l題目類型：選擇題，填空題，計算題。提醒注意以下幾點：l1、概率論部分中古典概率計算只要求常見類型如抽球問題和分球入盒問題l2、要求熟知事件關系及其運算，各種概率計算公式等；l3、慣用分布概率計算以及性質，數學期望與方差；l4、一維、二維隨機變量分布函數密度函數之間關系以及運算,隨機變量獨立性與相關性關系以及判別；l5、隨機變量數學期望與方差以及協方差與相關系數性質與計算；l6、掌握正態(tài)分布隨機變量相關計算以及利用中心極限定理計算；l7、數理統計基本概念，慣用抽樣分布以及各分布表分位點性質；l8、掌握參數預計中矩預計與極大似然預計、預計量無偏性和有效性；l9、區(qū)間預計與假設檢驗，只考單個正態(tài)總體兩個參數區(qū)間預計和假設檢驗，對于假設檢驗，要求會區(qū)分并進行單側或雙側檢驗。第1頁 概率論與數理統計概率論與數理統計 復習復習一、填空題一、填空題 1.設設A、B、C為三事件，則事件為三事件，則事件“A發(fā)生發(fā)生B與與C都不發(fā)生都不發(fā)生”可可 表示為表示為_;事件事件“A、B、C不都發(fā)生不都發(fā)生”可表示為可表示為_ 事件事件“A、B、C都不發(fā)生都不發(fā)生”可表示為可表示為_。2.100件件產產品中有品中有10件次品，任取件次品，任取5件恰有件恰有3件次品概率件次品概率為為_（只寫算式）。（只寫算式）。3.已知隨機已知隨機變變量量X分布函數為分布函數為，則P(X=1)=_0.4，P(X=2.5)=0_ 4.設設則則X函數函數Y=N(0,1)。第2頁5.設設二二維維隨機隨機變變量（量（X,Y)聯合分布律為聯合分布律為 則則_1/3_ 6.已知已知，則則 7.在假在假設檢驗設檢驗中若原假中若原假設設H0實際為實際為真真時時卻拒卻拒絕絕H0，稱這類錯誤為稱這類錯誤為 棄真（第一類棄真（第一類)錯誤錯誤 8.設隨機變量設隨機變量 則則9.若X2(10)，則E(X)=10，D(X)=2010.P(2(11)s)=0.05,則第3頁13.13.已知已知A,BA,B為為兩事件，兩事件，14.14.已知已知A A，B B為為兩事件，兩事件，15.設隨機變量設隨機變量X N(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且且X，Y，Z獨立，獨立，則則E(2X+3Y)(4Z-1)=27/2 16.若若X與與Y相互獨立，則必有相互獨立，則必有X與與Y 不相關不相關第4頁二、解答題二、解答題 1.將兩信息分別編碼為將兩信息分別編碼為A和和B傳送出去，接收站收到時，傳送出去，接收站收到時，A被誤收作誤收作B概率為概率為 0.02，而，而 B被誤收作被誤收作 A概率為概率為 0.01.信息信息 A與信息信息 B傳送頻率程度為傳送頻率程度為2:1。(1)若若接收站收到一信息，是接收站收到一信息，是 A概率是多少？概率是多少？（2）若接收站收到信息是）若接收站收到信息是 A，問原發(fā)信息是，問原發(fā)信息是 A概率是多少？概率是多少？解：設解：設 分別表示發(fā)出分別表示發(fā)出A,B.分分別別表示收到表示收到A,B第5頁事件獨立性應用舉例事件獨立性應用舉例1、加法公式簡化加法公式簡化：若事件A1，A2，An相互獨立,則 2、乘法公式簡化乘法公式簡化：若事件A1，A2，An相互獨立,則 第6頁2.甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標概率甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標概率分別為分別為0.90.9與與0.80.8，求在一次射擊中，求在一次射擊中(每人各射一次每人各射一次)目標被目標被擊中概率擊中概率。解 設A，B分別表示甲、乙射中目標事件，C表示目標被擊中事件，則P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98另解 第7頁3.甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出概率甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出概率 分別為分別為1/5，1/3，1/4。（1）求密碼能破譯概率；）求密碼能破譯概率；（2）求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼概率。）求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼概率。解解 設設A，B，C分別表示甲、乙、丙譯出事件，分別表示甲、乙、丙譯出事件，D表示密碼被破譯事件，表示密碼被破譯事件，E表示恰有一人譯出事件，則表示恰有一人譯出事件，則第8頁4.設設X是連續(xù)型隨機變量，已知是連續(xù)型隨機變量，已知X密度函數為密度函數為 試求試求(1)常數常數A (2)X分布函數分布函數F(x)解：解：第9頁5.已知隨機變量已知隨機變量X密度函數為密度函數為求求(1)常數常數a (2)分布函數分布函數（4）求）求E(X),D(X)解：解：得得a=1第10頁6.6.設一汽車在開往目標地道路上需經過設一汽車在開往目標地道路上需經過3 3盞信號燈。每盞信號燈盞信號燈。每盞信號燈以概率以概率1/21/2允許汽車經過或禁止汽車經過。以允許汽車經過或禁止汽車經過。以X表示汽車首次停表示汽車首次停下時，它已經過信號燈盞數下時，它已經過信號燈盞數(各信號燈工作相互獨立各信號燈工作相互獨立)。求。求X分布分布律、分布函數以及概率律、分布函數以及概率解解 設設p為每盞信號燈禁止汽車經過概率，則為每盞信號燈禁止汽車經過概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故，故X分布律為：分布律為：X0123P1/21/41/81/8X分布函數：分布函數：第11頁7.7.