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1、第三章第三章 位移和應(yīng)變分析位移和應(yīng)變分析主講教師：韓復(fù)興主講教師：韓復(fù)興 吉林大學(xué).物體受到外力的作用時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)與點(diǎn)之間物體受到外力的作用時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)與點(diǎn)之間有相對(duì)位移，因而物體的形狀和尺寸就會(huì)發(fā)生變化，有相對(duì)位移，因而物體的形狀和尺寸就會(huì)發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。即產(chǎn)生變形。本章主要討論三個(gè)問(wèn)題：本章主要討論三個(gè)問(wèn)題：1.位移分量和應(yīng)變分量及其間的關(guān)系；位移分量和應(yīng)變分量及其間的關(guān)系；2.物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)分析；物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)分析；3.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變分量的表示公式，以坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變分量的表示公式，以 及主應(yīng)變和主方向；及主應(yīng)變和主方向；4.無(wú)旋變形和等體積變形無(wú)旋變形和等體積變形

2、;5.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程.3-1 位移分量和應(yīng)變分量以及其間的關(guān)系位移分量和應(yīng)變分量以及其間的關(guān)系一一.位移分量位移分量物體受力后各點(diǎn)要發(fā)生位移，位移一般分為兩部分，物體受力后各點(diǎn)要發(fā)生位移，位移一般分為兩部分，一部分是與物體變形相應(yīng)的位移，稱為一部分是與物體變形相應(yīng)的位移，稱為相對(duì)位移相對(duì)位移；另一部分是與物體變形無(wú)關(guān)的位移，稱為另一部分是與物體變形無(wú)關(guān)的位移，稱為剛性位移剛性位移。.物體變形前，點(diǎn)物體變形前，點(diǎn)M（x,y,z）變形后變形后,該點(diǎn)由原來(lái)位置移至該點(diǎn)由原來(lái)位置移至新的位置新的位置M(x,yz)稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)M的位移的位移在在x,y,z三軸上的投影三軸上的投影u,v,w稱為該

3、點(diǎn)的稱為該點(diǎn)的位移分量位移分量符號(hào)規(guī)定：符號(hào)規(guī)定：u,v,w與坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸正方向一致為正，相反為負(fù)。正方向一致為正，相反為負(fù)?？紤]外力作用下的兩種狀態(tài)：考慮外力作用下的兩種狀態(tài)：平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)：M點(diǎn)只隨位置變化，不隨時(shí)間變化；位移分量（點(diǎn)只隨位置變化，不隨時(shí)間變化；位移分量（u,v,w）只隨位置變化，）只隨位置變化，不隨時(shí)間變化。不隨時(shí)間變化。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：M點(diǎn)不僅隨位置變化，而且隨時(shí)間變化；位移分量（點(diǎn)不僅隨位置變化，而且隨時(shí)間變化；位移分量（u,v,w）隨位置和）隨位置和時(shí)間變化而變化。時(shí)間變化而變化。.本章僅考慮平衡狀態(tài)。本章僅考慮平衡狀態(tài)。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，物體上任一點(diǎn)根據(jù)連

4、續(xù)性假設(shè)，物體上任一點(diǎn)M，當(dāng)物體變形后，當(dāng)物體變形后，都一一對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的點(diǎn)都一一對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的點(diǎn)M；位移分量是點(diǎn)坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。即：位移分量是點(diǎn)坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。即：由于運(yùn)算的需要，假定位移分量由于運(yùn)算的需要，假定位移分量具有連續(xù)到三階的偏導(dǎo)數(shù)。具有連續(xù)到三階的偏導(dǎo)數(shù)。.二二.應(yīng)變分量應(yīng)變分量 分析物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，在物體內(nèi)任一點(diǎn)取出一分析物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，在物體內(nèi)任一點(diǎn)取出一個(gè)平行于三個(gè)坐標(biāo)平面的微分平行六面體（單元體）。設(shè)個(gè)平行于三個(gè)坐標(biāo)平面的微分平行六面體（單元體）。設(shè)其三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度分別為其三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度分別為dx,dy,dz。由小變形假設(shè)，此單元體各投影面的變形情況與由小

