數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用 近幾年來湖南高考考試講明〔物理〕中明確要求“能夠根據(jù)詳細(xì)問題找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)特點(diǎn)、規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)、求解和合理外推，并根據(jù)結(jié)果做出物理判定、進(jìn)行物理解釋或得出物理結(jié)論……〞 本文僅就筆者多年教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)歷，著重談?wù)剶?shù)學(xué)方法在中學(xué)物理教學(xué)中多方面的運(yùn)用及其應(yīng)該注意的一些問題。 一、數(shù)學(xué)知識(shí)是物理概念的定義工具，和物理定律、原理的推導(dǎo)工具在物理中，用數(shù)學(xué)知識(shí)來定義物理概念、表達(dá)物理規(guī)律的最簡(jiǎn)潔、最準(zhǔn)確、最概括、最深入的語言。很多物理概念和規(guī)律都要以數(shù)學(xué)形式〔公式或圖像〕來表述，也只要利用了數(shù)學(xué)表述，才便于進(jìn)一步運(yùn)用它來分析、推理、論證，才能廣泛地定量地講明問題和解決問題。 1.用數(shù)學(xué)的方法來定義物理概念 在此僅以兩例來講明. (1)在中學(xué)物理中常用到的比值定義法.所謂比值定義法就是用兩個(gè)基本的物理量的“比〞來定義一個(gè)新的物理量的方法。比值法定義的基本特點(diǎn)是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變。如:密度、壓強(qiáng)、速度、加速度,功率、電場(chǎng)強(qiáng)度,電容等物理量的定義. (2)中學(xué)物理中的很多定律，例如電阻定律、歐姆定律、牛頓第二定律、氣體實(shí)驗(yàn)三定律，光的折射定律等都是從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過科學(xué)抽象為物理定律，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)語言把它表示為物理公式的。這是研 究物理的基本方法之一。 2.用數(shù)學(xué)知識(shí)來推導(dǎo)物理公式。 物理學(xué)中經(jīng)常利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究問題。以高中物理“直線運(yùn)動(dòng)〞這一章為例，就要用極限概念和圖像研究速度、加速度和位移；用代數(shù)法和三角法研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律和軌跡；用矢量運(yùn)算法則研究位移與速度的合成和分解等。另外，物理學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來推導(dǎo)物理公式或從基本公式推導(dǎo)出其它關(guān)系式，這樣既能夠使學(xué)生獲得新知識(shí)，又能夠幫助他們領(lǐng)會(huì)物理知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，加深理解。 二、用數(shù)學(xué)方法處理物理問題 在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)方法有圖像法、極值法、近似計(jì)算法、微元法等。 1、圖像法 物理圖像是一種非常形象的數(shù)字語言和工具，利用它能夠很好地描繪物理經(jīng)過，反映物理概念和規(guī)律，推導(dǎo)和驗(yàn)證新的規(guī)律。物理圖像不僅能夠使抽象的概念形象化，還能夠恰當(dāng)?shù)乇硎菊Z言難以表達(dá)的內(nèi)涵。用圖像解物理問題，不但迅速、直觀，還能夠避免復(fù)雜的運(yùn)算經(jīng)過。 例1、甲乙兩地相距kms6.1=，摩托車加速時(shí)的加速度為216.1sma=，減速時(shí)的加速度為224.6sma=摩托車從甲地往乙地所用最短時(shí)間為多 少？運(yùn)動(dòng)經(jīng)過中的最大速度為多少？ 解法一：用數(shù)學(xué)推導(dǎo)法。設(shè)摩托車加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1t，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為2t，減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3t，總時(shí)間為t，則： 3211tatavm==,211121tas=,22tvsm=,232321tas=,321ssss++=,312tttt--= 聯(lián)立以上六式并代入數(shù)據(jù)得：016006.1121=--ttt要使以上方程有解，須判別式0≥?，即：016004)6.1(2≥?-=?,所以st50≥，即最短時(shí)間為s50。 故有：0160080121=+-tt，解得：sttst10,0,40321===。 可見摩托車從甲地到乙地先加速s40,后緊接著減速s10到達(dá)乙地所用時(shí)間最短，勻速時(shí)間為零。最大速度為：smsmtavm64406.111=?==。 解法二：用圖象分析法。建立如圖1所示的 圖象， 圖象中梯形的“面積〞即為甲乙兩地的距離， 在保證“面積〞不變的情況下要使運(yùn)動(dòng)時(shí)間 變 小， 只要把梯形變成三角形。