第十三章 軸對(duì)稱,13.3等腰三角形第1課時(shí),1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).(重點(diǎn))2.經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過程，能初步運(yùn)用 等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題.(難點(diǎn)),學(xué)習(xí)目標(biāo),導(dǎo)入新課,等腰三角形,情境引入,定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.,底邊,講授新課,剪一剪：把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中的紅線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？,互動(dòng)探究,等腰三角形的性質(zhì),A,B,C,AB=AC,等腰三角形,折一折：ABC 是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？,折痕所在的直線是它的對(duì)稱軸.,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.,找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.,A,C,B,D,AB與AC,BD與CD,AD與AD,B 與C,BAD 與CAD,ADB 與ADC,猜一猜： 由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.,A,B,C,已知：ABC中，AB=AC,求證：B=C.,思考：如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？,猜想:等腰三角形的兩個(gè)底角相等,如何證明兩個(gè)角相等呢？,可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”來(lái)證,已知： 如圖，在ABC中，AB=AC.求證： B= C.,D,證明：,作底邊的中線AD， 則BD=CD.,AB=AC ( 已知 )，,BD=CD ( 已作 )，,AD=AD (公共邊)，, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底邊上的中線,還有其他的證法嗎？,已知： 如圖，在ABC中，AB=AC.求證： B= C.,D,證明：,作頂角的平分線AD，則BAD=CAD.,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共邊), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).,方法二：作頂角的平分線,在BAD和CAD中,想一想：由BAD CAD，除了可以得到B= C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？,解：BAD CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ，即AD是等腰ABC底邊BC上的中線、頂角BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .,D,性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).,如圖,在ABC中, AB=AC(已知),B=C(等邊對(duì)等角).,證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.,總結(jié)歸納,性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.,AB=AC, 1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三線合一）.,AB=AC, BD=CD (已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三線合一）.,AB=AC, ADBC(已知)，BD=CD, 1=2（等腰三角形三線合一）.,綜上可得：如圖,在ABC中,1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、 鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.,（X）,（X）,（X）,（X）,（）,明辨是非,（）,例1 如圖，在ABC中 ，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù).,典例精析,分析：（1）找出圖中所有相等的角；,（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,（3）觀察BDC與A、ABD的關(guān)系，ABC、C呢？,BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.,（4）設(shè)A=x,請(qǐng)把 ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來(lái)., A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 ,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC， A=ABD.設(shè)A=x,則BDC= A+ ABD=2x,從而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 ，在ABC中， A=36，ABC=C=72.,在含多個(gè)等腰三角形的圖形中求角時(shí)，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.,歸納,如圖，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度數(shù).,解：AB=AD=DC B= ADB，C= DAC 設(shè) C=x，則 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x， 在ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得 2x+x+26+x=180， 解得x=38.5. C= x=38.5， B=2x=77.,針對(duì)訓(xùn)練：,例2 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50，則這個(gè)三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40C65或80 D50或80,解析：當(dāng)50的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50；當(dāng)50的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65.故選A.,A,方法總結(jié)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論,例3 已知點(diǎn)D、E在ABC的邊BC上，ABAC.(1)如圖，若ADAE，求證：BDCE；(2)如圖，若BDCE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，求證：AFBC.,典例精析,證明：(1)如圖，過A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,圖,圖,G,方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線,當(dāng)堂練習(xí),2.如圖，在ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作ADBC，若1=70，則BAC的大小為（）A40 B30 C70 D50,A,1.等腰三角形有一個(gè)角是90，則另兩個(gè)角分別是（）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70,B,3.