5、變形假設(shè)，此單元體各投影面的變形情況與此微分體的變形情況的差別是微小的；此微分體的變形情況的差別是微小的；因此，對(duì)于此微體，只要研究它在各個(gè)坐標(biāo)面上因此，對(duì)于此微體，只要研究它在各個(gè)坐標(biāo)面上投影的變形就可以了。投影的變形就可以了。.考察物體內(nèi)任意一微小線段考察物體內(nèi)任意一微小線段長(zhǎng)度的相對(duì)改變長(zhǎng)度的相對(duì)改變 正（線）應(yīng)變正（線）應(yīng)變方向的相對(duì)改變方向的相對(duì)改變 剪（角）應(yīng)變剪（角）應(yīng)變變形包括：變形包括：1.各棱邊長(zhǎng)度的變化（伸長(zhǎng)或縮短）用正應(yīng)變表示各棱邊長(zhǎng)度的變化（伸長(zhǎng)或縮短）用正應(yīng)變表示2.棱邊夾角的變化，用剪應(yīng)變表示。棱邊夾角的變化，用剪應(yīng)變表示。.沿坐標(biāo)軸沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的方向的

6、正應(yīng)變分量正應(yīng)變分量為：為：剪應(yīng)變分量剪應(yīng)變分量為微分各面間所夾直角的改變量。（用弧度為微分各面間所夾直角的改變量。（用弧度表示）表示）注意：注意：即過(guò)物體內(nèi)某點(diǎn)所引沿即過(guò)物體內(nèi)某點(diǎn)所引沿x及及y方向的線元間夾角的改變量。方向的線元間夾角的改變量。.當(dāng)微分平行六面體各棱邊無(wú)限縮小而趨于當(dāng)微分平行六面體各棱邊無(wú)限縮小而趨于M點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)某點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以由六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。某點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以由六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。.三三.應(yīng)變分量和位移分量間的關(guān)系應(yīng)變分量和位移分量間的關(guān)系 將微分平行六面體的應(yīng)變分量用該微體變形后在坐標(biāo)將微分平行六面體的應(yīng)變分量用該微體變形后在坐標(biāo)平面上的投影來(lái)表明。平面上的投影來(lái)

7、表明。以在以在oxy平面上的投影為例，研究應(yīng)變分量與位移分量平面上的投影為例，研究應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系：的關(guān)系：P點(diǎn)在點(diǎn)在x，y軸的位移分為：軸的位移分為：A，B兩點(diǎn)相應(yīng)的位移分量分是：兩點(diǎn)相應(yīng)的位移分量分是：按多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去二階以上的無(wú)窮小量，按多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去二階以上的無(wú)窮小量，則則A點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)的位移分量分別為點(diǎn)的位移分量分別為.一點(diǎn)的變形一點(diǎn)的變形線段的線段的伸長(zhǎng)或縮短；伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)；考察考察P點(diǎn)鄰域點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：內(nèi)線段的變形：xyOPAdxBdyuv變形前變形前變形后變形后ABuPv注注：這里略去了二階以上高階無(wú)窮小量。

8、這里略去了二階以上高階無(wú)窮小量。.xyOPAdxBdyuvPA的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩點(diǎn)兩直角線段夾角直角線段夾角的變化的變化.整理得：整理得：幾何方程幾何方程說(shuō)明：說(shuō)明：（1）反映任一點(diǎn)的反映任一點(diǎn)的位移位移與該點(diǎn)與該點(diǎn)應(yīng)變應(yīng)變間的關(guān)間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）當(dāng)當(dāng) u、v 已知，則已知，則 可完全確定；反之，已知可完全確定；反之，已知 ，不能確定不能確定u、v。（積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）以兩線段夾角以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)減小為

9、正，增大為負(fù)。xyOPAdxBdyuv.利用微體在另外兩個(gè)坐標(biāo)面上的投影，可以求得其他應(yīng)利用微體在另外兩個(gè)坐標(biāo)面上的投影，可以求得其他應(yīng)變分量和位移分量之間的關(guān)系：變分量和位移分量之間的關(guān)系：此式稱為幾何方程，又稱柯西（此式稱為幾何方程，又稱柯西（Cauchy）方程）方程如果已知位移分量，由幾何方程求偏導(dǎo)數(shù)可以得到應(yīng)變分如果已知位移分量，由幾何方程求偏導(dǎo)數(shù)可以得到應(yīng)變分量量如果已知應(yīng)變分量，求位移分量比較復(fù)雜，如果已知應(yīng)變分量，求位移分量比較復(fù)雜，積分需要確定積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定積分常數(shù)，由邊界條件決定.應(yīng)變分量的符號(hào)規(guī)定：應(yīng)變分量的符號(hào)規(guī)定：正應(yīng)變：正應(yīng)變：正號(hào)的正應(yīng)變表示沿

