1.1 因式分解,1.整式乘法有幾種形式?,(1)單項式乘以單項式(2)單項式乘以多項式(3)多項式乘以多項式,回顧 & 思考,a(m+n)= .,(a+b)(m+n)= .,am+an,am+an+bm+bn,(a+b)(a-b)= .(ab)2= .,2.乘法公式有哪些?,(1)平方差公式 (2)完全平方公式,回顧 & 思考,數學中的游戲,游戲規(guī)則：,1.大家說出一個大于1的正整數.,2.寫出它的立方減它本身的式子.,如：,3.不通過計算，說出這個式子能被哪些正整數整除.,你能做到嗎？,小明是這樣想的:,993-99能被100整除嗎? 你是怎樣想的?,你知道每一步的根據嗎?993-99還能被哪些整數整除?,做一做,計算下列各式:(1) 3x(x-1)= ;(2)m(a+b+c)= ;(3) (m+4)(m-4)= ;(4) ( y-3)2= .(5)a(a+1)(a-1)= .,根據左面的算式填空:3x2-3x=( )( )ma+mb+mc=( )( )m2-16 =( )( )y2-6y+9 =( )2a3-a =( )( )( ),3x2-3x,m2-16,y2-6y+9,ma+mb+mc,a3-a,m,a+b+c,3x,x-1,y-3,m+4,m-4,a,a+1,a-1,由a(a+1)(a-1)得到a3-a的變形是什么運算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的變形與它有什么不同?,答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的變形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的變形是把一個多項式化成幾個整式的積的形式.,議 一 議,你還能再舉一些類似的例子加以說明嗎?,因式分解的定義:,把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做因式分解.因式分解也可稱為分解因式.,想一想: 因式分解與整式乘法有什么聯系?,理解定義,善于辨析：因式分解與整式乘法有什么聯系?,二者是互逆的恒等變形,因式分解,判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,鞏固概念,否,是,否,否,是,否,下列式子從左到右的變形是否為因式分解？為什么?,鞏固概念,（1）因式分解與整式的乘法是一種互逆關系；,（2）因式分解的對象必須是多項式，結果要以積的形式表示；,（3）分解后的每個因式必須是整式，次數都低于原來的多項式的次數；,歸納,（4）必須分解到每個因式不能再分解為止.,隨堂練習,把左右兩邊對應的式子連起來，并說明哪些變形是因式分解，哪些是整式乘法.,1. 計算: 7652172352 17 解: 7652172352 17 = 17(7652 2352) = 17(765+235)(765 235) = 171000530 = 9010000,拓展應用,2. 20042+2004能被2005整除嗎?,解: 20042+2004=2004(2004+1)=20042005 20042+2004能被2005整除,拓展應用,假如用一根比地球赤道長10米的鐵絲將地球赤道圍起來, 那么鐵絲與赤道之間均勻的間隙能有多大(赤道看成圓形，設地球的半徑為r，鐵絲圍成圓形的半徑為R)?,拓展應用,Rr,所以，鐵絲與赤道之間均勻的間隙為 米.,解：根據題意可得，,本節(jié)小結,2. 分解因式與整式乘法是互逆過程;,1. 把一個多項式化成幾個整式乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式;,3. 分解因式的結果要以積的形式表示；,4. 分解后的每個因式必須是整式，次數都低于原來的多項式的次數；,5. 必須分解到每個多項式不能再分解為止.,6. 分解因式在實際問題中的應用.,1.2 提公因式法,討 論,問題1：630能被哪些數整除？說說 你是怎樣想的？,問題2：a=101,b=99時，求a2 b2 的值。,多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的公因式。,相同因式m,這個多項式有什么特點？,例: 找 3 x 2 6 xy 的公因式。,系數：最大公約數。,3,字母：相同的字母,x,所以，公因式是3x。,指數：相同字母的最低次冪,1,正確找出多項式各項公因式的關鍵是：,1、定系數：公因式的系數是多項式各項系數 的最大公約數。2、定字母： 字母取多項式各項中都含有的相同的字母。 3、定指數： 相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母最低次冪,你知道嗎？,找一找: 下列各多項式的公因式是什么？,（3）,（a）,（a2）,（2(m+n)）,（3mn）,（-2xy）,(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2,如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。,( a+b+c ),ma+ mb +mc,m,=,(1) 8a3b2 + 12ab3c,例1: 把下列各式分解因式,分析：提公因式法步驟（分兩步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即將多項式化為兩個因式的乘積。,(2) 2a(b+c) - 3(b+c),注意：公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式,整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法。,針對性練習：把下列各式分解因式：,(1)12 x2y+18xy2(2)3x2-6xy+x(3) x2+xy-xz(4)2a(y -x)- 3b(x - y ),小明解的有誤嗎？,錯誤,注意：公因式要提盡。,正確解：原式=6xy(2x+3y),小亮解的有誤嗎？,當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是1。,錯誤,注意：某項提出莫漏1。,正確解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1),小華解的有誤嗎？,提出負號時括號里的項沒變號,錯誤,注意：首項有負常提負。