新人教A版高中數(shù)學必修第一冊教學課件合集第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪,必備知識自主學習,1.n次方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.可用下表表示：,提示：不一定.當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，且互為相反數(shù)，當n為奇數(shù)時，正數(shù)a的n次方根只有一個且仍為正數(shù).,2.根式(1)式子 叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：當n1，nN*時，( )n=_； =,a,【思考】式子( )4與 中的a的范圍一樣嗎？提示：不一樣，式子( )4中a0， 中aR.,3.分數(shù)指數(shù)冪的意義(a0，m，nN*，且n1),【思考】分數(shù)指數(shù)冪中，為什么規(guī)定底數(shù)a0？提示：當a=0時，a0及a的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義；當a0時，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，則 無意義.,4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a0，b0，r，sQ)(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.,【思考】同底數(shù)冪相除aras，同次的指數(shù)冪相除 分別等于什么？提示：(1)aras=ar-s；(2) .,【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“”，錯的打“”)(1) =-2.()(2)aR，(a2+1)0=1.()(3) .(),提示：(1). =2.(2).aR，a2+10，所以有(a2+1)0=1.(3). .,2.下列運算中正確的是()A.a2a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.( -1)0=1D.(-a2)5=-a10,【解析】選D.a2a3=a2+3=a5，(-a2)3=-a23=-a6，(-a3)2=a6，當a=1時，( -1)0無意義，(-a2)5=-a10.,3.(教材二次開發(fā)：習題改編) =_.【解析】 =|x-2|= 答案：,關(guān)鍵能力合作學習,類型一n次方根的概念及相關(guān)的應用(數(shù)學運算)【題組訓練】 1. 的值為()A.-6B.2 -2C.2 D.6,2.把(a-1) 根號外的(a-1)移到根號內(nèi)等于(),3.若 ，則實數(shù)a的取值范圍是_.【解析】1.選A. -4, 所以原式=-6+4- -4=-6.2.選C.由 0，得a1，則a-10，所以(a-1)3.因為 所以1-3a0，所以a .答案：,【解題策略】根式化簡與求值的思路及注意點(1)思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行化簡.(2)注意點：正確區(qū)分( )n與 兩式.運算時注意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運用，必要時要進行討論.,【補償訓練】若n0，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.,類型二根式的化簡、分數(shù)指數(shù)冪求值(數(shù)學運算)【典例】1.化簡 的結(jié)果是() A. B. C.3 D.52. (a0)的分數(shù)指數(shù)冪表示為() D.都不對,3.化簡 (a0)的結(jié)果是(),【思路導引】1. 2.從里向外依次化為指數(shù)式.3.化為指數(shù)式后利用指數(shù)運算性質(zhì)計算.,【解析】1.選A.原式= 2.選A. 3.選B.,【解題策略】 根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的方法及思路(1)方法：根指數(shù) 分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù) 分數(shù)指數(shù)的分子.(2)思路：在具體計算中，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題.提醒：如果根式中含有多重根號，要由里向外用分數(shù)指數(shù)冪寫出.,【跟蹤訓練】1.求值 =_.【解析】原式= 答案：,2.用分數(shù)指數(shù)冪表示a =_.【解析】原式=a 答案：,類型三分數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)的應用(數(shù)學運算) 角度1化簡問題【典例】(2020衡陽高一檢測) =_.(式中的字母均是正數(shù)) 【思路導引】將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，然后進行運算.,【解析】原式= 答案：,【變式探究】將本例中的式子變?yōu)?，試計算.【解析】原式=5(-4),角度2求值問題【典例】計算： 【思路導引】將各個因式求值后計算.【解析】原式= -1+2=2.,【解題策略】關(guān)于指數(shù)式的化簡、求值問題(1)無論是化簡還是求值，一般的運算順序是先乘方，再乘除，最后加減.(2)仔細觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，確定運算層次，避免運用運算形式時出錯.,【跟蹤訓練】計算下列各式：(1)(2020南通高一檢測) (2),【解析】(1)原式= (2)=2(-3)(-6) =x2y.,課堂檢測素養(yǎng)達標,1.下列各等式中成立的是()A. (a0)B. (a0)C. (a0)D. (a0)【解析】選B.由于a0，又因為 ， ， ， ，所以成立的是 .,2.若x3，則 -|x-6|的值是()A.-3B.3C.-9D.9【解析】選A.若x3，則x-30，x-60，所以 -|x-6|=|x-3|-|x-6|=3-x+x-6=-3.,3.設a0，將 表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()【解析】選C.由題意,4.(教材二次開發(fā)：練習改編)計算( )6b2=_.【解析】( )6b2=a3b-2b2=a3.答案：a3,5. -(1-0.5-2) 的值為_.【解析】原式=1-(1-22) =1-(-3) = .答案：,核心知識,方法總結(jié),易錯提醒,核心素養(yǎng),轉(zhuǎn)化法：根式的運算轉(zhuǎn)化為冪的運算，最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為根式,4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì),必備知識自主學習,1.無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪a(a0，是無理數(shù))是一個_實數(shù).,確定的,【思考】 為什么規(guī)定底數(shù)a0？提示：規(guī)定底數(shù)大于零是必要的，否則會出現(xiàn) ，就無法確定是1還是-1.,2.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a0，b0，r，sR)(1)aras=_.(2)(ar)s=_.(3)(ab)r=_.,ar+s,ars,arbr,【思考】指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪的？提示：,【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“”，錯的打“”)(1) 是一個確定的實數(shù).()(2)指數(shù)冪a的指數(shù)只能取無理數(shù).()(3) =8.(),提示：(1).由無理數(shù)指數(shù)冪的定義知正確.(2).