10、該方向伸長(zhǎng)，正號(hào)的正應(yīng)變表示沿該方向伸長(zhǎng)，負(fù)號(hào)的正應(yīng)變表示沿該方向縮短；負(fù)號(hào)的正應(yīng)變表示沿該方向縮短；剪應(yīng)變剪應(yīng)變：正號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角正號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度減小，度減小，負(fù)號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角負(fù)號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度增大。度增大。.3-2 轉(zhuǎn)動(dòng)分量轉(zhuǎn)動(dòng)分量 物體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)位置的變化物體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)位置的變化一、轉(zhuǎn)動(dòng)分量一、轉(zhuǎn)動(dòng)分量 分析物體內(nèi)一點(diǎn)任一微分平行六面體的變形，考慮六分析物體內(nèi)一點(diǎn)任一微分平行六面體的變形，考慮六個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量但是剪應(yīng)變是相應(yīng)的兩個(gè)角的和但是剪應(yīng)變是相應(yīng)的兩個(gè)角的和 如果兩個(gè)角的

11、和不變，則剪應(yīng)變就不變；但是兩個(gè)如果兩個(gè)角的和不變，則剪應(yīng)變就不變；但是兩個(gè)角可能相等，也可能不等，這樣變形的幾何形象（變位角可能相等，也可能不等，這樣變形的幾何形象（變位狀態(tài)）就不同。狀態(tài)）就不同。.為了使變形的幾何形象表示完全，引入三個(gè)分量：為了使變形的幾何形象表示完全，引入三個(gè)分量：轉(zhuǎn)動(dòng)分量轉(zhuǎn)動(dòng)分量 研究物體內(nèi)任一點(diǎn)研究物體內(nèi)任一點(diǎn)M附近的變形狀態(tài)，在附近的變形狀態(tài)，在M點(diǎn)處取立方微點(diǎn)處取立方微分體。分體。研究變形后立方微分體中對(duì)角線研究變形后立方微分體中對(duì)角線MQ繞繞z軸的軸的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：QTRMSMQ1M1QQ.r是對(duì)角線是對(duì)角線MQ繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。.同理，可以得到立

12、方微分體中對(duì)角線同理，可以得到立方微分體中對(duì)角線MS及及MT分別繞分別繞y軸和軸和x軸的轉(zhuǎn)角公式；軸的轉(zhuǎn)角公式；通常用兩倍的轉(zhuǎn)角表示：通常用兩倍的轉(zhuǎn)角表示：稱為轉(zhuǎn)動(dòng)分量稱為轉(zhuǎn)動(dòng)分量 故故六個(gè)應(yīng)變分量六個(gè)應(yīng)變分量和和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以使物體內(nèi)某點(diǎn)變可以使物體內(nèi)某點(diǎn)變形的幾何形象表示完全。形的幾何形象表示完全。QTRMS.二、物體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)位置的變化二、物體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)位置的變化設(shè)物體內(nèi)無(wú)限鄰近的兩點(diǎn)設(shè)物體內(nèi)無(wú)限鄰近的兩點(diǎn)A和和B,它們的坐標(biāo)分別為：它們的坐標(biāo)分別為：變形后，它們到變形后，它們到A和和B若若A點(diǎn)的位移矢量用點(diǎn)的位移矢量用u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y

13、,z)表示表示則則B點(diǎn)的位移矢量用點(diǎn)的位移矢量用u,v,w表示表示.按多元函數(shù)按多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，根據(jù)小變形假設(shè)，略去二展開(kāi)，根據(jù)小變形假設(shè)，略去二階以上的微分項(xiàng)，可以得到：階以上的微分項(xiàng)，可以得到：.變形可以得到：變形可以得到：.利用矩陣表示利用矩陣表示結(jié)論：與結(jié)論：與A點(diǎn)無(wú)限鄰近一點(diǎn)點(diǎn)無(wú)限鄰近一點(diǎn)B的位移由的位移由三部分組成三部分組成1、隨、隨A點(diǎn)的一個(gè)平動(dòng)位移，點(diǎn)的一個(gè)平動(dòng)位移，2、繞、繞A點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在B點(diǎn)產(chǎn)生的位移，點(diǎn)產(chǎn)生的位移，3、由于、由于A點(diǎn)鄰近單元體的變形在點(diǎn)鄰近單元體的變形在B點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的位移。生的位移。AB.3-3 物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)物體內(nèi)一點(diǎn)