離散型隨機變量離散型隨機變量X X分布函數為分布函數為求求a,ba,b及及X X分布律分布律,E(X),D(X),E(X),D(X)。解解 因因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ，a+b=1a+b=1 于是于是a=1/6,b=5/6a=1/6,b=5/6 X X分布律為分布律為 X -1 1 2 p 1/6 1/3 1/2第12頁8.設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X分布函數為分布函數為 求（求（1）常數）常數A，B值；值；（2）P（-1X1）；）；（3）求）求X密度函數。密度函數。第13頁第14頁10.二維隨機變量（二維隨機變量（X,Y)聯合密度函數為聯合密度函數為(1)試確定常數試確定常數A；(2)求關于求關于X和和Y邊緣密度函數；邊緣密度函數；(3)判斷判斷X和和Y是否相互獨立。是否相互獨立。解：解：(1)所以 X與Y不獨立第15頁11.二二維維隨機隨機變變量（量（X,Y）聯合密度函數為聯合密度函數為（1）確定常數）確定常數A（2）試問）試問X與與Y是否相互獨立？是否相互獨立？解：解：（1）當當0 x1當當0y1.所以所以X與與Y不獨立不獨立 第16頁(1)求常數求常數K；(2)求聯合分布函數求聯合分布函數F(x,y)；(3)求概率求概率P(X+2Y 1)。12.12.已知已知解解 (1)K=6O xyx+2y=1(2)(3)第17頁13.設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)含含有概率密度函數有概率密度函數 (1)求求X,Y邊緣概率密度；邊緣概率密度；(2)問問X與與Y是否相互獨立？是否相互獨立？O xy解解 因為因為f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以，所以X與與Y相互獨立。相互獨立。第18頁14.設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)聯合分布律為聯合分布律為YX010q010p其中其中p+q=1，求相關系數，求相關系數XY，判斷判斷X,Y相相關性和獨立性。關性和獨立性。解解 由題意可得由題意可得X,Y邊緣分布律為邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為均為01分布，分布，E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11p pp =p p2=pq所以所以（1）X,Y正相關正相關（2)X,Y不獨立不獨立第19頁解解15.設設(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yx上均勻分布上均勻分布,求求X與與Y相關系數。相關系數。第20頁16.16.(X,Y)聯合分布律以下：聯合分布律以下：試求試求(1)X,Y邊緣分布律。邊緣分布律。解解YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48(1)X和和Y邊緣分布律分別為邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/48 13/487/483/48第21頁17.某校抽樣調查結果表明，考生概率論與數理統計成績某校抽樣調查結果表明，考生概率論與數理統計成績X近似地服從正態(tài)分近似地服從正態(tài)分布布 ,平均成績平均成績 72分，分，96分以上占考生總數分以上占考生總數2.3，求考生概率統，求考生概率統計成績在計成績在60分至分至84分之間概率。分之間概率。第22頁18.某車間有某車間有200臺車床，每臺車床有臺車床，每臺車床有60%時間在開動，每臺車床時間在開動，每臺車床開動期間耗電量為開動期間耗電量為1千瓦，問最少應供給給此車間多少電量才能千瓦，問最少應供給給此車間多少電量才能以以99.9%概率確保此車間不因供電不足而影響生產？概率確保此車間不因供電不足而影響生產？解：設最少需供給解：設最少需供給nE千瓦電量千瓦電量,X為同時開動車床數，則為同時開動車床數，則 第23頁為總體一個樣本，總體為總體一個樣本，總體X概率密度函數為概率密度函數為 其中其中 為未知參數。為未知參數。求：（求：（1）矩預計量矩預計量（2）極大似然預計量。極大似然預計量。解：解：(1)解得矩預計量為：解得矩預計量為：第24頁(2)似然函數為似然函數為 解得極大似然預計為：解得極大似然預計為：第25頁20.為了解燈泡使用時數均值為了解燈泡使用時數均值 及標準差及標準差，測測量量10個燈泡，得個燈泡，得 假如已知燈泡使用時數服從正態(tài)分布，求假如已知燈泡使用時數服從正態(tài)分布，求 95%置信區(qū)間置信區(qū)間 解解:(1)這是一個總體方差未知求這是一個總體方差未知求 置信度為置信度為0.95置信區(qū)間問題置信區(qū)間問題(2)這是一個求這是一個求 置信度置信度為為0.95置信區(qū)置信區(qū)間問題間問題 第26頁21.某校進行教學改革，一學科學生成績某校進行教學改革，一學科學生成績X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，均未知。均未知?，F抽測現抽測19人成績以下：人成績以下：70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47問是否有理由認為該科平均成績大于對照組平均成績問是否有理由認為該科平均成績大于對照組平均成績70？解：檢驗解：檢驗 選取統計量：選取統計量：由題意條件得：由題意條件得：故拒絕故拒絕 H0即認為該科平均成績大于對照組平均成績即認為該科平均成績大于對照組平均成績70。拒絕域拒絕域假設檢驗九種類型！假設檢驗九種類型！第27頁22.(X1,X2,X6)為為X一個樣本一個樣本求常數求常數C使得使得CY服從服從 2分布。