y2 xn yn,x1 y1 z1 x2 y2 z2 xn yn zn,這樣

2、便建立了平面圖形和空間立體的數(shù)學(xué)模型。,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),x1 y1 X2 y2 X3 y3 X4 y4,平面圖形,二 點(diǎn)的變換,在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)應(yīng)用中，常常要進(jìn)行諸如比例，對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)，平移，投影等各種變換，既然圖形可以用點(diǎn)集來表示，也就是說點(diǎn)集定了，則圖形也就確定了。那么，如果點(diǎn)的位置改變了，圖形也就隨之改變。因此，要對(duì)圖形進(jìn)行變換，只要變換點(diǎn)就可以了。,由于點(diǎn)集可用矩陣的方式來表示，因此對(duì)點(diǎn)的變換可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，即： 舊點(diǎn)集 x 變換矩陣新點(diǎn)集， 變換的基礎(chǔ)是矩陣乘法。規(guī)則 Aik *Bkj=Cij,第二節(jié)二維基本變換,a b 若（

3、x，y）為變換前的坐標(biāo)， c d 為變換矩陣，則有： （x，y）a b = (ax+cy，bx+dy)=(x，y) c d 這里（x，y）為變換后的坐標(biāo)。變換矩陣中a，b，c，d可取不同值，可以實(shí)現(xiàn)各種不同的變換，從而達(dá)到對(duì)圖形進(jìn)行變換的目的。,一 比例變換,在變換矩陣中 中，令b=c=0，則比例變換 矩陣： 其中 a，d分別為x，y方向上的比例因子（a，d0）。討論： 若a=d=1，為恒等變換，即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。 若a=d1，則為等比變換，變換結(jié)果是圖形等比例放大（a=d1）后等比例縮小（ a=d1 ）。如下圖（1）所示，原三角形ABC給放大2倍后為三角形ABC。,（1）,若 a d，則

4、變換后圖形將變形，如圖（2），原三角形ABC經(jīng)下式變換后成為ABC,（2）,二.對(duì)稱變換,1.對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱變換 點(diǎn)對(duì)x軸對(duì)稱變換有： x=x，y =-y，變換矩陣為： 即 點(diǎn)對(duì)y軸對(duì)稱應(yīng)有：x=-x，y=y，則變換矩陣為： 即,對(duì)坐標(biāo)軸變換后的圖形見下圖（1）,2.對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱變換,點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱變換應(yīng)有：x=-x，y=-y，則變換矩陣 即變換的 圖形見下圖,A,C,3.對(duì)45線的對(duì)稱變換,點(diǎn)對(duì)45線的對(duì)稱變換即讓x，y互換坐標(biāo)，x=y，y=x，變換矩陣為： 對(duì)-45線的對(duì)稱變換，應(yīng)有x=-y，y=-x，變換矩陣為：,對(duì)+45和-45的對(duì)稱變換的圖形如下圖：,三.錯(cuò)切變換,令 ，且 c，b之

5、一為0，則， 1.沿x軸錯(cuò)切 令b=0，沿x向錯(cuò)切的變換矩陣為： ，則,經(jīng)此變換后，y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)有一增量cy，這就相當(dāng)于原來平行于y軸的線向x方向錯(cuò)切成與y軸成角的直線，且有tg=y/cy=1/c。當(dāng)c0時(shí)沿+x向錯(cuò)切；c0時(shí)，沿-x向錯(cuò)切。 設(shè)c=2，對(duì)三角形ABC進(jìn)行錯(cuò)切變換得：,A B C,A B C,x y,2.沿y軸方向錯(cuò)切 令 c=0， 則，,x y,設(shè)b=2，對(duì)三角形ABC進(jìn)行錯(cuò)切變換得：,A B C,A B C,x y,x y,變換的結(jié)果是，x坐標(biāo)不變，而y坐標(biāo)產(chǎn)生一增量bx，使原來平行于x軸的線傾斜角且 tg = x/bx = 1/b。當(dāng)b0時(shí)，沿+y方向錯(cuò)切；b0時(shí)，

6、沿-y方向錯(cuò)切。,四.旋轉(zhuǎn)變換,假定圖形的旋轉(zhuǎn)是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，變換矩陣 則對(duì)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換：,對(duì)三角形ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（=60）:,A B C,x y,x y,A B C,五、平移變換與齊次坐標(biāo) 上述四種變換都可以通過變換矩陣 那么它是否適合于平移變換呢？若實(shí)現(xiàn)平移變換，變換前后的坐標(biāo)必須滿足下面的關(guān)系：,x=x+x y=y+y這里x，y是平移量，應(yīng)為常量，但是應(yīng)用上述變換對(duì)點(diǎn)進(jìn)行變換：,這里的cy，bx均為非常量，因此用原來 的2X2的變換矩陣是無法實(shí)現(xiàn)平移變換的。 我們把2X2矩陣擴(kuò)充成3X2矩陣，即令：,K，m是平移量。這樣又帶來新的問題，二維圖形的