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75,它的另外兩個(gè)角為_ _；(2)等腰三角形一個(gè)角為36,它的另外兩個(gè)角為_；(3)等腰三角形一個(gè)角為120,它的另外兩個(gè)角為_ _ _.,75, 30,72,72或36,108,30，30,4.在ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50，則底角的大小為_,70或20,注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.,5.如圖，在ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點(diǎn)， B = 30，求 BAD 和 ADC的度數(shù).,解：AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，, C= B=30，BAD = DAC，ADC = 90., BAC =180 - 30-30 = 120., = 60.,6.如圖，已知ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且DBCF，求證：ECDF.,DBCECB.DBCF，ECBF，ECDF.,證明：ABC為等腰三角形，ABAC，,ABCACB.,又BD、CE為底角的平分線，,7.A、B是44網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)C的位置,分別以A、B、C為頂角頂點(diǎn)來(lái)分類討論！,8個(gè),這樣分類就不會(huì)漏啦！,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,拓展提升：,課堂小結(jié),等腰三角形的性質(zhì),等邊對(duì)等角,三線合一,注意是指同一個(gè)三角形中,注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).,第十三章 軸對(duì)稱,13.3等腰三角形第2課時(shí),1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重點(diǎn)）2.掌握等腰三角形的判定定理，并運(yùn)用其進(jìn)行證明和計(jì)算.（難點(diǎn)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),導(dǎo)入新課,情境引入,在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個(gè)底角C，請(qǐng)問，有沒有辦法把原來(lái)的等腰三角形畫出來(lái)？,A,B,C,A,思考：如圖，在ABC中，如果B=C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？,我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.,3cm,3cm,講授新課,A,B,C,如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得B=C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？,互動(dòng)探究,等腰三角形的判定,已知：如圖，在ABC中, B=C,那么它們所對(duì)的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?,建立數(shù)學(xué)模型：,做一做：畫一個(gè)ABC，其中B=C=30，請(qǐng)你量一量AB與AC的長(zhǎng)度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？,AB=AC,你能驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？,在ABD與ACD，,1=2，, ABD ACD.,B=C，,AD=AD，,AB=AC.,過A作AD平分BAC交BC于點(diǎn)D.,證明：, AC=AB. ( )即ABC為等腰三角形.,B=C， ( ),知識(shí)要點(diǎn),等腰三角形的判定方法,如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.,已知,等角對(duì)等邊,在ABC中，,應(yīng)用格式：,(,(,這又是一個(gè)判定兩條線段相等的根據(jù)之一.,（等角對(duì)等邊）.,（等角對(duì)等邊）.,錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中.,辨一辨：如圖,下列推理正確嗎?,例1 求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形,已知： 如圖，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC,求證：AB=AC,證明：ADBC，1=B（兩直線平行，同位角相等）， 2=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又1=2， B=C， AB=AC（等角對(duì)等邊）,例2 已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點(diǎn)E.求證：AED是等腰三角形.,證明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,AE=DE(等角對(duì)等邊）, AED是等腰三角形.,例3 已知：如圖，ADBC，BD平分ABC.求證：AB=AD,證明： ADBC， ADB=DBC. BD平分ABC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD.,總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形,如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙沿著對(duì)角線折疊，重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？,B,C,A,D,E,變式訓(xùn)練,是,由折疊可知，EBD=CBD.,ADBC，EDB=CBD，,EDB=EBD，BE=DE，EBD是等腰三角形.,練一練：1.在ABC中，A和B的度數(shù)如下，能判定 ABC是等腰三角形的是（ ）A. A50，B70 B. A70，B40C. A30，B90D. A80，B60,B,2.如圖，已知OC平分AOB，CDOB，若OD3cm，則CD等于_.,3cm,例4 已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高的長(zhǎng)為h，求作這個(gè)等腰三角形.,a,h,作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB 于點(diǎn)D.3.在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h.4.連接AC，BC，則ABC即為所求.,C,D,例5 如圖，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高，AE是BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：CEF是等腰三角形,證明：在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB邊上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的平分線，BAEEAC，BBAEACDEAC，即CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形,方法總結(jié)：“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個(gè)三角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立,例6 如圖，在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)O.過O作EFBC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之間的關(guān)系.,解：EF=BE+CF.理由如下： EFBC,EOB=CB