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1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上（即曲線上的點在方程上，方程的解都在曲線上），那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.練習(xí)1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D2下列在曲線上的點是（ ）A B

2、C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一（由上面練習(xí)（1、3可知）。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)方程如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度（稱為旋轉(zhuǎn)角）。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)

3、方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點，過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何

4、意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點在上方時，0；當(dāng)點在下方時，0；當(dāng)點與重合時，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點的坐標(biāo)，其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同。北京高考近幾年真題（2014年北京.3題5分）曲線（為參數(shù)）的對稱中心（ ）在直線上 在直線上 在直線上 在直線上（2012年北京.9題5分）直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的交點個數(shù)為 （2014年北京.3題5分）答案：B（2012年北京.9題5分）答案：2二、極坐標(biāo)方程1.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系有四個要素：極點

5、；極軸；長度單位；角度單位及它的方向如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標(biāo),記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任

6、意實數(shù).特別地,當(dāng)點在極點時,它的極坐標(biāo)為(0, )(R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時,極坐標(biāo)表示的點也是唯一確定的.2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化例題、直角坐標(biāo)為(，)、（0，2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為_、 極坐標(biāo)為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是(),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公

7、式如表:點直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.（1） 點的轉(zhuǎn)化1、直角坐標(biāo)為(，)、（0，2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為_、 極坐標(biāo)為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）（2）方程的轉(zhuǎn)化2、在極坐標(biāo)系中，直線: sin2，則直線在直角坐標(biāo)系中方程為 在極坐標(biāo)系中,圓O: 4,則在直角坐標(biāo)系中，圓的方程 直線l與圓O相交，所截得的弦長為_答案：(1)因為,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,即,圓的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知圓心的坐標(biāo)是,半徑是4,圓心到直線的距離是.所以直線被圓截得的弦長是.3、若曲線的極

8、坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_4、求滿足條件的曲線極坐標(biāo)方程(1)直線過點M(1，0)且垂直于x軸 (2)直線過M（0，a）且平行于x軸 (3)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為r (4)當(dāng)圓心位于M ，半徑為2： 3.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標(biāo),這與點的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標(biāo)的多種表示形

9、式,只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿足方程.4圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A B C D 4化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標(biāo)是，則點的極坐標(biāo)為（ ）A B C D 6極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓北京高考近幾年真題（2017年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標(biāo)為（1，0），則|AP|的最小值為 （2016年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=

10、（2015年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 （2013年北京.09題5分）在極坐標(biāo)系中，點到直線sin 2的距離等于_【2011北京理，3】3在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)系是( ) A B C D（2017年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標(biāo)為（1，0），則|AP|的最小值為 【分析】先將圓的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再運用數(shù)形結(jié)合的方法求出圓上的點到點P的距離的最小值【解答】解：設(shè)圓22cos4sin+4=0為圓C，將圓C的極坐標(biāo)方程化為：x2+y22x4y+4=0，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x1）2+（y

11、2）2=1；如圖，當(dāng)A在CP與C的交點Q處時，|AP|最小為：|AP|min=|CP|rC=21=1，故答案為：1【點評】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程和圓外一點到圓上一點的距離的最值，難度不大（2016年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB|【解答】解：直線cossin1=0化為y直線xy1=0圓=2cos化為2=2cos，x2+y2=2x，配方為（x1）2+y2=1，可得圓心

12、C（1，0），半徑r=1則圓心C在直線上，|AB|=2故答案為：2（2015年北京.11題5分）在極坐標(biāo)系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出【解答】解：點P（2，）化為P直線（cos+sin）=6化為點P到直線的距離d=1故答案為：19(2013北京，理9)在極坐標(biāo)系中，點到直線sin 2的距離等于_答案：1解析：在極坐標(biāo)系中，點對應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(，1)，直線sin 2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的方程為y2，所以點到直線的距離為1.【2011北京理，3】3在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)系是( ) A B C D【答案】B【解析】 ，圓心直角坐標(biāo)為（0,-1），極坐標(biāo)為，選B