7、點(diǎn)集矩陣是nx2的，而變換矩陣是3x2的，根據(jù)矩陣乘法的規(guī)則，他們是無法相乘的。為此，我們把點(diǎn)向量也做擴(kuò)充，將（x，y）擴(kuò)充為（x，y，1），即把點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為nx3階矩陣。這樣，點(diǎn)集矩陣與變換矩陣即可進(jìn)行乘法運(yùn)算。,令變換矩陣中b、c=0，a、d=1，就得 到平移變換矩陣 ,則有 這里k，m分別為x，y方向的平移量。,為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將3x2變換矩陣進(jìn)一步擴(kuò)充為3x3階矩陣，即 ，則平移變換矩陣為： 如令k=10，m=10，對(duì)三角形ABC做平移變換，得：,A B C,x y,A B C,A,在上述討論中，我們將（x，y）擴(kuò)充為（x，y，1），實(shí)際上是由二維向量變?yōu)槿S向量

8、，但（x，y，1）可以看作是z=1平面上的點(diǎn)，也就是說，經(jīng)此擴(kuò)充后，圖形落在z=1的平面上，它對(duì)圖形的形狀沒有影響。 這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標(biāo)法。進(jìn)一步推廣，用n-1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標(biāo)法。,第三節(jié) 二維組合變換,上述的五種變換可用統(tǒng)一的變換矩陣形式實(shí)現(xiàn)，我們把它們叫做基本變換。但是有些變換僅用一種基本變換是不能實(shí)現(xiàn)的，必須由兩種或更多種基本變換組合才能實(shí)現(xiàn)。這種由多種基本變換組合而成的變換稱之為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。,一 、繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換,平面圖形繞任意點(diǎn)p（Xp，Yp）旋轉(zhuǎn)角，需要通過以下幾個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)： （1）將旋轉(zhuǎn)中心平移到原

9、點(diǎn)，變換矩陣為：,（2）將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，變換矩陣為： （3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來點(diǎn)的位置，變換矩陣為：,因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 顯然，當(dāng)Xp=0，Yp=0時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。,二、對(duì)任意直線的對(duì)稱變換 設(shè)任意直線的方程為Ax+By+C=0，直線在x軸和y軸上的截距分別為-C/A 和 C/B ，直線與x的夾角為， =arctg （-A/B）。對(duì)任意直線的對(duì)稱變換有以下幾個(gè)步驟來完成： （1）平移直線，使其通過原點(diǎn)（可以沿x軸平移，也可沿y軸平移，這里以沿x軸平移為例），變換矩陣為：,（2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使其與x軸重合，變換矩陣為： (3) 對(duì)x軸對(duì)稱變換，其變換矩陣為：,

10、（4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使直線回到原來與x軸成的位置，變換矩陣為： （5）平移直線，使其回到原來的位置，變換矩陣為：,通過上述5個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的對(duì)稱變換，其組合變換矩陣為： 綜上所述，復(fù)雜變換是通過基本變換的組合而成的。由于矩陣的乘法不適用于交換律，即： 因此組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。,第四節(jié) 三維基本變換,一、三維基本變換矩陣 1.變換矩陣 三維圖形的變換是二維圖形的簡單擴(kuò)展。變換的原理還是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，z，1）通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)（ x，y，z，1 ）。 與前面討論的類似，在三維空間里，用四維齊次坐標(biāo)（x，y，z，1）表示三維點(diǎn)。,三維變換矩陣則用4x4階矩陣表示，即： （x，y，z，1）. T = （x，y，z，1） 其中T為三維基本變換矩陣： 可以把三維基本變換矩陣劃分為四塊，其中 產(chǎn)生比例，對(duì)稱，錯(cuò)切，旋轉(zhuǎn) 等基本變換。,產(chǎn)生平移變換， 產(chǎn)生透視投影變換 產(chǎn)生全比例變換。 2.坐標(biāo)系 在三維變換中，我們采用右手坐標(biāo)系，習(xí)慣上人們一般采用下圖的左手坐標(biāo)系，且規(guī)定，物體繞各坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的正方向?qū)τ沂值穆菪较颉?二.比列變換 比例變換矩陣為： 其中a，e，j分別為沿x，y，z軸方向的比例因子。 對(duì)點(diǎn)進(jìn)行比例變換：（x，y，z，1）* Ts =（ax，ey，jz，1）=（x，y，z，1）,謝謝大家！,