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1、 24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)（第第1課時）課時）難點：垂徑定理難點：垂徑定理(dngl)的題設(shè)和結(jié)的題設(shè)和結(jié)論的區(qū)分，垂徑定理論的區(qū)分，垂徑定理(dngl)的應(yīng)用的應(yīng)用 重點重點(zhngdin)：垂徑定理：垂徑定理第一頁，共34頁。實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)(chngf)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條圓是軸對稱圖形，任何一條(y tio)直徑所在直直徑所在直線都是它的對稱軸線都是它的對稱軸第二頁，共3

2、4頁。如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑(zhjng)CD，使，使CDAB，垂足，垂足為為E（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形）是軸對稱圖形(txng)直徑直徑CD所在的直線是它的對稱軸所在的直線是它的對稱軸（2）線段線段(xindun)：AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半兩側(cè)的兩個半圓重合，點圓重合，點A與點與

3、點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，AC,AD分別與分別與BC、BD重合重合第三頁，共34頁。驗證驗證(ynzhng)篇篇證明：連結(jié)證明：連結(jié)OA、OB，則，則OAOB。因為垂直于弦。因為垂直于弦AB的直徑的直徑CD所在的直線既是等腰三角形所在的直線既是等腰三角形OAB的對稱的對稱軸又是軸又是 O的對稱軸。所以，當把圓沿著直徑的對稱軸。所以，當把圓沿著直徑CD折疊折疊時，時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，兩側(cè)的兩個半圓重合，A點和點和B點重合，點重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分別和分別和BC、BD重合。因此重合。因此AEBE，ACBC，ADBD，即直徑，即直徑CD平分弦平分弦AB，并且

4、平分，并且平分AB及及ACB已知：在已知：在 O中中，CD是直徑是直徑，AB是弦是弦，CDAB，垂足為垂足為E。求證：求證：AEBE，ACBC，ADBD。疊合法疊合法(hf)The exploration discovered OABCDE第四頁，共34頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)(dngl)垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)(zhjng)平分弦平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的兩條弧兩條弧CDABCDAB CD CD是直徑是直徑(zhjng)(zhjng)，AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE提示提示:垂徑定理是圓中一個重要的

5、定理垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體形成整體,才能運用自如才能運用自如.第五頁，共34頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)平分這條平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。弦，并且平分弦所對的兩條弧。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論(jiln)（1）過圓心）過圓心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)?。?）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊〉诹?，共34頁。結(jié)論結(jié)論(jiln)篇篇垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)平分弦，并且平分平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。弦

6、所對的兩條弧。即：如果即：如果CD過圓心，且垂直過圓心，且垂直于于AB，則，則AE=BE，弧，弧AD=弧弧BD，弧，弧AC=弧弧BC注意注意:過圓心和垂直于弦兩個過圓心和垂直于弦兩個條件缺一不可。條件缺一不可。OEDCBAThe exploration discovered 第七頁，共34頁。判斷判斷(pndun)下列圖形，能否使用垂徑定理下列圖形，能否使用垂徑定理？注意注意(zh y)：定理中的兩：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！我學(xué)習(xí)，我快樂我學(xué)習(xí)，我快樂Ramming foundation 第八頁，共34頁。練習(xí)(linx)在下列在下列(xi

7、li)圖形中，你能否利用垂徑圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧定理找到相等的線段或相等的圓弧第九頁，共34頁。我成功我成功(chnggng)，我快樂，我快樂變式變式1 1：AC、BD有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？OABCD變式變式2 2：ACACBDBD依然依然(yrn)(yrn)成立嗎？成立嗎？變式變式3 3：EA_,EC=_。變式變式4 4：_ AC=BD.變式變式5 5：_ AC=BD.Ramming foundation 第十頁，共34頁。學(xué)會學(xué)會(xuhu)作輔助線作輔助線如圖，如圖，P為為 O的弦的弦BA延長線上一點延長線上一點(y din)，PAAB2，PO5，求，求

8、 O的半徑。的半徑。關(guān)于弦的問題，常常需要關(guān)于弦的問題，常常需要過圓過圓心作弦的垂線段心作弦的垂線段，這是一條非常，這是一條非常重要的重要的輔助線輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦圓心到弦的距離、半徑、弦長長構(gòu)成構(gòu)成直角三角形直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題?；癁橹苯侨切蔚膯栴}。Ramming foundation 第十一頁，共34頁。（1）若MNAB，MN為直徑；Upper formation building推論(tuln)（1）畫圖敘述垂徑定理(dngl)，并說出定理(dngl)的題設(shè)和結(jié)論。第二十三頁，共34頁。（1）是軸對稱圖形(txng)直徑CD所在的直線是它