14、的應(yīng)變狀態(tài)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1、求過(guò)此點(diǎn)任意方向微分線段的正應(yīng)變；、求過(guò)此點(diǎn)任意方向微分線段的正應(yīng)變；2、求過(guò)該點(diǎn)任意兩個(gè)方向微分線段間夾角的改變量。、求過(guò)該點(diǎn)任意兩個(gè)方向微分線段間夾角的改變量。（注意剪應(yīng)變的定義）（注意剪應(yīng)變的定義）一、求過(guò)一、求過(guò)A點(diǎn)沿點(diǎn)沿N方向的任一微分線段方向的任一微分線段AB的正應(yīng)變的正應(yīng)變?cè)撐⒎志€段在直角坐標(biāo)軸上的投影為：該微分線段在直角坐標(biāo)軸上的投影為：.設(shè)設(shè)A點(diǎn)的位移分量為點(diǎn)的位移分量為u，v，w，則，則B點(diǎn)的位移為：點(diǎn)的位移為：ABBAl，m，nl，m，ndrdr.物體變形后，微分線段物體變形后，微分線段AB變?yōu)樽優(yōu)锳B，則，則AB在坐標(biāo)軸在坐標(biāo)軸上的投影為上的投

15、影為(B點(diǎn)的位移分量點(diǎn)的位移分量+AB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度-A點(diǎn)的位移分量點(diǎn)的位移分量)設(shè)線段設(shè)線段AB 的正應(yīng)變?yōu)榈恼龖?yīng)變?yōu)?利用矩陣表示為：利用矩陣表示為：.稱為應(yīng)變張量稱為應(yīng)變張量.二、求過(guò)二、求過(guò)A A點(diǎn)的兩條任意方向微分線段間夾角的改變量點(diǎn)的兩條任意方向微分線段間夾角的改變量Adr1CBCBAdr2dr2dr1CCAB的方向余弦為的方向余弦為AC的方向余弦為的方向余弦為.變形前夾角變形前夾角變形后夾角變形后夾角.AB的方向余弦為的方向余弦為AC的方向余弦為的方向余弦為.利用矩陣表示為：利用矩陣表示為：.變形后夾角變形后夾角.夾角改變量為夾角改變量為.矩陣表示.3-4 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換轉(zhuǎn)軸

16、時(shí)應(yīng)變分量的變換 與應(yīng)力分析相似，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，物體內(nèi)一點(diǎn)對(duì)旋轉(zhuǎn)與應(yīng)力分析相似，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，物體內(nèi)一點(diǎn)對(duì)旋轉(zhuǎn)后新坐標(biāo)系的應(yīng)變分量，可以由原來(lái)的應(yīng)變分量來(lái)表示。后新坐標(biāo)系的應(yīng)變分量，可以由原來(lái)的應(yīng)變分量來(lái)表示。將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)某個(gè)角度，得到新坐標(biāo)系將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)某個(gè)角度，得到新坐標(biāo)系新老坐標(biāo)之間的關(guān)系為：新老坐標(biāo)之間的關(guān)系為：n3m3l3n2m2l2n1m1l1zyxl,m,n表示新坐標(biāo)軸對(duì)原老坐標(biāo)軸的方向余表示新坐標(biāo)軸對(duì)原老坐標(biāo)軸的方向余弦弦.3-5 主應(yīng)變和主方向主應(yīng)變和主方向 過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)不同方向上的正應(yīng)變以及同一點(diǎn)兩垂直過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)不同方向上的正應(yīng)變以及同一點(diǎn)兩垂直方向的剪應(yīng)變是不同的。方向的剪應(yīng)變是不同的。問(wèn)題問(wèn)題：過(guò)該點(diǎn)是否存在這樣三個(gè)互相垂直的方向，使沿這三：過(guò)該點(diǎn)是否存在這樣三個(gè)互相垂直的方向，使沿這三個(gè)方向的微分線段，在物體變形后只是各自改變了長(zhǎng)度，而個(gè)方向的微分線段，在物體變形后只是各自改變了長(zhǎng)度，而夾角仍保持為直角。夾角仍保持為直角。我們可以證明存在此單元體；我們可以證明存在此單元體；我們把具有性質(zhì)的方向稱為該點(diǎn)應(yīng)變的主方向，或應(yīng)變我們把具有性質(zhì)的方向稱為該點(diǎn)應(yīng)變的