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1、工程數(shù)學(xué)作業(yè)（一）答案（滿分 100 分）第 2 章矩陣（一）單項(xiàng)選擇題（每小題2 分，共 20 分）a1設(shè)b1a2b2a1a3b3 2，則2a1 3b1a22a2 3b2a32a3 3b3（D）c1c2c3c1c2c3A.4B.4C.6D.60001若00a00200 1，則a（A）100aA.12B.1C.12D.1乘積矩陣1312410521中元素c23（C）A.1B.7C.10D.8設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則下列運(yùn)算關(guān)系正確的是（B）A.A B1 A1 B1B.(AB)1 BA1C.(A B)1 A1 B1D.(AB)1 A1B1設(shè)A,B均為n階方陣，k 0且k 1，則下列等式正確的

2、是（DA.A B A BB.AB n A BC.kA k AD.kA (k)nA下列結(jié)論正確的是（A）A.若A是正交矩陣，則A1也是正交矩陣B.若A,B均為n階對(duì)稱矩陣，則AB也是對(duì)稱矩陣C.若A,B均為n階非零矩陣，則AB也是非零矩陣D.若A,B均為n階非零矩陣，則AB 0矩陣3125的伴隨矩陣為（C）A.3 125B.1325）53C.D.2153 21方陣A可逆的充分必要條件是（B）A.A 0B.A 0C.A*0D.A*0設(shè)A,B,C均為n階可逆矩陣，則(ACB)A.(B)11（D）1A1C1B.BC1A11111C.A C(B)D.(B)CA1設(shè)A,B,C均為n階可逆矩陣，則下列等式成

3、立的是（A）A.(A B)A 2AB BB.(A B)B BA BC.(2ABC)12222 2C1B1A1D.(2ABC)2CBA（二）填空題（每小題2 分，共 20 分）211401100 7110111x是關(guān)于x的一個(gè)一次多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式一次項(xiàng)的系數(shù)是 2115若A為34矩陣，B為25矩陣，切乘積ACB有意義，則C為54矩陣1115二階矩陣A 0101 12120設(shè)A 40,B，則(A B)31434063518設(shè)A,B均為 3 階矩陣，且A B 3，則2AB 7212設(shè)A,B均為 3 階矩陣，且A 1,B 3，則3(AB)3若A 1a為正交矩陣，則a 001212矩陣402的秩為20

4、33A1設(shè)A1,A2是兩個(gè)可逆矩陣，則O（三）解答題（每小題8 分，共 48 分）設(shè)A O A21A11OO1A2 121154，求A B；AC；2A3C；,B,C 354331A5B；AB；(AB)C171603662A 3C A C 答案：答案：A B 3718042622 77 5621A 5B AB(AB)C 231215180120114121103321，求AC BC,B,C 設(shè)A 211012002114024 6 410解解：AC BC(A B)C 3 21 2210201 002 310 102已知A 121,B 111，求滿足方程3A2X B中的X342211解解：3A2X

5、 B3412 83 2115X(3A B)252 11 22271157115222寫出 4 階行列式1103024325110630中元素a41,a42的代數(shù)余子式，并求其值020120答案答案：a41(1)41436 0a42(1)42136 45253053用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣：234 0122 123121000212；221 1111；110101026111111解：（11221002210020 21A|I21 2 0102r r1 3 6 2103r2r112r11r232r2r30 3 6 322 2100010 6 3 201009213r212122 110 2

6、330r9923r1100 99r30122102r3r2001301021223210019999992921 99122 9 A19219299219 929922 6 2617 1000（2）A11752013110(過程略)(3)A101021 0110415300111011011求矩陣11011001012101的秩2113201解解）23010 21：11120 11011r r1120r1r31011002r r4100 1210 111320 101011011 0 11 0 11 1r3r40001110 00000001 1011 0111r r240001110 11

7、12210011011 11 0 11 1001110 00111001101R(A)3（四）證明題（每小題4 分，共 12 分）對(duì)任意方陣A，試證A A是對(duì)稱矩陣證明：證明：(A A)A(A)AA A AA A是對(duì)稱矩陣若A是n階方陣，且AA I，試證A 1或1證明證明：A是n階方陣，且AA IAA A A A I 12A 1或A 1若A是正交矩陣，試證A也是正交矩陣證明：證明：A是正交矩陣A1 A(A)1(A1)1 A (A)即A是正交矩陣工程數(shù)學(xué)作業(yè)（第二次）(滿分 100 分)第 3 章線性方程組（一）單項(xiàng)選擇題(每小題 2 分，共 16 分)x1 2x2 4x3 1x1為（C）x2

8、x3 0的解x用消元法得2 x3 2x3A.1,0,2B.7,2,2C.11,2,2D.11,2,2x1 2x2 3x3 2線性方程組x1 x3 6（B）3x 3x 423A.有無窮多解B.有唯一解C.無解D.只有零解1 0 0 1 3 向量組0,1,0,2,0的秩為（A）00114A.3B.2C.4D.510111001設(shè)向量組為1,2,3,4，則（B）是極大無關(guān)組0111 010 1A.1,2B.1,2,3C.1,2,4D.1A與A分別代表一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個(gè)方程組無解，則（D）A.秩(A)秩(A)B.秩(A)秩(A)C.秩(A)秩(A)D.秩(A)秩(A)1若某個(gè)線