,正確解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z),例2 用簡便方法計算： 0.8412+120.6-0.4412,解：0.8412+120.60.4412 =12（0.84+0.60.44） =121 =12,教師活動：引導學生觀察分析怎樣計算更為簡便？,(1) 13.80.125+86.21/8,(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.,解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5,解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15,針對性練習,2、確定公因式的方法：,小 結,3、提公因式法分解因式步驟(分兩步)：,1、什么叫因式分解？,(1)定系數 (2)定字母 (3)定指數,第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.,4、提公因式法分解因式應注意的問題：,（1）公因式要提盡；,（2）某想提出莫漏1;,（3）提出負號時,要注意變號.,1、下列變形中是因式分解的是（ ）A、x(x+1)=x2+x B、x2+2x+1=(x+1)2C、x2+xy-3=x(x+y)-3 D、x2+6x+4=(x+3)2-52、分解因式（1）14a3b-21a2b2c (2)2m(m+n)+6n(m+n)3、已知x-y=3,x+y=7，求x(x-y)-y(y-x)的值,目標檢測,1.3 公式法(1),溫故知新,1）,2）,3）,觀察以上式子是滿足什么乘法公式運算？ 以上式子的右邊的多項式有什么共同點？,（整式乘法）,（分解因式）,整式乘法,單項式乘以單項式,單項式乘以多項式,多項式乘以多項式,與分解因式無關,(a+b)(a-b)=a2-b2,與分解因式有關,乘法公式,平方差公式,完全平方公式,a2-b2=(a+b)(a-b),x2-25,= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2,= (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y),判斷下列各式能否用平方差公式分解因式：,(1) a2+4b2 ( ) (2) -x2-4y2 ( ) (3) x-4y2 ( ) (4) -4+0.09m2 ( ),具備什么特征的多項式是平方差式?,答：一個多項式如果是由兩項組成，兩部分是兩個式子(或數)的平方，并且這兩項的符號為異號.,運用a2-b2=(a+b)(a-b)公式時,如何區(qū)分a、b?,答:平方前符號為正，平方下的式子（數）為 平方前符號為負，平方下的式子（數）為,觀察與思考,(1)多項式 和 他們有什么共同特征?,(2)嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積,并與同伴交流.,例1:把下列各式分解因式,=(4+5x)(4-5x),第一步，將兩項寫成平方的形式；找出a、b第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式,第一步，將兩項寫成平方的形式；找出a、b第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式,當首項前有負號時.第一步，連同符號交換位置.第二步，將兩項寫成平方的形式；找出a、b第三步，利用 a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式,例2 :把下列各式分解因式,(3)a4-b4,=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n),=(3m+n)(m+3n),通過做第(2)小題你總結出什么經驗來了嗎?,分解因式時,通常先考慮是否能提公因式,然后再考慮能否進一步分解因式.,通過做第(2)小題你總結出什么經驗來了嗎?,當多項式的各項含有公因式時,通常先提出這個公因式,然后再進一步分解因式.,(3)解:a4-b4,=(a2-b2)(a2+b2),=(a+b)(a-b)(a2+b2),通過做第(3)小題你總結出什么嗎?,分解因式一直到不能分解為止.所以分解后一定檢查括號內是否能繼續(xù)分解.,練習: 把下列各式分解因式:,(3) 4(x-y)2-1;(4) 9(m+n)2-4(m-n)2.,(5) 2x3-8x;,解：,（4）9(m+n)2(m-n)2,9(m+n)2(m-n)2,3(m+n)2(m-n)2,3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n),(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n),(4m+2n) (2m+4n),4 (2m+n) (m+2n),小 結,1.具備什么特征的多項式是平方差式?,一個多項式如果是由兩項組成，兩部分是兩個式子(或數)的平方，并且這兩項的符號為異.,2.運用a2-b2=(a+b)(a-b)公式時,如何區(qū)分a、b?,平方前符號為正，平方下的式子（數）為 平方前符號為負，平方下的式子（數）為,3.分解因式時,通常先考慮是否能提公因式,然后再考慮能否進一步分解因式.,4.分解因式一直到不能分解為止.所以分解后一定檢查括號內是否能繼續(xù)分解.,思考: 把下列各式分解因式,(1)a2(m-n)-b2(n-m);(2)625x4(a-1)-a+1.,反思總結,1、今天主要學習了利用平方差公式進行因式分解,2、當多項式的各項有公因式時,通常先提出這個公因式,然后進行因式分解,在多項式x+y, x-y ,-x+y, -x -y中,能利用平方差公式分解的有( )A 1個 B 2個 C 3個 D 4個,B,練習,(1)x+y=(x+y)(x+y) ( )(2)x-y=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x+y=(-x+y)(-x-y)( ) (4)-x-y =-(x+y)(x-y)( ),判斷正誤,16-x分解因式( ),A.(2-x) B.(4+x)(4-x) C.(4+x)(2+x)(2-x) D.(2+x)(2-x),C,拓展 練習,如果 ，并且,x，y都自然數，求x，y的值。,例1 下列分解因式是否正確？為什么？如果不正確，請給出正確的結果。,例2 分解因式：,若,求,的值,做一做,2、如圖，在一塊邊長為 acm 的正方形的四角，各剪去一個邊長為bcm的正方形，求剩余部分的面積。如果a=3.6