可取任意實數(shù).(3). =23=8.,2.計算： =_.【解析】 =53=125.答案：125,3.(教材二次開發(fā)：練習改編)計算： a-2=_.【解析】 答案：,關(guān)鍵能力合作學習,類型一無理數(shù)指數(shù)冪的運算(數(shù)學運算)【題組訓練】 1.計算 a-=_.【解析】原式= =a0=1.答案：1,2.計算下列各式的值(1) .(2) (a0).(3) . 【解析】(1)原式= =2932=4 608.(2)原式= =a0=1.(3)原式= =.,【解題策略】關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)相同；(2)若式子中含有根式，一般底數(shù)中的根式化為指數(shù)式，指數(shù)中的根式可以保留直接運算.,類型二實際問題中的指數(shù)運算(數(shù)學建模)【典例】(2020重慶高一檢測)在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科.可是由于當時常量數(shù)學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間.例如計算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾發(fā)明了一種計算特殊多位數(shù)之間乘積的方法.讓我們來看看下面這個例子：,這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對應冪.如果我們要計算第二行中兩個數(shù)的乘積，可以通過第一行對應數(shù)字的和來實現(xiàn).比如，計算64256的值，就可以先查第一行的對應數(shù)字：64對應6，256對應8，然后再把第一行中的對應數(shù)字加起來6+8=14；第一行中的14，對應第二行中的16 384，所以有64256=16 384.按照這樣的方法計算16 38432 768=()A.134 217 728B.268 435 356C.536 870 912D.513 765 802,【思路導引】根據(jù)題中的運算方法結(jié)合指數(shù)運算的性質(zhì)計算.【解析】選C.由題知，因為16 384對應14，32 768對應15，而14+15=29，第一行中的29，對應第二行中的536 870 912，所以有16 38432 768=536 870 912.,【解題策略】指數(shù)運算在實際問題中的應用在成倍數(shù)遞增(遞減)、固定增長率等問題中，常常用到指數(shù)運算，用來計算增減的次數(shù)、增減前后的數(shù)量等.,【跟蹤訓練】從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應倒_次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.【解析】由題意，第n次操作后溶液的濃度為 ；令 ，驗證可得n4.所以至少應倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.答案：4,【補償訓練】某林場計劃第一年造林10 000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林()A.14 400畝B.172 800畝C.20 736畝D.17 280畝【解析】選D.設年份為x，造林畝數(shù)為y，則y=10 000(1+20%)x-1，所以x=4時，y=17 280(畝).,類型三實數(shù)指數(shù)冪運算的綜合應用(邏輯推理、數(shù)學運算) 角度1求值問題【典例】(2020海安高一檢測)已知x+x-=2 ，x1，0，則x-x-=_.【思路導引】利用平方關(guān)系構(gòu)造x2+x-2，整體代入求值.,【解析】由x1，0，得xx-，由x+x-=2 ，得x2+2+x-2=20，所以x2+x-2=18，所以x-x-= =-4.答案：-4,【變式探究】將本例的條件變?yōu)椤癮+ =5”，試求a2+a-2.【解析】根據(jù)題意，a+ =5，則 =a2+ +2=25，所以a2+a-2=a2+ =25-2=23.,角度2化簡問題【典例】化簡： =_.【思路導引】將帶分數(shù)化為假分數(shù)，根號化為指數(shù)后運算.【解析】 答案：2a,【解題策略】解決條件求值問題的步驟,【題組訓練】 1.已知am=4，an=3，則 的值為()A. B.6C. D.2【解析】選A.,2.已知 =3，計算： 【解析】由 =3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.所以 =4.,課堂檢測素養(yǎng)達標,1.下列能正確反映指數(shù)冪的推廣過程的是()A.整數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪B.有理數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪C.整數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪D.無理數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪【解析】選A.指數(shù)冪的推廣過程：整數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪.,2.計算 的結(jié)果是()A. B. C.-D. 【解析】選D. =-1= .,3.將 化為分數(shù)指數(shù)冪為() 【解析】選D.,4.(教材二次開發(fā)：練習改編)計算 =_.【解析】原式= =24m2=16m2.答案：16m2,5.計算 =_.【解析】原式=3- =3-2=1.答案：1,整體思想：解決條件求值問題時，從整體上把握已知條件和所求代數(shù)式之間的聯(lián)系,數(shù)學運算：通過指數(shù)冪運算的綜合應用，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng),解決條件求值問題時，易在因式的正負號的取舍上出錯,4.2指 數(shù) 函 數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念,必備知識自主學習,1.指數(shù)函數(shù)(1)定義：函數(shù)_叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)特征：a0，且a1；ax的系數(shù)為1；自變量x的系數(shù)為1.,y=ax(a0，且a1),【思考】當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a=0，a=1，a0時，ax恒等于0，沒有研究的必要；當x0時，ax無意義.(2)如果a0，且a1.,2.指數(shù)增長模型(1)定義：設原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y= _(2)應用：刻畫指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律.,N(1+p)x(xN).,【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“”，錯的打“”)(1)y=x4是指數(shù)函數(shù).()(2)y=ax一定是指數(shù)函數(shù).()(3)y=10 000 是刻畫指數(shù)增長變化規(guī)律的函數(shù)模型.(),提示：(1).y=x4不是指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是常數(shù).(2).指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a0，且a1.(3).y=10 000 是刻畫指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型.,2.下列各項對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的理解正確的有()底數(shù)a0；指數(shù)x