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1、函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律一、 同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)1、 周期性：對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。2、 對稱性定義（略），請用圖形來理解。3、 對稱性：我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式 奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式 上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答案是肯定的 探討：（1）函數(shù)關(guān)于對稱 也可以寫成 或 簡證：設(shè)點在上，通過可知，即點上，而點與點關(guān)于x=a對稱

2、。得證。 若寫成：，函數(shù)關(guān)于直線 對稱 （2）函數(shù)關(guān)于點對稱 或 簡證：設(shè)點在上，即，通過可知，所以，所以點也在上，而點與關(guān)于對稱。得證。 若寫成：，函數(shù)關(guān)于點 對稱 （3）函數(shù)關(guān)于點對稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，即關(guān)于任一個值，都有兩個y值與其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會出現(xiàn)關(guān)于對稱，比如圓它會關(guān)于y=0對稱。4、 周期性： （1）函數(shù)滿足如下關(guān)系系，則 A、 B、 C、或（等式右邊加負(fù)號亦成立） D、其他情形 （2）函數(shù)滿足且，則可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對稱，則函數(shù)一

3、定是周期函數(shù)” （3）如果奇函數(shù)滿足則可以推出其周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上） 如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為，根據(jù)可以推出對稱軸為 （以上） （4）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理4：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理5：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.二、 兩個函數(shù)的圖象對稱性1、 與關(guān)于X軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。2、 與關(guān)于Y軸對稱。換種說法

4、：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。3、 與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。4、 與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。5、 關(guān)于點(a,b)對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于點(a,b)對稱。6、 與關(guān)于直線對稱。7、 函數(shù)的軸對稱：定理1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.推論1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.推論2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線（y軸）對稱.特別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡化.8、 函數(shù)的點對稱：定理2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.推論3：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.推論4：如果函

5、數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.特別地，推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù)，在對稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。四、試題1已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果，且，則的值（A ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能為0 D可正可負(fù).分析：形似周期函數(shù)，但事實上不是，不過我們可以取特殊值代入，通過適當(dāng)描點作出它的圖象來了解其性質(zhì).或者，先用代替，使變形為.它的特征就是推論3.因此圖象關(guān)于點對稱.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個單位.，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

6、所以，又由，有，.選A.當(dāng)然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為A.2：在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則( B )A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)分析：由可知圖象關(guān)于對稱，即推論1的應(yīng)用.又因為為偶函數(shù)圖象關(guān)于對稱，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合在區(qū)間上是減函數(shù)，可得如右草圖.故選B3.定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為，則可能為（ D ） A.0 B.1C.3D.5 分析

7、：， ，則可能為5，選D.4已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，且當(dāng)時，.求的值.分析：由推論1可知，的圖象關(guān)于直線對稱，即，同樣，滿足，現(xiàn)由上述的定理3知是以4為周期的函數(shù).，同時還知是偶函數(shù)，所以.5，則，中最多有（ B ）個不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的圖像關(guān)于直線對稱，故這些值可以在中找到.又的圖像關(guān)于直線對稱，故這些值可以在中找到.共有177個.選B. 6：已知，則（ A ）.A. B. C. D.3 分析：由，知，.為迭代周期函數(shù)，故，.選A.7：函數(shù)在R上有定義，且滿足是偶函數(shù)，且，是奇函數(shù)，則的值為 .

8、解：，令，則，即有，令，則，其中，. 或有，得.8設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則（ c ）A0B1CD5分析：答案為B。先令f（1）= f（-1+2）=f（-1）+f（2）=1/2，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得f（-1）=-1/2，所以，f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案為c。9 設(shè)f（x）是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f（x）在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則下面正確的結(jié)論是 （ B ）(A)； (B)；(C)； (D)分析：答案為B。做這種帶周期性、單調(diào)性的試題，通常的做法是將f（x）設(shè)成正弦或余弦函數(shù)，具體到本題，可

9、將f（x）設(shè)成正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，令其周期為6，通過平移使其滿足在（0,3）內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)圖像，即可求出，答案為B。10設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（C）A. B. C. D.分析：答案為C. 本題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 11：已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減. 證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0

10、,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù).12. 已知函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函

11、數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值. 證明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時，f (x)=-3x，從而當(dāng)時，故時，f (x)= -3x，當(dāng)時，有，0. 當(dāng)時，13設(shè)（）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱對任意，都有（）（）（），且f(1)=()求；()證明（）是周期函數(shù)；（）記（），求()解：因為對，都有（）（）（x）,所以（）0， ()證明：依題設(shè)（）關(guān)于直線對稱，故（）（），即（）（），R又由（）是偶函數(shù)知（）（），R，（）（），R，將上式中以代換，得

12、（）（），這表明（）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期. （）解：由()知（）， （）的一個周期是2（）=（）,因此an=函數(shù)對稱性與周期性幾個重要結(jié)論賞析湖南 周友良 黃愛民【】【】對稱性和周期性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，下面總結(jié)這兩個性質(zhì)的幾個重要結(jié)論及運(yùn)用它們解決抽象型函數(shù)的有關(guān)習(xí)題。一、幾個重要的結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）1、函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。2、函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線對稱。4、如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)。5、如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。6、如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、曲線與關(guān)于X軸對稱。2、曲線與關(guān)于Y軸對稱。3、曲線與關(guān)于直線對稱。4、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。5、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。6、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。7、曲線關(guān)于點對稱曲線為。二、試試看，練練筆1、定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時,則_。2、已知函數(shù)滿足，