9、的對稱軸Upper formation building（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），四邊形ADOE為矩形(jxng)，AE和BE重合，AC、AD分別和BC、BD重合。變式5：_ AC=BD.我的體會是Upper formation building2、在直徑為650毫米的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面(jimin)如圖所示。平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.探索(tn su)發(fā)現(xiàn)O OA AB BE E變形變形(bin xng)2(bin xng)2、CE=8,DE=2,CE=8,DE=2,則則AB=AB=。D DC C變形變形(bin

10、 xng)1(bin xng)1、AB=8,CD=10,AB=8,CD=10,則圓心則圓心O O到到ABAB的距離的距離 是是 。變形變形(bin xng)3(bin xng)3、CD=10,AB=8,CD=10,AB=8,則則DE=DE=。3 38 82 2若若CDCD為圓為圓O O的直徑，弦的直徑，弦ABCDABCD于點于點E,E,到弦的距離用到弦的距離用d表示，半徑用表示，半徑用r表示，弦表示，弦長用長用a表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？第十二頁，共34頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)(dngl)的應(yīng)用的應(yīng)用構(gòu)建直角三角形構(gòu)建直角三角形OABCR Rd d2

11、2a a半弦半弦 AC=AC=半徑半徑 OA=ROA=R弦心距弦心距 OC=dOC=d2222adR）（+=弓高為弓高為h hh=Rdh=Rd第十三頁，共34頁。如圖，兩個如圖，兩個(lin)(lin)圓都以點圓都以點O O為圓心，為圓心，求證求證:AC=BD:AC=BDO OA AB BC CD D活動活動(hu(hu dng)dng)4 4第十四頁，共34頁。24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)（第第2課時）課時）難點：垂徑定理難點：垂徑定理(dngl)推論的題設(shè)和推論的題設(shè)和 結(jié)論的區(qū)分結(jié)論的區(qū)分 知識點知識點:1.圓的對稱性圓的對稱性 2.垂徑定理垂徑定理(dngl

12、)及其推論應(yīng)及其推論應(yīng)用用重點重點(zhngdin)：垂徑定理的推論：垂徑定理的推論第十五頁，共34頁。24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)（第第2課時）課時）第十六頁，共34頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)平分這條平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。弦，并且平分弦所對的兩條弧。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論(jiln)（1）過圓心）過圓心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)?。?）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧第十七頁，共34頁。命題（命題（1）：平分）：平分(pngfn)弦（不是直徑）弦（不是

13、直徑）的直徑垂直于弦，并且平分的直徑垂直于弦，并且平分(pngfn)弦所對弦所對的兩條弧的兩條弧已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC命題（命題（2）：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心）：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心(yunxn)，并且平分弦所，并且平分弦所對的兩條弧對的兩條弧已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求證：，求證：CD是直徑，是直徑，ADBD，ACBCC.OAEBDC第十八頁，共34頁。垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)平分平分這條弦，這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。推論

14、推論(tuln)（1）（1 1）平分弦（不是）平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑垂直直徑）的直徑垂直于弦，于弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理垂徑定理記憶記憶第十九頁，共34頁。畫圖敘述垂徑定理畫圖敘述垂徑定理(dngl)，并說出定理，并說出定理(dngl)的題的題設(shè)和結(jié)論。設(shè)和結(jié)論。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論直線直線CD經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O直線直線CD垂直弦垂直弦AB直線直線CD平分弦平分弦AB直線直線CD平分弧平分弧ACB直線直線CD平分弧平分弧AB想一想：如

15、果將題設(shè)和結(jié)想一想：如果將題設(shè)和結(jié)論中的論中的5 5個條件適當互換，個條件適當互換，情況情況(qngkung)(qngkung)會怎樣？會怎樣？Upper formation building 第二十頁，共34頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)(dngl)及及推論推論OABCDM垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)平分弦平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分平分(pngfn)弦弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩分弦所對的兩條弧條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的另并且平分弦

16、所對的另一條弧一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平并且平分弦和所對的另一條弧分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦垂直于弦,并并且平分弦所對的另一條弧且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.第二十一頁，共34頁。（1 1）平分弦（不是）平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。环窒宜鶎Φ膬蓷l??；（3 3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧。平分弦并且平分弦所對的另一條弧。Upper formation building 第二十二頁，