分布。解解 因為因為(X1,X2X6)為為X一個樣本一個樣本,XiN(0,1)，i=1,26則則所以，取常數所以，取常數C=1/3使得使得CY服從服從 2分布分布第28頁23.設總體設總體X服從服從N(0,1)，樣本，樣本X1,X2Xn來自總體來自總體X，試求，試求常數常數c使統計量使統計量 服從服從t-分布分布.第29頁24.(X1,X2,X5)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN(0,2)樣本，樣本，求統計量求統計量分布分布解解第30頁25.25.設離散型隨機變量設離散型隨機變量X有以下分布律，試求隨機有以下分布律，試求隨機變量變量Y=(X-3)2+1分布律分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y全部可能取值為全部可能取值為1，5，17故，故，Y分布律為分布律為Y1517P0.10.650.25第31頁設設(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)樣本，則樣本，則 (1)(2)(3)與與S2獨立獨立(4)第32頁2626.設X X1 1，X X2 2 ，X X2525是取自是取自N N（2121，4)4)樣本本,求（求（1 1）樣本均本均值數學期望和方差；數學期望和方差；解解：第33頁2727.設X X1 1，X X1010是取自是取自N N（2 2，16)16)樣本本,求求a a。解：解：第34頁28.28.設X X1 1，X X2 2,，X X8 8 是取自是取自N(1,9)N(1,9)樣本本,求求樣本方差本方差 S S2 2期望與方差。期望與方差。解：解：第35頁29.29.設X X1 1，X X2 2,，X X9 9 是取自是取自N(0,9)N(0,9)樣本本,求求解：解：第36頁30.設總體設總體Xk階矩存在，則不論階矩存在，則不論X分布怎樣，樣本分布怎樣，樣本k階階原點矩原點矩是總體是總體k階矩無偏預計。階矩無偏預計。證實證實設設Xk階矩階矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體X一個樣本，則一個樣本，則所以所以Ak是是k無偏預計無偏預計.第37頁31.設設XN(0,2)，(1)證實證實 是是2無偏預計無偏預計。（2）求）求(X1,X2,Xn)是來自總體是來自總體X一個樣本一個樣本是是2無偏預計。無偏預計。第38頁32.設設(X1,X2,Xn)是總體是總體X一個樣本，一個樣本，第39頁33.33.設設(X,Y)(X,Y)服從服從N(1,0,9,16,-0.5)N(1,0,9,16,-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z概率密度，概率密度，2)2)求求X X與與Z Z相關系數，相關系數，3)X3)X與與Z Z是否相互獨立？是否相互獨立？解解：（）：（）X XN(1,9),YN(1,9),YN(0,16),N(0,16),XYXY=-0.5=-0.5 注：注：(X,Y)(X,Y)N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,)，X X與與Y Y相互獨立相互獨立 X X與與Y Y不相關。不相關。其中其中=cov(X,Y)=cov(X,Y)。（2 2）cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0(3)X(3)X與與Z Z相互獨立相互獨立ZN(1/3,3),第40頁34.34.設隨機變量設隨機變量X XB(12,0.5),YB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,N(0,1),COV(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1與與W=-2X+4YW=-2X+4Y方差與協方差。方差與協方差。解：解：X XB(12,0.5),YB(12,0.5),YN(0,1)N(0,1)E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3E(Y)=0,D(Y)=1E(Y)=0,D(Y)=1D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y)D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y)=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y)COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+COV(3Y,-2X+4Y)+COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+COV(3Y,-2X+4Y)+COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8*3+10*(-1)+12=-22=-8*3+10*(-1)+12=-22第41頁六個主要分布數學期望和方差六個主要分布數學期望和方差（1）01分布分布 XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=p，D(X）=p(1-p）（2）二項分布）二項分布XB(n,p)E(X)=np D(X)=npq分布律為分布律為P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n（3）Poisson分布分布 XP()（4）均勻分布均勻分布XUa,b 密度函數為密度函數為 （5 )正態(tài)分布正態(tài)分布 (6)指數分布指數分布 P48與與P100兩種定義式兩種定義式E(X)=,D(X)=2第42頁