9、性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A）A.可能無解B.有唯一解C.有無窮多解D.無解以下結(jié)論正確的是（D）A.方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有解B.方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有唯一解C.方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有無窮多解D.齊次線性方程組一定有解若向量組1,2,s線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（A）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出A.至少有一個(gè)向量B.沒有一個(gè)向量C.至多有一個(gè)向量D.任何一個(gè)向量9 設(shè) A，為n階矩陣，既是又是的特征值，x既是又是的屬于的特征向量，則結(jié)論（）成立是 AB 的特征值是 A+B 的特征值是 AB 的特征值x是 A+B 的屬

10、于的特征向量10設(shè)，為n階矩陣，若等式（）成立，則稱和相似AB BA(AB)ABPAP1 BPAP B（二）填空題(每小題 2 分，共 16 分)x1 x2 0當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組有非零解x x 021向量組10,0,0,21,1,1線性 相關(guān)向量組1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是設(shè)齊次線性方程組1x12x23x3 0的系數(shù)行列式123 0，則這個(gè)方程組有無窮多解，且系數(shù)列向量1,2,3是線性 相關(guān)的向量組11,0,20,1,30,0的極大線性無關(guān)組是1,2向量組1,2,s的秩與矩陣1,2,s的秩相同設(shè)線性方程組AX 0中有 5 個(gè)未知量，且秩(A)3，則其基礎(chǔ)解系中線性

11、無關(guān)的解向量有個(gè)設(shè)線性方程組AX b有解，X0是它的一個(gè)特解，且AX 0的基礎(chǔ)解系為X1,X2，則AX b的通解為X0 k1X1 k2X29若是的特征值，則是方程I A 0的根10若矩陣滿足A1 A，則稱為正交矩陣（三）解答題(第 1 小題 9 分，其余每小題 11 分)1用消元法解線性方程組x1 3x2 2x3 x43x 8x x 5x12342x1 x2 4x3 x4 x1 4x2 x3 3x4解解 6 0 12 2：13216 3r r13216 3r r1122138102r1r35r2r350017818r rr r1414A 21411205810 0141320134804817

12、818027399001012260192310003r4r31 r420 19100735 48110 r38183 0312 6130230 1923 4819r r13107r3r2178185r r43 00114 05613000421241015 460114001133110r411 00004212442r r141015r4r21015 46r4r3 00114001302 x1 21001方程組解為x2 10101 x3 10013x4 3000設(shè)有線性方程組11x 1 11y 2 11z 為何值時(shí)，方程組有唯一解?或有無窮多解?112r r11111 12rr1r31r3

13、A 11 110112111011211解：解：1122r3r 011(1)200(2)(1)(1)(1)當(dāng)1且 2時(shí)，R(A)R(A)3，方程組有唯一解當(dāng)1時(shí)，R(A)R(A)1，方程組有無窮多解判斷向量能否由向量組1,2,3線性表出，若能，寫出一種表出方式其中2213 8 2 3 53756,1,2,3 7 1 0 3 10321解解：向量能否由向量組1,2,3線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組1x12x23x3有解 2358 175 630這里A 1,2,3,10037 3 21100R(A)R(A)方程組無解不能由向量1,2,3線性表出計(jì)算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān)713

14、410101170057103 1 3 111739 1 2,2 8,3 0,4 6 393341336311 111 7390解解：1,2,3,4 2 0806 39330413360該向量組線性相關(guān)求齊次線性方程組31100010001 21800 x1 3x2 x3 2x4 05x x 2x 3x 01234 x111x2 2x35x4 0 4x4 03x15x2的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：解：131 25r r1311251 23r1r301433r r41A1112501435043014311r214r3r40000100514314001 12113r3023000010051431400

15、5 23r2r1101414r2r3 7r2r40143 7000100001 1r r12213112r3r2 02100001005143140012 70 3001055 x x31141433方程組的一般解為x2x3令x31，得基礎(chǔ)解系14140 x4 01求下列線性方程組的全部解x15x2 2x33x x 4x123 x1 9x25x1 3x2 6x3解解 3x4 11 2x4 5 4x4 17 x4 1：1523113r r1521231425r1r301425r r41A 1 90417014253611028411r214 000971170000012120011 5r2r1

16、1014r2r37282r2r4 014728 001456003911722728000 000171x x x411392 2方程組一般解為x 1x 1x 20234720令x3 k1，x4 k2，這里k1，k2為任意常數(shù)，得方程組通解177 1 k k211x192 1 92x111 212k1k2 2 k k21x3 72 7 2 0 k110 x4010k2試證：任一維向量a1,a2,a3,a4都可由向量組111101111，2，3，4 1001 1000線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式10000100證明：證明：1 21 32 43 1000 000 1 任一維向量可唯一表示為a11000a01002 a1 a2 a3 a4 a11 a2(21)a3(32)a4(43)a30010 a000 14(a1 a2)1(a2 a3)2(a3 a4)3 a44試證：線性方程組有解時(shí)，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解證明：證明：設(shè)AX B為含n個(gè)未知量的線性方程組該方程組有解，即R(A)R(A)n從而AX B有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)R(A)n而相應(yīng)齊次線性方