若干(rugn)數(shù)學典故中的數(shù)學文化第一頁，共75頁。1第一節(jié)第一節(jié) 歷史上的三次數(shù)學歷史上的三次數(shù)學(shxu)危機危機 第二頁，共75頁。2 歷史上，數(shù)學的發(fā)展有順利也有曲折。大歷史上，數(shù)學的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學發(fā)展史上有三次數(shù)是數(shù)學發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學發(fā)展史上有三次數(shù)學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的基本學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的基本部分受到質(zhì)疑。實際上，也恰恰部分受到質(zhì)疑。實際上，也恰恰(qiqi)是這是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學科學的發(fā)展。大大推動了數(shù)學科學的發(fā)展。第三頁，共75頁。3集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合(jh)”。第一節(jié) 歷史上的三次數(shù)學(shxu)危機所有集合的集合”（所有異常集合的集合），因此，進入19世紀時，一方面微積。實數(shù) 復(fù)數(shù) 圖形第四十六頁，共75頁。二、第二次數(shù)學(shxu)危機人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的基礎(chǔ)。個整數(shù)之比引發(fā)(yn f)的，我們在第二章已?；蛘邔儆?shy)，或者屬于(shy)，兩者必居其一，且集合論中居然有邏輯上的矛盾！第四十六頁，共75頁。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以(suy)是“異常集合”。一、第一次數(shù)學一、第一次數(shù)學(shxu)危機危機 第第 一一 次次 數(shù)數(shù) 學學 危危 機機 是是 由由 不不 能能 寫寫 成成 兩兩個個整整數(shù)數(shù)之之比比引引發(fā)發(fā)(yn f)的的，我我們們在在第第二二章章已已專專門門 討討 論論 過過，現(xiàn)現(xiàn) 再再 簡簡 要要 回回 顧顧 一一 下下。這這一一危危機機發(fā)發(fā)生生在在公公元元前前5世世紀紀，危危機機來來源源于于：當當時時認認為為所所有有的的數(shù)數(shù)都都能能表表示示為為整整數(shù)數(shù)比比，但但突突然然發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)(fxin)不不能能表表為為整整數(shù)數(shù)比比。其其實實質(zhì)質(zhì)是是：是是無無理理數(shù)數(shù)，全全體體整整數(shù)數(shù)之之比比構(gòu)構(gòu)成成的的是是有有理理數(shù)數(shù)系系，有有理理數(shù)數(shù)系系需需要要擴擴充充，需需要要添添加加無無理理數(shù)數(shù)。第五頁，共75頁。5 當時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(wij)。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比”的新說法，回避了 是無理數(shù)的實質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學的基礎(chǔ)。但是徹底解決這一危機(wij)是在19世紀，依賴實數(shù)理論的建立。第六頁，共75頁。6 二、第二次數(shù)學二、第二次數(shù)學(shxu)危機危機 第二次數(shù)學危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立第二次數(shù)學危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立(chungl)微積分的十七世紀。第一次數(shù)微積分的十七世紀。第一次數(shù)學危機是由畢達哥拉斯學派內(nèi)部提出的，學危機是由畢達哥拉斯學派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學危機則是由牛頓學派的外部、第二次數(shù)學危機則是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小無窮小量量”說法的質(zhì)疑引起的。說法的質(zhì)疑引起的。第七頁，共75頁。7 1危機的引發(fā)危機的引發(fā) 1）牛頓的）牛頓的“無窮小無窮小”牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個看一個(y)例子。例子。微積分的一個微積分的一個(y)來源，是想求運動物體在某來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。第八頁，共75頁。8 例如，設(shè)自由落體在時間例如，設(shè)自由落體在時間 下落下落(xilu)的距離為的距離為 ，有公式，有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時速度，的瞬時速度，先求先求 。（*）第九頁，共75頁。9 當當 變成無窮小時，右端的變成無窮小時，右端的 也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是 ，這就是物體，這就是物體(wt)在在 時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責難。難。第十頁，共75頁。10 2）貝克萊的發(fā)難 英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論(lln)。貝克萊問道：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？第十一頁，共75頁。11 如果是0，上式左端當 成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的 就不能任意(rny)去掉。在推出上式時，假定了 才能做除法，所以上式的成立(chngl)是以 為前提的。那么，為什么又可以讓 而求得瞬時速度呢？因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從 出發(fā)(chf)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）第十二頁，共75頁。12 貝克萊還諷刺挖苦說：即然貝克萊還諷刺挖苦說：即然 和和 都變成都變成“無窮小無窮小”了，而無窮小作為一個量，既了，而無窮小作為一個量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。這就是著名的這就是著名的“貝克萊悖論貝克萊悖論(bi ln)”。對牛頓微積分的這一責難并不是由數(shù)學家提出的，但是，對牛頓微積分的這一責難并不是由數(shù)學家提出的，但是，第十三頁，共75頁。13貝克萊的質(zhì)問貝克萊的質(zhì)問(zhwn)是擊中要害的是擊中要害的數(shù)學家在將近數(shù)學家在將近200年的時間里，不能徹底反駁年的時間里，不能徹底反駁(fnb)貝克萊的責難。貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁(fnb)了貝克萊的責難。了貝克萊的責難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語言，才徹語言，才徹底地反駁底地反駁(fnb)了貝克萊的責難。了貝克萊的責難。第十四頁，共75頁。14 3）實踐是檢驗真理的唯一標準）實踐是檢驗真理的唯一標準 應(yīng)當承認，貝克萊的責難應(yīng)當承認，貝克萊的責難(z nn)是有道理的。是有道理的?！盁o無窮小窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當時的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當時的其它數(shù)學家并不能在邏輯上嚴格說清的其它數(shù)學家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小無窮小”的方法。的方法。數(shù)學家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且數(shù)學家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責。這表明，在大多數(shù)人以，人們不大相信貝克萊的指責。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標準。實踐是檢驗真理的唯一標準?！钡谑屙?，共75頁。15 2危機的實質(zhì)危機的實質(zhì) 第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是“不是有理不是有理數(shù)，而是無理數(shù)數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學危機的實。那么第二次數(shù)學危機的實質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚(qng chu)，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。第十六頁，共75頁。16 其實，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間(shjin)之比”的時候，這種說法本身就是不明確的，是含糊的。當然，牛頓也曾在他的著作中說明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時的比例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。他這里雖然提出和使用了“極限”這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。第十七頁，共75頁。17 德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此，此后近二百年間的數(shù)學家，正因為如此，此后近二百年間的數(shù)學家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由所以，由“無窮小無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學危機引發(fā)的第二次數(shù)學危機(wij)，實質(zhì)上是缺少嚴密的極限概念和極限，實質(zhì)上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學的基礎(chǔ)。理論作為微積分學的基礎(chǔ)。第十八頁，共75頁。18牛頓(ni dn)萊布尼茨第十九頁，共75頁。19 3危機的解決危機的解決 1）必要性）必要性 微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問題上存在的問題(wnt)是那樣明顯，這畢竟是是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學家的一塊心病。數(shù)學家的一塊心病。第二十頁，共75頁。20 而且，隨著時間而且，隨著時間(shjin)的推移，研的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數(shù)學家在研究無窮級數(shù)的時候，做出許數(shù)學家在研究無窮級數(shù)的時候，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為基結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學家們在有限與無限之間任意通礎(chǔ)。數(shù)學家們在有限與無限之間任意通行（不考慮無窮級數(shù)收斂的問題）。行（不考慮無窮級數(shù)收斂的問題）。第二十一頁，共75頁。21 因因此此，進進入入19世世紀紀時時，一一方方面面微微積積分分取取得得的的成成就就超超出出人人們們的的預(yù)預(yù)料料，另另一一方方面面，大大量量的的數(shù)數(shù)學學理理論論沒沒有有正正確確、牢牢固固的的邏邏輯輯基基礎(chǔ)礎(chǔ)(jch)，因因此此不不能能保保證證數(shù)數(shù)學學結(jié)結(jié)論論是是正正確確無無誤誤的的。歷歷 史史 要要 求求 為為 微微 積積 分分 學學 說說 奠奠 基基。第二十二頁，共75頁。22 2）嚴格的極限理論的建立）嚴格的極限理論的建立 到到19世紀，一批杰出數(shù)學家辛勤、世紀，一批杰出數(shù)學家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為理論，并把它作為(zuwi)微積分的基礎(chǔ)。微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴格的極限理論的建立是應(yīng)該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。逐步的、漫長的。第二十三頁，共75頁。23 在在18世紀時，人們已經(jīng)建立世紀時，人們已經(jīng)建立(jinl)了了極限理論，但那是初步的、粗糙的。極限理論，但那是初步的、粗糙的。達朗貝爾在達朗貝爾在1754年指出，必須用可年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。但他本人未能提供這樣的理論。19世紀初，捷克數(shù)學家波爾查諾開始世紀初，捷克數(shù)學家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數(shù)學分析，他寫的無窮將嚴格的論證引入數(shù)學分析，他寫的無窮的悖論一書中包含許多真知灼見。的悖論一書中包含許多真知灼見。第二十四頁，共75頁。24 而做出決定性工作、可稱為分析學的而做出決定性工作、可稱為分析學的奠基人的是法國數(shù)學家柯西奠基人的是法國數(shù)學家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年間出版的分析教程和無窮小計年間出版的分析教程和無窮小計算講義是數(shù)學史上劃時代的著作。他對極算講義是數(shù)學史上劃時代的著作。他對極限給出比較限給出比較(bjio)精確的定義，然后用它定精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)