2)(21ttvsm+=，2211tata=,21ttt+= 聯(lián)立以上三式得：最短時(shí)間為st50=，最大速度為smvm64=。 歸納：比擬以上兩種分析方法，圖象法比解析法簡(jiǎn)單，是一種可取的方法。 2、極值法極值法是在物理模型的基礎(chǔ)上借助數(shù)學(xué)手段和方法，從數(shù)學(xué)的極值法角度進(jìn)行分析、歸納的數(shù)學(xué)處理方法。物理極值問題的 討論中常用的極值法有:三角函數(shù)極值法,二次函數(shù)的極值法,一元二次方程的判別式法等. 例2:質(zhì)量為m的物體放在地面上，它們間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求力與水平方向的夾角α為多大時(shí)最省力。 圖2 析與解:由于物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，隨著α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因此滑動(dòng)摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對(duì)象，受力分析如圖2所示。由于物體處于平衡狀態(tài)， 根據(jù)0=∑F得：NFFμα=cos〔1〕，mgFFN=+αsin〔2〕由〔1〕、〔2〕式得：) sin(1sincos2φαμμαμαμ++=+=mgmgF〔μφ1arctan=〕可見，當(dāng)090=+φα，即μαtanacr=時(shí)，1)sin(=+φα，F(xiàn)有最小值為：2min1μ μ+=mgF3、近似計(jì)算法. 物理計(jì)算中，常用一些數(shù)學(xué)近似公式： 如:當(dāng)θ很小時(shí)：θθθ≈≈tansin 借助上述公式結(jié)論，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。例3:在水下1m處放置一個(gè)小物塊，問當(dāng)從水面正上方向下看時(shí)，物體離水面為多少？ 解析: 水面下物體A所發(fā)出的光線經(jīng)水面折射， 其像點(diǎn)'A，光路如圖3所示. ''tanoAoo=γ,oA oo' tan=α 當(dāng)人眼從水面正上方往下看時(shí)， γ、α兩角都應(yīng)接近零度。因而有：圖3 γγsintan≈，ααsintan≈ 由光的折射定律，則有： ' ''' tantansinsinoAoAoA oooAoon==≈=αγαγ所以當(dāng)從水面正上方向下看時(shí)，物體離水面深度為n1米 4.微元法: 微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。它是將研究對(duì)象〔物體或物理經(jīng)過〕進(jìn)行無限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即“元經(jīng)過〞，進(jìn)行討論，每個(gè)“元經(jīng)過〞所遵循的規(guī)律是一樣的。對(duì)這些“元經(jīng)過〞進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。 例4:用微元法推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間關(guān)系。 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，其速度與時(shí)間圖線下面四邊形的面積能夠表示其位移。這一結(jié)論的得出就需要用微元法思想。 我們研究以初速度v0做做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的位移。物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖4所示。 圖4 把時(shí)間t分割成無數(shù)多個(gè)小的時(shí)間間隔△t，在v-t圖中，每一個(gè)時(shí)間間隔起始時(shí)刻的瞬時(shí)速度由相應(yīng)的縱坐標(biāo)表示。在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，我們以為物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)。在v-t圖中，各段位移能夠用一個(gè)又窄又高的小矩形的面積代表。每個(gè)小矩形的面積之和近似的代表物體在整個(gè)經(jīng)過中的位移。為了準(zhǔn)確一些，能夠把運(yùn)動(dòng)經(jīng)過劃分為更多的小段，如圖乙，用所有這些小段的位移之和，近似代表物體在整個(gè)經(jīng)過中的位移。從v-t圖上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面積之和代表物體的位移。能夠想象，假如把整個(gè)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過劃分得非常非常細(xì)，很多很多小矩形的面積之和就能非常準(zhǔn)確地代表物體的位移了。這時(shí)，“很多很多〞小矩形頂端的“鋸齒形〞就看不出來了，這些小矩形合在一起成了一個(gè)梯形OAPQ。梯形OAPQ的面積就代表做勻變速直線運(yùn) 動(dòng)的物體從0到t這段時(shí)間間隔的位移。圖中v-t直線下面的梯形OAPQ的面積(圖丙)是2024212atvRPAROQOAsss+=?+?=+=即位移：2024atvx+= 例5：〔江蘇，2024年高考卷15題〕如下圖，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為α，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體 棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“〞型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流〔由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出〕。線框的邊長為d〔d 圖5 解析:(1)、〔3〕問解省略〔2〕設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為1v，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d 由動(dòng)能定理212 102sinmvdBILdmg-=?-?α 裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)收到的合力 sin'FmgFα=-感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=Bdυ 感應(yīng)電流'I=R ε安培力''FBId= 由牛頓第二定律，在t到t+t?時(shí)間內(nèi)，有tm Fv?=?則tmRvdBgv??? ????-=?∑∑22sinα有23112sinBdvgtmR α=-解得 23 12sinBdRtmgα =三、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來分析、解決物理問題時(shí)應(yīng)該注意的一些問題 1.理解物理公式或圖像所表示的物理意義 物理公式中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，一定要使學(xué)生弄清物理公式或圖 像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問題，要防止單純從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)將物理公式“純數(shù)學(xué)化〞的傾向。如在電容的概念教學(xué)時(shí)筆者就發(fā)現(xiàn)有一大部分學(xué)生以為電容與電荷量成正比,與電壓成反比。 2.表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式都有本人的適應(yīng)條件 在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題時(shí)，一定要使學(xué)生弄清物理公式的適用條件和應(yīng)用范圍。例如，真空中庫侖定律的公式只適用于兩個(gè)相對(duì)靜止的點(diǎn)電荷。值得注意的是，假如從“純數(shù)學(xué)化〞觀念來看，當(dāng)0→r時(shí)，∞→F，但這樣的討論在物理上是毫無意義的，由于這時(shí)21,QQ不能看做點(diǎn)電荷，而且兩者間的互相作用力變的很復(fù)雜的，庫 侖定律描繪不了它們之間的互相作用。 3.數(shù)學(xué)的解與物理的解的統(tǒng)一 假如由建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解出的數(shù)學(xué)的解都不符合物理實(shí)際意義，并不能只是簡(jiǎn)單下個(gè)無解的結(jié)論，而是應(yīng)該對(duì)原數(shù)學(xué)模型作仔細(xì)的分析與反思，找到其潛在的問題，并對(duì)原數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正。 例6:在平直公路上以sm20勻速行駛的汽車，剎車后獲得28sm大小的加速度，問經(jīng)過5秒鐘，汽車發(fā)生的位移是多少? 錯(cuò)解根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式 2024attvs+=，代入數(shù)據(jù)得：05)8(2 15202=?-?+?=s。討論：汽車剎車后，沒有向前移動(dòng)，這是不可能的。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？進(jìn)一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，汽車從開場(chǎng)剎車到停止所需時(shí)間 為： sa vvtt250=-=。假如以st25=代入上式求得ms50=才是正確結(jié)果。由此可見，求得數(shù)學(xué)的解后，再從物理的角度進(jìn)行討論分析，把數(shù)學(xué)的解復(fù)原成符合實(shí)際的物理的解這一經(jīng)過，是特別重要的，這也是解題經(jīng)過中最容易疏漏的地方。 “它山之石，能夠攻玉〞.在現(xiàn)階段大力提倡學(xué)生綜合能力的時(shí)代浪潮中，強(qiáng)調(diào)在物理教學(xué)中有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，能很好地培養(yǎng)學(xué)生理解、把握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。可以將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于物理教學(xué)作為現(xiàn)階段各科知識(shí)大綜合的演練平臺(tái)，為提高學(xué)生的綜合能力推波助瀾。